Προκλητικό Ολοκλήρωμα

galactus · #1

Ας δειχθεί ότι

$\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\sinh(px)}{x}\left(\frac{\cos(bx)-\cos(ax)}{(\cosh(px)+\cos(ax))(\cosh(px)+\cos(bx))}\right)dx=1/2\log\left(\frac{p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}\right)$ .

φαίνεται να σχετίζεται με:

$\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-px}\cdot \frac{\cos(bx)-\cos(ax)}{x}dx=1/2\log\left(\frac{p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}\right)$

galactus · #2

$\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\sinh(u)}{u}\left(\frac{1}{\cosh(u)+\cos(au/p)}-\frac{1}{\cosh(u)+\cos(bu/p)}\right)du$

$\displaystyle f(au)=\frac{\sinh(u)}{\cosh(u)+\cos(au/p)}=1/2\left[\tanh(u/2(1-ai/p))+\tanh(u/2(1+ai/p))\right]$

$\displaystyle f(bu)=\frac{\sinh(u)}{\cosh(u)+\cos(bu/p)}=1/2\left[\tanh(u/2(1-bi/p))+\tanh(u/2(1+bi/p))\right]$

Frullani: $\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{f(au)-f(bu)}{u}du=(f(0)-f(\infty))\log(b/a)$

$\displaystyle f(0)=0, \;\ f(\infty)=1\to f(0)-f(\infty)=-1$

$\displaystyle -1/2\log\left(\frac{(1-bi/p)(1+bi/p)}{(1-ai/p)(1+ai/p)}\right)=1/2\log\left(\frac{a^{2}+p^{2}}{b^{2}+p^{2}}\right)$

Προκλητικό Ολοκλήρωμα

Προκλητικό Ολοκλήρωμα

Re: Προκλητικό Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση