Κανονικό πολύγωνο

orestisgotsis · #1

Περιττό

#2

orestisgotsis έγραψε:Δίνεται κανονικό πολύγωνο $\displaystyle{{{A}_{0}}{{A}_{1}}\cdots {{A}_{n-1}}}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{\left( O,R \right)}$ . Θεωρούμε τυχαίο σημείο $\displaystyle{M}$ στο επίπεδο του κανονικού πολυγώνου.
Θέτουμε $\displaystyle{\left( OM \right)=x}$ και $\displaystyle{\widehat{MO{{A}_{0}}}=\omega }$ .
(i) Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{{{\left( M{{A}_{0}} \right)}^{2}}\cdot {{\left( M{{A}_{1}} \right)}^{2}}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot {{\left( M{{A}_{n-1}} \right)}^{2}}={{x}^{2n}}-2{{R}^{n}}{{x}^{n}}\cos (n\omega )+{{R}^{2n}}}$ .
(ii) Να εξετασθούν οι περιπτώσεις: α) $\displaystyle{\omega =0}$ και β) $\displaystyle{M\equiv {{A}_{0}}}$ .

Με μιγαδικούς.

(i) Χωρίς βλάβη στην γενικότητα, οι κορυφές του κανονικού n-γώνου είναι τα άκρα των $a_k= Re^{\omega + 2ik\pi / n} \, k=0, \, ... \, , n-1$ . Θέτουμε

το άκρο του

, οπότε

και

$\displaystyle{ (MA_k)^2= |OM-OA_k| ^2= |z- Re^{i\omega + 2ik\pi / n} |^2=$

$\displaystyle{ =(z- Re^{i \omega + 2ik\pi / n})(\bar {z}- Re^{-i\omega-2ik\pi / n} )=$

$\displaystyle{ = z\bar {z} - 2R \cos ( \omega + 2k\pi / n) + R^2= x^2 - 2R \cos ( \omega + 2k\pi / n) + R^2$ (η γραμμή αυτή είναι περιττή - σταματάμε δηλαδή στην από πάνω γραμμή - αλλά την γράφω για να φανεί ο ωραίος τύπος (*)

αμέσως παρακάτω)

Οπότε μένει να δείξουμε ότι ισχύει $\displaystyle{ \boxed {\prod _{k=0}^{n-1} \left ( x^2 - 2R \cos (\omega + 2k\pi / n) + R^2\right )= {{x}^{2n}}-2{{R}^{n}}{{x}^{n}}\cos (n\omega )+{{R}^{2n}}} \, (*)}}$ . Αρκεί να δείξουμε ότι τα δύο μέλη (ως μονικά πολυώνυμα) έχουν τις ίδιες ρίζες.

Πράγματι, $\displaystyle{{{x}^{2n}}-2{{R}^{n}}{{x}^{n}}\cos (n\omega )+{{R}^{2n}}}= ( x^n -R^n e^{in\omega})( x^n -R^n e^{-in\omega})$

οπότε οι ρίζες του δεξιού μέλους είναι οι ρίζες των παραγόντων του $\displaystyle{ x^n -R^n e^{in\omega}, \, x^n -R^n e^{-in\omega}$ .

Δηλαδή $\displaystyle{ x= R e^{i\omega + 2ik\pi / n}, \,x= R e^{-i\omega - 2ik\pi / n}$ , που είναι ίδιες (άμεσο) με του αριστερού μέλους της (*)

, όπως θέλαμε.

(ii) Οι περιπτώσεις $\displaystyle{\omega =0}$ και β) $\displaystyle{M\equiv {{A}_{0}}}$ είναι άμεσες. Δίνουν (x^n-R^n)^2

και (αναμενόμενο)

, αντίστοιχα.

Φιλικά,

Μιχάλης

orestisgotsis · #3

Περιττό

#4

orestisgotsis έγραψε: $\displaystyle{{{\left( {{A}_{0}}{{A}_{1}} \right)}^{2}}{{\left( {{A}_{0}}{{A}_{2}} \right)}^{2}}\cdots {{\left( {{A}_{0}}{{A}_{n-1}} \right)}^{2}}=\underset{x\to R}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( {{x}^{n}}-{{R}^{n}} \right)}^{2}}}{{{\left( x-R \right)}^{2}}}={{n}^{2}}{{R}^{2n-2}}}$ .

Πολύ ενδιαφέρον.

Για την απόδειξη είναι ευκολότερο να πάμε όπως στην αρχική μου απάντηση (αρχίζοντας με M=A_0

) για να αποφύγουμε τα όρια.

Ας προσθέσω ότι το αρχιμό ερώτημα δεν περιελάμβανε αυτή την περίπτωση αλλά

orestisgotsis έγραψε: (i) Να δειχθεί ότι: $\displaystyle{{{\left( M{{A}_{0}} \right)}^{2}}\cdot {{\left( M{{A}_{1}} \right)}^{2}}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot {{\left( M{{A}_{n-1}} \right)}^{2}}={{x}^{2n}}-2{{R}^{n}}{{x}^{n}}\cos (n\omega )+{{R}^{2n}}}$ .
(ii) Να εξετασθούν οι περιπτώσεις: α) $\displaystyle{\omega =0}$ και β) $\displaystyle{M\equiv {{A}_{0}}}$ .

που σημαίνει (για το β)) ότι η παράσταση (με M=A_0

) είναι η

$\displaystyle{{{\left( A_0{{A}_{0}} \right)}^{2}}\cdot {{\left( A_0{{A}_{1}} \right)}^{2}}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot {{\left( A_0{{A}_{n-1}} \right)}^{2}}}$ η οποία βέβαια ισούται με

.

orestisgotsis · #5

Περιττό

Κανονικό πολύγωνο

Κανονικό πολύγωνο

Re: Κανονικό πολύγωνο

Re: Κανονικό πολύγωνο

Re: Κανονικό πολύγωνο

Re: Κανονικό πολύγωνο

Μέλη σε σύνδεση