Η 30-άρα

Ιστοσελίδα · #1

: 30ara.jpg (110.26 KiB) Προβλήθηκε 788 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

με $\angle A = {100^ \circ }$ . Επί της

παίρνουμε σημείο

, τέτοιο ώστε $AD = AC\,\,\& \,\,CD = AB$ . Να δείξετε ότι $\angle B = {30^ \circ }$ .

Atlas · #2

Χωρίς Λόγια:
επεξήγηση: $\vartriangle BCI \approx \vartriangle IMC$

#3

Χαίρετε .

Ωραίος ! ο Μιχάλης.

: triadara toy Mike.png (18.99 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές

Αν $BT//DC\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,BT = AC$ θα είναι:

$\vartriangle ADC = \vartriangle TAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,$ $\vartriangle ATC$ ισόπλευρο. Οπότε BT = TC = CA = AT

έτσι ${\widehat \theta _2} = T\widehat {BC} = {\widehat \theta _1} = 10^\circ \Rightarrow \boxed{x = {{30}^0}}$ .

Φιλικά Νίκος

#4

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Το συνημμένο 30ara.jpg δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται τρίγωνο με $\angle A = {100^ \circ }$ . Επί της παίρνουμε σημείο , τέτοιο ώστε $AD = AC\,\,\& \,\,CD = AB$ . Να δείξετε ότι $\angle B = {30^ \circ }$ .

Καλησπέρα σε όλους.

Μία τριγωνομετρική λύση (ψιλο-παράνομη)

Από Νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα ADC, ABC

έχουμε διαδοχικά:

● $\displaystyle{\frac{b}{{\eta \mu {{40}^0}}} = \frac{c}{{\eta \mu {{100}^0}}} = \frac{c}{{\eta \mu {{80}^0}}} \Leftrightarrow \frac{b}{{\eta \mu {{40}^0}}} = \frac{c}{{2\eta \mu {{40}^0}\sigma \upsilon \nu {{40}^0}}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{c = 2b\sigma \upsilon \nu {40^0}}$ (1)

: Η 30-αρα.png (7.13 KiB) Προβλήθηκε 652 φορές

● $\displaystyle{\frac{b}{{\eta \mu x}} = \frac{c}{{\eta \mu ({{80}^0} - x)}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{2b\sigma \upsilon \nu {{40}^0}}}{{\eta \mu ({{80}^0} - x)}} \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon \nu {40^0}\eta \mu x = \eta \mu {80^0}\sigma \upsilon \nu x - \eta \mu x\sigma \upsilon \nu {80^0} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left( {2\sigma \upsilon \nu {{40}^0} + \sigma \upsilon \nu {{80}^0}} \right)\eta \mu x = \eta \mu {80^0}\sigma \upsilon \nu x \Leftrightarrow \varepsilon \varphi x = \frac{{\eta \mu {{80}^0}}}{{\sigma \upsilon \nu {{40}^0} + \sigma \upsilon \nu {{40}^0} + \sigma \upsilon \nu {{80}^0}}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\varepsilon \varphi x = \frac{{\eta \mu {{80}^0}}}{{\sigma \upsilon \nu {{40}^0} + 2\sigma \upsilon \nu {{60}^0}\sigma \upsilon \nu {{20}^0}}} = \frac{{\eta \mu {{80}^0}}}{{\sigma \upsilon \nu {{40}^0} + \sigma \upsilon \nu {{20}^0}}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\varepsilon \varphi x = \frac{{\sigma \upsilon \nu {{10}^0}}}{{2\sigma \upsilon \nu {{30}^0}\sigma \upsilon \nu {{10}^0}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow }$ $\boxed{x=30^0}$

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα σε όλους. Η καλύτερη παρηγοριά για αποσπαστεί η σκέψη από την τελευταία Εθνική ήττα ...

..

: 10-15.MN.30-αρα.PNG (9.08 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές

Φέραμε $\hat{ACE}=100^{0}$ και AHE

μεσοκάθετο του

. Τότε είναι

ύψος ,διχοτόμος και διάμεσος

άρα $\hat{AEC}=180^{0}-\left(50^{0}+100^{0} \right)=30^{0}$ οπότε στο τρίγωνο $ECH \left(90^{0},30^{0} , 60^{0} \right)$ προκύπτει

$CE=2CH=CD=AB\Rightarrow {\color{blue} CE=AB}$ .

Τα τρίγωνα BAC , ACE

είναι ίσα $\left(\Pi -\Gamma -\Pi \right)$ που σημαίνει $\hat{ABC}=\hat{AEC}=30^{0}$ .

Φιλικά Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
Το συνημμένο 30ara.jpg δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται τρίγωνο με $\angle A = {100^ \circ }$ . Επί της παίρνουμε σημείο , τέτοιο ώστε $AD = AC\,\,\& \,\,CD = AB$ . Να δείξετε ότι $\angle B = {30^ \circ }$ .

Είναι $\displaystyle{\angle ADC = \angle ACD = {40^0}}$ .Σχηματίζουμε γωνία $\displaystyle{\angle DAM = {30^0}}$ οπότε $\displaystyle{\angle MAC = \angle CMA = {70^0} \Rightarrow AC = CM = AD}$ κι έτσι $\displaystyle{DM = DB \Rightarrow \angle DBM = \angle DMB = {20^0}}$
Με $\displaystyle{MN \bot AB,CP \bot AM \Rightarrow PM = MN = \frac{{AM}}{2}}$ και $\displaystyle{\angle PCM = {20^0}}$ .Τότε προφανώς $\displaystyle{\vartriangle NMB = \vartriangle PMC \Rightarrow MB = MC \Rightarrow \angle MCB = \angle MBC = {10^0} \Rightarrow \boxed{\angle ABC = {{20}^0} + {{10}^0} = {{30}^0}}}$

#7

Πόσο γρήγορα περνούν τα χρόνια.!

Άσκηση που μας πρότεινε ο Γιώργος Ρίζος στις 10-03-2009

viewtopic.php?f=109&t=737&p=4240&hilit= ... E%B1#p4240

Η 30-άρα

Η 30-άρα

Re: Η 30-άρα

Re: Η 30-άρα

Re: Η 30-άρα

Re: Η 30-άρα

Re: Η 30-άρα

Re: Η 30-άρα

Μέλη σε σύνδεση