Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

#81

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 22
Ποια στιγμή, ανάμεσα στις εννέα και δέκα η ώρα, οι δείκτες ενός ρολογιού είναι μαζί;

Ο λεπτοδείκτης διαγράφει σε μία ώρα (60 λεπτά) γωνία 360^0

, άρα σε 1 λεπτό διαγράφει γωνία 6^0

. Αντίστοιχα ο ωροδείκτης σε μία ώρα διαγράφει γωνία 360:12=30^0

, άρα σε 1 λεπτό διαγράφει γωνία 0,5^0

.

: Πρόβλημα 22.png (10.52 KiB) Προβλήθηκε 9609 φορές

Έστω ότι οι δείκτες θα συμπέσουν σε

λεπτά. Τότε ο λεπτοδείκτης θα έχει διαγράψει γωνία $\phi=6x^0$ και αντίστοιχα ο ωροδείκτης γωνία $\omega=0,5x^0$ .

Αλλά, $\displaystyle{\varphi - \omega = {270^0} \Leftrightarrow 6x - 0,5x = 270 \Leftrightarrow x = \frac{{270}}{{5,5}} = }$

λεπτά και $\displaystyle{\frac{1}{{11}}}$ του δευτερολέπτου.

Οι δείκτες λοιπόν θα συμπέσουν στις 9:49

και $\displaystyle{\frac{1}{{11}}}$ του δευτερολέπτου.

#82

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 42
Μια φορά περνούσανε τρεις από έναν τόπο που ήταν μια μηλιά φορτωμένη με μήλα. Κόβει ο ένας το ένα τρίτο των μήλων.
Απ' όσα μείνανε κόβει ο δεύτερος το ένα τρίτο. Και απ' όσα μείνανε κόβει ο τρίτος το ένα τρίτο.
Όσα μείνανε τελικά τα μοιράσανε με τέτοιο τρόπο που και οι τρεις πήρανε τον ίδιο αριθμό μήλων συνολικά.
Πόσα μήλα είχε η μηλιά και πόσα πήρε ο καθένας;
Να βρεθεί ο μικρότερος δυνατός αριθμός μήλων

Συγνώμη για την ταλαιπωρία

KARKAR · #83

Πρόβλημα 43
Ένας καθηγητής Μαθηματικών βγάζει τον βαθμό του Α' Τριμήνου , ( ο οποίος κυμαίνεται από

μέχρι

) ,

με τον εξής τύπο : $B=\lambda \cdot \Gamma+8$ , όπου

ο βαθμός , $\lambda$ ένας συντελεστής και $\Gamma$ ο βαθμός του γραπτού .

Α) Υπολογίστε το $\lambda$ ώστε ο τύπος να "είναι σωστός " !

Β) Πόσο πρέπει να γράψει ο μαθητής για να βγάλει βαθμό

?

#84

KARKAR έγραψε:Πρόβλημα 43
Ένας καθηγητής Μαθηματικών βγάζει τον βαθμό του Α' Τριμήνου , ( ο οποίος κυμαίνεται από μέχρι ) ,

με τον εξής τύπο : $B=\lambda \cdot \Gamma+8$ , όπου ο βαθμός , $\lambda$ ένας συντελεστής και $\Gamma$ ο βαθμός του γραπτού .

Α) Υπολογίστε το $\lambda$ ώστε ο τύπος να "είναι σωστός " !

Β) Πόσο πρέπει να γράψει ο μαθητής για να βγάλει βαθμό ?

Α) $\displaystyle{8 \le {\rm B} \le 20 \Leftrightarrow 8 \le \lambda \cdot \Gamma + 8 \le 20 \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{0 \le \lambda \cdot \Gamma \le 12 \Leftrightarrow }$ $\boxed{\Gamma \le \frac{{12}}{\lambda }}$ , $\lambda >0$

Ο μεγαλύτερος βαθμός που μπορεί να πάρει ένας μαθητής στα γραπτά είναι $\Gamma = 20$ .

Άρα για να είναι σωστός ο τύπος πρέπει: $\displaystyle{\lambda = \frac{{12}}{{20}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\lambda = 0,6}$

B) $\displaystyle{17 = 0,6 \cdot \Gamma + 8 \Leftrightarrow 0,6\Gamma = 9 \Leftrightarrow }$ $\boxed{\Gamma=15}$

T-Rex · #85

xr.tsif έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 42
Μια φορά περνούσανε τρεις από έναν τόπο που ήταν μια μηλιά φορτωμένη με μήλα. Κόβει ο ένας το ένα τρίτο των μήλων.
Απ' όσα μείνανε κόβει ο δεύτερος το ένα τρίτο. Και απ' όσα μείνανε κόβει ο τρίτος το ένα τρίτο.
Όσα μείνανε τελικά τα μοιράσανε με τέτοιο τρόπο που και οι τρεις πήρανε τον ίδιο αριθμό μήλων συνολικά.
Πόσα μήλα είχε η μηλιά και πόσα πήρε ο καθένας;
Να βρεθεί ο μικρότερος δυνατός αριθμός μήλων

Συγνώμη για την ταλαιπωρία

Ελπίζω να μην κάνω λάθος $\frac{x}{3}+\frac{1}{3}.\frac{2x}{3}+\frac{1}{3}.\frac{2}{3}.\frac{2x}{3}+y=x\Leftrightarrow \frac{3x}{3}+\frac{2x}{9}+\frac{4x}{27}+y=\frac{27x}{27}\Leftrightarrow \frac{9x}{27}+\frac{6x}{27} \frac{4x}{27}+y=\frac{27x}{27}\Leftrightarrow y=\frac{8x}{27}$
Ο μικρότερος αριθμός μήλων είναι

και μετά πολλαπλάσια του

και επειδή το

διαιρείται με το

θα πάρει ο καθένας από

μήλα.Δηλαδή μείναν

μήλα που πήρε ο δεύτερος

και ο τρίτος

για να εχουν ίδιο αριθμό μήλων με τον πρώτο

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #86

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 10
Εάν στα $\frac{5}{6}$ ενός αριθμού προσθέσουμε τον αριθμό 2 , και στο αποτέλεσμα αυτό αφαιρέσουμε το $\frac{1}{2}$ του αριθμού αυξημένο κατα 6 βρίσκουμε το $\frac{1}{3}$ του αριθμού ελλατωμένο κατα 3. Να βρεθεί ο αριθμός αυτός εάν γνωρίζουμε οτι είναι πολλαπλάσιο του 9 και περιέχεται μεταξύ των 50 και 80.

Μια αλλαγή - διευκρίνιση στην εκφώνιση μετά απο π.μ. του Παύλου Μαραγκουδάκη

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 10
Εάν στα $\frac{5}{6}$ ενός αριθμού προσθέσουμε τον αριθμό 2 , και στο αποτέλεσμα αυτό αφαιρέσουμε το $\frac{1}{2}$ του κατα 6 μεγαλύτερου του αριθμού βρίσκουμε το $\frac{1}{3}$ του κατα 3 μικρότερου αριθμού . Να βρεθεί ο αριθμός αυτός εάν γνωρίζουμε οτι είναι πολλαπλάσιο του 9 και περιέχεται μεταξύ των 50 και 80.

ji2mada2006 · #87

vzf έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 21
Κάποιος κατέβηκε μια προς τα κάτω κινούμενη σκάλα και έφτασε στη βάση της περνώντας από σκαλιά. Μετά ανέβηκε την ίδια σκάλα πάλι σκαλί σκαλί και πέρασε από σκαλιά. Υποθέτοντας ότι έκανε βήματα όταν ανέβαινε στο ίδιο χρόνο που έκανε όταν κατέβαινε, πόσα σκαλιά θα βλέπαμε αν σταματούσε η κυλιόμενη σκάλα; Οι ταχύτητες με τις οποίες ανέβηκε και κατέβηκε ήταν σταθερές.
viewtopic.php?f=35&t=35399

Έστω

ο αριθμός των σκαλοπατιών που θα βλέπαμε αν η σκάλα σταματούσε .
Αρχικά την κατέβηκε με 50 βήματα , ενώ η σκάλα κινιόταν ,άρα '' χάθηκαν '' λόγω κίνησης x-50

σκαλοπάτια . Σε καθένα λοιπόν βήμα προς τα κάτω ''χάνονται'' $\frac{x-50}{50}$ σκαλοπάτια .
Στη συνέχεια την ανέβηκε με 125 βήματα , ενώ η σκάλα κινιόταν ,άρα '' χάθηκαν '' λόγω κίνησης x-125

σκαλοπάτια . Σε καθένα λοιπόν βήμα προς τα πάνω ''χάνονται'' $\frac{x-125}{125}$ σκαλοπάτια .
Δεδομένου ότι η σκάλα ανεβοκατεβαίνει με την ίδια ταχύτητα και ότι σε κάθε βήμα προς τα κάτω αντιστοιχούν 5 βήματα προς τα επάνω τότε θα ισχύει :
$\frac{x-50}{50}=5\frac{x-125}{125}$
$\frac{x-50}{50}=\frac{x-125}{25}$
$50\frac{x-50}{50}=50\frac{x-125}{25}$
x-50=2(x-125)

σκαλοπάτια .

ji2mada2006 · #88

stergios7 έγραψε:
Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:
Για ένα τρίγωνο γνωρίζουμε ότι η γωνία $\hat{B}$ είναι διπλάσια της γωνίας $\hat{C}.$ Σχεδιάζουμε τις διχοτόμους του τριγώνου και ονομάζουμε το σημείο τομής τους. Γνωρίζουμε ακόμα ότι $\widehat{BIC}=132^o.$ Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου
Αν ονομάσουμε: $\displaystyle{\hat{C}=x}$ και $\displaystyle{\hat{B}=2x}$
Τότε στο τρίγωνο $\displaystyle{BIC}$ θα πάρουμε την εξίσωση (που προκύπτει με την βοήθεια των διχοτόμων):
$\displaystyle{132+x+\frac{x}{2}=180}$
$\displaystyle{x+\frac{x}{2}=180-132}$

$\displaystyle{x+\frac{x}{2}=48}$
$\displaystyle{2x+x=96}$
$\displaystyle{3x=96}$

$\displaystyle{x=\frac{96}{3}}$
$\displaystyle{x=32}$
Άρα:
$\displaystyle{\hat{C}=32^{o}}$
$\displaystyle{\hat{B}=64^{o}}$
$\displaystyle{\hat{A}=84^{o}}$

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 32

ji2mada2006 · #89

stergios7 έγραψε:
Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:

Για ένα οξυγώνιο τρίγωνο γνωρίζουμε ότι η γωνία $\hat{B}$ είναι τετραπλάσια της γωνίας $\hat{C}.$ Σχεδιάζουμε τα ύψη του τριγώνου που τέμνονται στο Γνωρίζουμε ακόμα ότι $\widehat{BHC}=100^o.$ Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου

Θα ήταν ωραίο να είχαμε κι άλλα προβλήματα με αφορμή τη γεωμετρία. Καλούμε τους φίλους της γεωμετρίας να βοηθήσουν με τα ωραία τους προβλήματα.
$\displaystyle{\widehat{DHC}=\widehat{BHE}=80^{o}}$ ως παραπληρωματικές με την $\displaystyle{\widehat{CHB}}$
Αν ονομάσουμε $\displaystyle{\hat{C}=x}$ , $\displaystyle{\hat{B}=4x}$
Άρα τα τρίγωνα $\displaystyle{DHC}$ και $\displaystyle{EHB}$ αν ονομάσουμε $\displaystyle{\widehat{HCD}=v}$ και $\displaystyle{\widehat{HBE}=y}$
Τότε $\displaystyle{\hat{v}=\hat{y}=180-(90+80)=10^{o}}$
Άρα θα πάρουμε εξίσωση στο τρίγωνο $\displaystyle{CHB}$ :
$\displaystyle{x-10+4x-10+100=180}$
$\displaystyle{5x-20=180-100}$
$\displaystyle{5x=80+20}$
$\displaystyle{5x=100}$
$\displaystyle{x=20^{o}}$
Άρα:
$\displaystyle{\hat{C}=20^{o}}$
$\displaystyle{\hat{B}=80^{o}}$
$\displaystyle{\hat{A}=80^{o}}$
Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 33

ji2mada2006 · #90

raf616 έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ που έχει $\displaystyle{AB=10cm}$ και

$\displaystyle{BC=x cm}$ . Έστω $\displaystyle{M}$ το μέσον της $\displaystyle{CD}$ και $\displaystyle{N}$ το μέσον της $\displaystyle{BC}$ .

(a) Να εκφράσετε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{AMN}$ , σαν συνάρτηση του $\displaystyle{x}$ .

(b) Να βρεθεί ο $\displaystyle{x}$ αν το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{AMN}$ είναι ίσο με $\displaystyle{\frac{45}{2} cm^{2}}$

(c) Για την τιμή του $\displaystyle{x}$ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου $\displaystyle{AMN}$
Θα δώσω λύση χωρίς σχήμα το οποίο ίσως προσθέσω αργότερα...

(α) Το εμβαδόν όλου του ορθογωνίου είναι . Τώρα:

$(ADM) = \dfrac{5x}{2}$

$(ABN) = \dfrac{10 \cdot \dfrac{x}{2}}{2} = \dfrac{5x}{2}$

$(MCN) = \dfrac{\dfrac{5x}{2}}{2} = \dfrac{5x}{4}$

Άρα:

$\displaystyle{(AMN) = (ABCD) - (ADM) - (ABN) - (MCN) = 10x - \dfrac{5x}{2} - \dfrac{5x}{2} - \dfrac{5x}{4} = \dfrac{15x}{4}}$

(β) Θα ισχύει:

$\dfrac{15x}{4} = \dfrac{45}{2} \Leftrightarrow 30x = 180 \Leftrightarrow x = 6cm$

(γ) Με Π.Θ στα $\overset{\triangle}{ADM}$ , $\overset{\triangle}{ABN}$ , $\overset{\triangle}{MCN}$ θα λάβουμε:

$AM = \sqrt{61}$

$AN = \sqrt{109}$

$MN = \sqrt{34}$

Επομένως, αν $\Pi$ η περίμετρος του τριγώνου θα ισχύει:

$\Pi = AM + AN + MN = \sqrt{61} + \sqrt{109} + \sqrt{34}$

Πρόβλημα 34:

ji2mada2006 · #91

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ΠΡΟΒΛΗΜΑ 24
Ποιες στιγμές, ανάμεσα στις δώδεκα και μία, οι δείκτες ενός ρολογιού σχηματίζουν ορθή γωνία;

: προβλημα24.png (5.65 KiB) Προβλήθηκε 9196 φορές

Σύμφωνα με το σκεπτικό του Γιώργου Βισβίκη εδώ : viewtopic.php?f=34&t=40504&start=80#p213523
έχουμε :
$\phi -\omega =90^{0}$
$6x-0.5x=90^{0}$
$5.5x=90^{0}$
$x=\frac{90^{o}}{5.5}$
$x=\frac{180^{o}}{11}$
x=16

λεπτά και $\frac{4}{11}$ του δευτερολέπτου .
Δηλ. ο λεπτοδείκτης και ωροδείκτης θα σχηματίσουν ορθή γωνία στις 12:16 και $\frac{4}{11}$ του δευτερολέπτου .

#92

Πρόβλημα 44

Δίνεται παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ με $\displaystyle{\widehat{B}=2\widehat{A}}$ και πάνω στην προέκταση της $\displaystyle{DA}$ και προς το μέρος του $\displaystyle{A}$ παίρνουμε ένα

σημείο $\displaystyle{E}$ έτσι ώστε να είναι $\displaystyle{DE=DB}$ . Αν η γωνία $\displaystyle{E}$ είναι ίση με $\displaystyle{40^{o}}$ , να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας $\displaystyle{ABE}$

: ΠΡΟΒ 1.png (4.79 KiB) Προβλήθηκε 9253 φορές

#93

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Πρόβλημα 44

Δίνεται παραλληλόγραμμο $\displaystyle{ABCD}$ με $\displaystyle{\widehat{B}=2\widehat{A}}$ και πάνω στην προέκταση της $\displaystyle{DA}$ και προς το μέρος του $\displaystyle{A}$ παίρνουμε ένα

σημείο $\displaystyle{E}$ έτσι ώστε να είναι $\displaystyle{DE=DB}$ . Αν η γωνία $\displaystyle{E}$ είναι ίση με $\displaystyle{40^{o}}$ , να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας $\displaystyle{ABE}$

Το συνημμένο ΠΡΟΒ 1.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Έστω $\widehat A=x$ τότε $\widehat B=2x$ . Οπότε: $\displaystyle{x + 2x = {180^0} \Leftrightarrow x = {60^0}}$ και $\displaystyle{E\widehat AB = {180^0} - {60^0} = {120^0}}$ .

Στο τρίγωνο AEB

έχουμε: $\displaystyle{E\widehat AB + \widehat E + A\widehat BE = {180^0} \Leftrightarrow A\widehat BE = {180^0} - {120^0} - {40^0} \Leftrightarrow }$

$\boxed{A\widehat BE=20^0}$

: Pr-44.png (7.85 KiB) Προβλήθηκε 9242 φορές

ji2mada2006 · #94

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε: ΠΡΟΒΛΗΜΑ 23
Ποια στιγμή, ανάμεσα στη μία και τις δύο η ώρα, οι δείκτες ενός ρολογιού σχηματίζουν ευθεία γωνία;

: προβλημα23.png (9.96 KiB) Προβλήθηκε 9193 φορές

Σύμφωνα με το σκεπτικό του Γιώργου Βισβίκη εδώ : viewtopic.php?f=34&t=40504&start=80#p213523
και με βάση το σχήμα έχουμε :
$\phi -(30^{0}+\omega) =180^{0}$
$6x-30^{0}-0.5x=180^{0}$
$5.5x=210^{0}$
$x=\frac{210^{o}}{5.5}$
$x=\frac{420^{o}}{11}$
x=38

λεπτά και $\frac{2}{11}$ του δευτερολέπτου .
Δηλ. ο λεπτοδείκτης και ωροδείκτης θα σχηματίσουν ευθεία γωνία στις 1:38 και $\frac{2}{11}$ του δευτερολέπτου .

ji2mada2006 · #95

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:
ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 10
Εάν στα $\frac{5}{6}$ ενός αριθμού προσθέσουμε τον αριθμό 2 , και στο αποτέλεσμα αυτό αφαιρέσουμε το $\frac{1}{2}$ του αριθμού αυξημένο κατα 6 βρίσκουμε το $\frac{1}{3}$ του αριθμού ελλατωμένο κατα 3. Να βρεθεί ο αριθμός αυτός εάν γνωρίζουμε οτι είναι πολλαπλάσιο του 9 και περιέχεται μεταξύ των 50 και 80.

Μια αλλαγή - διευκρίνιση στην εκφώνιση μετά απο π.μ. του Παύλου Μαραγκουδάκη

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 10
Εάν στα $\frac{5}{6}$ ενός αριθμού προσθέσουμε τον αριθμό 2 , και στο αποτέλεσμα αυτό αφαιρέσουμε το $\frac{1}{2}$ του κατα 6 μεγαλύτερου του αριθμού βρίσκουμε το $\frac{1}{3}$ του κατα 3 μικρότερου αριθμού . Να βρεθεί ο αριθμός αυτός εάν γνωρίζουμε οτι είναι πολλαπλάσιο του 9 και περιέχεται μεταξύ των 50 και 80.

$\frac{5}{6}x+2-\frac{1}{2}(x+6)=\frac{1}{3}(x-3)$
5x+12-3(x+6)=2(x-3)

η εξίσωση αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό , δηλ. είναι ταυτότητα .
Επειδή όμως ο αριθμός, που ψάχνω είναι πολ.9 και βρίσκεται μεταξύ του 50 και 80 τότε μπορεί να πάρει τις τιμές ή x=54

ή

.

ji2mada2006 · #96

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 45
Ένας μαραγκός έχει ένα μαδέρι

μ. και θέλει να κατασκευάσει ένα ορθογώνιο πλαίσιο με αναλογίες χρυσής τομής . Μπορείτε να βοηθήσετε τον μαραγκό να βρει τις διαστάσεις του ορθογωνίου με προσέγγιση χιλιοστού; Δίνεται ο αριθμός της χρυσής τομής φ= 1,618

.

#97

ji2mada2006 έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ 45
Ένας μαραγκός έχει ένα μαδέρι μ. και θέλει να κατασκευάσει ένα ορθογώνιο πλαίσιο με αναλογίες χρυσής τομής . Μπορείτε να βοηθήσετε τον μαραγκό να βρει τις διαστάσεις του ορθογωνίου με προσέγγιση χιλιοστού; Δίνεται ο αριθμός της χρυσής τομής φ= .

Καλησπέρα σε όλους!

Μια "φαινομενική" λύση και κατόπιν μια πιο προχωρημένη αντιμετώπιση...

Έστω a, b

οι πλευρές του ορθογωνίου με $\displaystyle a + b = 5,\;\;a > b$

Στο χρυσό ορθογώνιο παραλληλογράμμο, ο λόγος της μεγαλύτερης πλευράς προς την μικρότερη είναι η χρυσή τομή, άρα $\displaystyle \frac{a}{b} = \varphi = \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}$

Οπότε $\displaystyle b + \frac{{\sqrt 5 + 1}}{2}b = 5 \Leftrightarrow b\frac{{\sqrt 5 + 3}}{2} = 5 \Leftrightarrow b = \frac{{10}}{{\sqrt 5 + 3}} = \frac{{15 - 5\sqrt 5 }}{2} \cong 1,9\;m$

$\displaystyle \Rightarrow a \cong 3,1m$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ji2mada2006 · #98

Γιώργο , άκρως επίκαιρη η τροποποίηση του προβλήματος

, μιας και είμαστε σε περίοδο οικονομικής κρίσης και τίποτα δεν πρέπει να χάνεται, πόσο μάλλον να ξοδεύεται...

Στέλιος Μαρίνης · #99

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 46

: taxidi1.gif (92.65 KiB) Προβλήθηκε 8741 φορές

Στο σχήμα, ο Μπάμπης (αριστερά) και ο Νώντας ξεκινούν από σημεία μιας ακτής η οποία διακόπτεται από ένα ποτάμι. Διανύουν τρέχοντας την απόσταση από τα σημεία εκκίνησης (δεν έχουν τις ακριβείς θέσεις στο σχήμα) μέχρι την όχθη του ποταμού και συνεχίζουν κολυμπώντας μέχρι το πλησιέστερο σημείο του μικρού νησιού. Η ταχύτητα του Νώντα είναι κατά $2\frac{m}{s}$ μεγαλύτερη από του Μπάμπη, ενώ ο Μπάμπης χάνει στη θάλασσα τα $\frac{2}{3}$
της ταχύτητάς του και ο Νώντας τα $\frac{4}{5}$ της δικής του. Μόλις φτάνουν κι οι δύο στο νησί, υπολογίζουν το συνολικό διάστημα που καθένας διάνυσε (σε στεριά και θάλασσα) και διαπιστώνουν ότι είναι συνολικά σο ίδιο και για τους δυο. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η ευθεία στην οποία κολύμπησε ο Νώντας με τη νοητή ευθεία της ακτής. (Ο Μπάμπης κολύμπησε κάθετα προς την ακτή).
Δίνεται ότι το νησάκι είναι κυκλικό με ακτίνα 5 m

#100

Το πρόβλημα του Στέλιου αξίζει το πρώτο βραβείο αυτής της συλλογής!

Ένα κινητό με σταθερή ταχύτητα

διανύει σε χρόνο

διάστημα

Ας είναι

η ταχύτητα του Μπάμπη στη στεριά. Τότε η ταχύτητα του Μπάμπη στη θάλασσα θα είναι $\dfrac{1}{3}v.$
Η ταχύτητα του Νώντα είναι κατά

μεγαλύτερη στη στεριά, δηλαδή είναι v+2

ενώ στη θάλασσα είναι $\dfrac{1}{5}(v+2).$
Ο Μπάμπης διανύει στη στεριά 50v

και στη θάλασσα $25\cdot \dfrac{1}{3}v$ μέτρα.
Ο Νώντας διανύει στη στεριά 24(v+2)

και στη θάλασσα $55\cdot \dfrac{1}{5}(v+2)$ μέτρα. To συνολικό διάστημα είναι το ίδιο και για τους δύο, άρα οδηγούμαστε στην εξίσωση $50v+25\cdot \dfrac{1}{3}v=24(v+2)+55\cdot \dfrac{1}{5}(v+2).$

Λύνουμε την εξίσωση και βρίσκουμε v=3.

To σημείο που πρέπει να λάβουμε υπ΄ όψιν για τη συνέχεια είναι η πληροφορία

Στέλιος Μαρίνης έγραψε:... και συνεχίζουν κολυμπώντας μέχρι το πλησιέστερο σημείο του μικρού νησιού.

Ο Μπάμπης θα βγει στο σημείο $\Delta$ του νησιού ενώ ο Νώντας στο σημείο

Αν

είναι το κέντρο του κυκλικού νησιού τότε $AB=25\cdot \dfrac{1}{3}3+5=30$ μέτρα $B\Gamma=55\cdot \dfrac{1}{5}5+5=60$ μέτρα.

: Stelios.png (3.13 KiB) Προβλήθηκε 8054 φορές

Άρα το ημίτονο της γωνίας $\omega$ είναι 0,5

οπότε η ζητούμενη γωνία είναι 30^0.

Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμού)

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Σκάσε και κολύμπα

Re: Συλλογή προβλημάτων που λύνονται με εξίσωση (πρώτου βαθμ

Μέλη σε σύνδεση