Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Christos.N · #41

sirap έγραψε:Μπορεί κάποιος να βοηθήσει στο τρίτο ερώτημα στην 5285??

Επειδή καμία ρίζα δεν είναι μηδενική και το πρόσημο του τριωνύμου εντός των ριζών του θα είναι ετερόσημο του συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου άρα αρνητικό και

εναλλάσσεται στα διαστήματα πριν και μετά και γίνεται θετικό, πρέπει η μικρότερη ρίζα να είναι θετική ,ειδάλλως θα έχουμε εναλλαγή του πρόσημου του στους αρνητικούς

αριθμούς,συνεπώς έχουμε τις ρίζες $\displaystyle{1,\sqrt 2}$

Αλλιώς διακρίνουμε περιπτώσεις (

) και αναλύουμε την κάθε μια.

Linardatos · #42

Έγινε μια ολύνυκτια προσπάθεια για την προτελευταια δεκάδα αλγεβρας 4_7522 εως 4_7974

Δώστε λίγο χρόνο στον συντονιστή να ελέγξει την ορθότητα των λύσεων που πρότεινε ο γράφων

Θεοδωρος Παγωνης · #43

Christos.N έγραψε:
sirap έγραψε:Μπορεί κάποιος να βοηθήσει στο τρίτο ερώτημα στην 5285??
Επειδή καμία ρίζα δεν είναι μηδενική και το πρόσημο του τριωνύμου εντός των ριζών του θα είναι ετερόσημο του συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου άρα αρνητικό και

εναλλάσσεται στα διαστήματα πριν και μετά και γίνεται θετικό, πρέπει η μικρότερη ρίζα να είναι θετική ,ειδάλλως θα έχουμε εναλλαγή του πρόσημου του στους αρνητικούς

αριθμούς,συνεπώς έχουμε τις ρίζες $\displaystyle{1,\sqrt 2}$

Αλλιώς διακρίνουμε περιπτώσεις () και αναλύουμε την κάθε μια.

Χρήστο καλημέρα. Δεν πρέπει να αποκλείσουμε και την περίπτωση διπλής ρίζας και για τις δυο θετικές ρίζες.

pap65 · #44

Αυτό είναι το αρχείο word

Christos.N · #45

Θεοδωρος Παγωνης έγραψε: Χρήστο καλημέρα. Δεν πρέπει να αποκλείσουμε και την περίπτωση διπλής ρίζας και για τις δυο θετικές ρίζες.

Θοδωρή έχεις απόλυτο δίκιο, σε αυτήν την περίπτωση πάλι επιλέγουμε θετικές ρίζες. Έτσι μπορούμε να έχουμε διπλή ρίζα στις δύο θετικές.

Καλημέρα.

pana1333 · #46

Επειδή έχω μπερδευτεί γενικά, έσβησα το αρχείο word το έχω στείλει στον Σπύρο (Καρδαμίτση) που τα συγκεντρώνει. Ευχαριστώ

Peri2005 · #47

pana1333 έγραψε:Στέλνω και τα θέματα 2212-3828 σε word

μήπως μπορείς να τα στείλεις και σε αρχείο .doc ; (αντί για docx)

pap65 · #48

Άσκηση 4815
Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{g\left( \chi \right)=\frac{\left( {{\chi }^{2}}-1 \right)\left( {{\chi }^{2}}-4 \right)}{{{\chi }^{2}}+\kappa \chi +\lambda }}$ , η οποία έχει πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R}-\left\{ -2,1 \right\}}$ .
α) Να βρείτε τις τιμές των $\kappa$ και $\lambda$ . (Mονάδες 9)
β) Για $\displaystyle{\kappa =1}$ και $\displaystyle{\lambda =-2}$ :
i ) Να απλοποιήσετε τον τύπο της

. (Μονάδες 9)
ii) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{g\left( \alpha +3 \right)>g\left( \alpha \right)}$ , όταν $\displaystyle{-1<\alpha <2}$ (Μονάδες 7)

Προτεινόμενη Λύση
α) Αφού το πεδίο ορισμού της

είναι το $\displaystyle{\mathbb{R}-\left\{ -2,1 \right\}}$ συμπεραίνουνε ότι ο παρονομαστής $\displaystyle{{{\chi }^{2}}+\kappa \chi +\lambda =0}$ για $\chi =-2$ ή $\chi =1$ . Δηλαδή το τριώνυμο $\displaystyle{{{\chi }^{2}}+\kappa \chi +\lambda }$ έχει ρίζες ${{\chi }_{1}}=-2$ και ${{\chi }_{2}}=1$
Συνεπώς από τους τύπους Vietta $\displaystyle{{{\chi }_{1}}+{{\chi }_{2}}=-\frac{\beta }{\alpha },\quad {{\chi }_{1}}{{\chi }_{2}}=\frac{\gamma }{\alpha }\,\ }$
άρα $\displaystyle{-2+1=-\kappa \quad \kappa \alpha \iota \quad -2\cdot 1=\lambda \quad \Rightarrow }$ $\displaystyle{\kappa =1,\quad \lambda =-2}$

β) i) Παραγοντοποιώντας αριθμητή και παρονομαστή : $\displaystyle{g\left( \chi \right)=\frac{\left( {{\chi }^{2}}-1 \right)\left( {{\chi }^{2}}-4 \right)}{{{\chi }^{2}}+\chi -2}=\frac{\left( \chi -1 \right)\left( \chi +1 \right)\left( \chi -2 \right)\left( \chi +2 \right)}{\left( \chi -1 \right)\left( \chi +2 \right)}=\left( \chi +1 \right)\left( \chi -2 \right)}$
ii) $\displaystyle{g\left( \chi \right)=\left( \chi +1 \right)\left( \chi -2 \right)={{\chi }^{2}}-\chi -2}$ με ρίζες το

και

επομένως για το πρόσημο της

έχουμε $\displaystyle{g\left( \chi \right)<0\Leftrightarrow -1<x<2}$ δηλαδή όταν $\chi \in \left( -1,2 \right)$

$\displaystyle{g\left( \chi \right)>0\Leftrightarrow \chi <-1\,\,\ x>2}$ δηλαδή όταν $\chi \in \left( -\infty -1 \right)\bigcup \left( 2,+\infty \right)$

Όμως $\displaystyle{-1<\alpha <2}$ επομένως $\displaystyle{2<\alpha +3}$ δηλαδή το $\alpha$ είναι ανάμεσα στις ρίζες και το $\displaystyle{\alpha +3}$ είναι εκτός των ριζών. ( $\alpha +3\in \left( 2,+\infty \right)$ )

Άρα όταν $\displaystyle{-1<\alpha <2}$ συμπεραίνουμε $\displaystyle{g\left( \alpha +3 \right)>0}$ και $\displaystyle{g\left( \alpha \right)<0}$ δηλαδή $\displaystyle{g\left( \alpha +3 \right)>g\left( \alpha \right)}$ .

pap65 · #49

Υποβάλω ξανά το Word με 4769 ως 4828 και θα κάνω ακόμα το επόμενα 4 δηλαδή από 4833 ώς 4836

Άσκηση 4828
Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{g\left( \chi \right)=\frac{\left( {{\chi }^{2}}-1 \right)\left( {{\chi }^{2}}-4 \right)}{{{\chi }^{2}}+\kappa \chi +\lambda }}$ , η οποία έχει πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R}-\left\{ -2,1 \right\}}$ .
α) Να βρείτε τις τιμές των $\kappa$ και $\lambda$ . (Mονάδες 9)
β) Για $\displaystyle{\kappa =1}$ και $\displaystyle{\lambda =-2}$ :
i ) Να απλοποιήσετε τον τύπο της

. (Μονάδες 9)
ii) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{g\left( \alpha \right)g\left( \alpha \right)>0}$ , όταν $\displaystyle{-1<\alpha <2}$ και $\displaystyle{-1<\beta <2}$ (Μονάδες 7)

Προτεινόμενη Λύση
α) Αφού το πεδίο ορισμού της

είναι το $\displaystyle{\mathbb{R}-\left\{ -2,1 \right\}}$ συμπεραίνουνε ότι ο παρονομαστής $\displaystyle{{{\chi }^{2}}+\kappa \chi +\lambda =0}$ για $\chi =-2$ ή $\chi =1$ .
Δηλαδή το τριώνυμο $\displaystyle{{{\chi }^{2}}+\kappa \chi +\lambda }$ έχει ρίζες ${{\chi }_{1}}=-2$ και ${{\chi }_{2}}=1$
Συνεπώς από τους τύπους Vietta $\displaystyle{{{\chi }_{1}}+{{\chi }_{2}}=-\frac{\beta }{\alpha },\quad {{\chi }_{1}}{{\chi }_{2}}=\frac{\gamma }{\alpha }\,\ }$

$\displaystyle{-2+1=-\kappa \quad \kappa \alpha \iota \quad -2\cdot 1=\lambda \quad \Rightarrow }$ $\displaystyle{\kappa =1,\quad \lambda =-2}$

β) i) Παραγοντοποιώντας αριθμητή και παρονομαστή :

$\displaystyle{g\left( \chi \right)=\frac{\left( {{\chi }^{2}}-1 \right)\left( {{\chi }^{2}}-4 \right)}{{{\chi }^{2}}+\chi -2}=\frac{\left( \chi -1 \right)\left( \chi +1 \right)\left( \chi -2 \right)\left( \chi +2 \right)}{\left( \chi -1 \right)\left( \chi +2 \right)}=\left( \chi +1 \right)\left( \chi -2 \right)}$
ii) $\displaystyle{g\left( \chi \right)=\left( \chi +1 \right)\left( \chi -2 \right)={{\chi }^{2}}-\chi -2}$ με ρίζες το

και

επομένως για το πρόσημο της

έχουμε $\displaystyle{g\left( \chi \right)<0\Leftrightarrow -1<x<2}$ δηλαδή όταν $\chi \in \left( -1,2 \right)$

$\displaystyle{g\left( \chi \right)>0\Leftrightarrow \chi <-1\ }$ ή $\displaystyle{x>2}$

δηλαδή όταν $\chi \in \left( -\infty -1 \right)\bigcup \left( 2,+\infty \right)$

Όμως $\displaystyle{-1<\alpha <2}$ και $\displaystyle{-1<\beta <2}$ δηλαδή τα $\alpha ,\beta$ είναι ανάμεσα στις ρίζες .

Άρα $\displaystyle{g\left( \alpha \right)<0}$ και $\displaystyle{g\left( \beta \right)<0}$ επομένως $\displaystyle{g\left( \alpha \right)g\left( \beta \right)>0}$

PanosG · #50

Άσκηση 1102

Δίνονται δύο ενδεχόμενα $\displaystyle{A,B}$ ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ και οι πιθανότητες
$\displaystyle{P\left( A \right) = \frac{3}{4},P\left( {A - B} \right) = \frac{5}{8}\kappa \alpha \iota P\left( B \right) = \frac{1}{4}}$
α) Να υπολογίσετε την $\displaystyle{P(A\cap B)}$ (Μονάδες 9)
β) i) Να υπολογίσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο: «Α ή Β» (Μονάδες 7)
ii) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης του παραπάνω ενδεχομένου. (Μονάδες 9)

Λύση
α) Για δυο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι:
$\displaystyle{P\left( {A - B} \right) = P\left( A \right) - P\left( {A\mathop \cap \nolimits B} \right) \Leftrightarrow \frac{5}{8} = \frac{3}{4} - P\left( {A\mathop \cap \nolimits B} \right) \Leftrightarrow P\left( {A\mathop \cap \nolimits B} \right) = \frac{1}{8}}$

β) i) Το ενδεχόμενο «Α ή Β» πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα A,B ,συμβολίζεται με $\displaystyle{A \cup B}$ και με διάγραμμα Venn παριστάνεται όπως στο παρακάτω σχήμα

: 1.png (9.67 KiB) Προβλήθηκε 9156 φορές

β) ii) Από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε ότι:
$\displaystyle{P\left( {A\mathop \cup \nolimits B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A\mathop \cap \nolimits B} \right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \Leftrightarrow P\left( {A\mathop \cup \nolimits B} \right) = \frac{7}{8}}$

PanosG · #51

Άσκηση 1273
Δίνονται δύο τμήματα με μήκη

και

, για τα οποία ισχύουν:
$\displaystyle{\left| {x - 3} \right| \le 2}$ και $\displaystyle{\left| {y - 6} \right| \le 4}$
α) Να δείξετε ότι: $1 \le x \le 5$ και $2 \le y \le 10$ (Μονάδες 12)
β) Να βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η περίμετρος ενός ορθογωνίου με διαστάσεις

και

(Μονάδες 13)

Λύση
α)
$\begin{array}{l} \left| {x - 3} \right| \le 2 \Leftrightarrow - 2 \le x - 3 \le 2 \Leftrightarrow - 2 + 3 \le x - 3 + 3 \le 2 + 3 \Leftrightarrow 1 \le x \le 5\\ \left| {y - 6} \right| \le 4 \Leftrightarrow - 4 \le y - 6 \le 4 \Leftrightarrow - 4 + 6 \le y - 6 + 6 \le 4 + 6 \Leftrightarrow 2 \le y \le 10 \end{array}$

β) Η περίμετρος του ορθογωνίου με διαστάσεις

και

είναι:
$\displaystyle{\Pi = 2x + y + 2x + y = 4x + 2y}$
Πολλαπλασιάζοντας με

τη σχέση $1 \le x \le 5$ έχουμε $4 \le 4x \le 20$
Πολλαπλασιάζοντας με

τη σχέση $2 \le y \le 10$ έχουμε $4 \le 2y \le 20$
Προσθέτοντας κατά μέλη τις τελευταίες έχουμε:
$8 \le 4x + 2y \le 40$
Άρα η μικρότερη τιμή της περιμέτρου είναι

και πραγματοποιείται όταν το x=1

και το

, ενώ η μεγαλύτερη είναι

και πραγματοποιείται όταν x=5

και

.

PanosG · #52

Άσκηση 1275
Δίνεται το τριώνυμο 2x^2+5x-1

α) Να δείξετε ότι το τριώνυμο έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες x_1

και

.
β) Να βρείτε την τιμή των παραστάσεων: ${x_1} + {x_2},{x_1} \cdot {x_2}$ και $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}$
γ) Να προσδιορίσετε μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς $\frac{1}{{{x_1}}}$ και $\frac{1}{{{x_2}}}$

Λύση
α) Αρκεί να αποδείξουμε ότι το τριώνυμο έχει διακρίνουσα θετική. Είναι:
$\Delta = {\beta ^2} - 4\alpha \gamma = {5^2} - 4 \cdot 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 25 + 8 = 33 > 0$

β) Από τους τύπους του Vieta έχουμε ότι:
$\begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = - \frac{\beta }{\alpha } = - \frac{5}{2}\\ P = {x_1} \cdot {x_2} = \frac{\gamma }{\alpha } = - \frac{1}{2} \end{array}$
Για την παράσταση $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}$ έχουμε:
$\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{S}{P} = \frac{{ - \frac{5}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = - 5$

γ) Η εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες $\frac{1}{{{x_1}}}$ και $\frac{1}{{{x_2}}}$ θα έχει άθροισμα και γινόμενο ριζών τα εξής:
$\begin{array}{l} S' = \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = - 5\\ P' = \frac{1}{{{x_1}}} \cdot \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{1}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{ - \frac{1}{2}}} = - 2 \end{array}$
Άρα η εξίσωση είναι η:
${x^2} - S'x + P' = 0$ δηλαδή x^2+5x-2=0

PanosG · #53

Άσκηση 1276
Δίνεται η παράσταση
$\displaystyle{{\rm K} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 4x + 4} }}{{x + 2}} - \frac{{\sqrt {{x^2} - 6x + 9} }}{{x - 3}}}$
α) Να βρεθούν οι τιμές που πρέπει να πάρει το

, ώστε η παράσταση

να έχει νόημα πραγματικού αριθμού. (Μονάδες 12)
β) Αν - 2 < x < 3

να αποδείξετε ότι η παράσταση Κ είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του x (Μονάδες 13)

Λύση
α) Για να έχει νόημα πραγματικού αριθμού η παράσταση

πρέπει να ισχύουν:
$x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2$ και $x - 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3$
Άρα το x μπορεί να πάρει όλες τις πραγματικές τιμές εκτός του

και του

.

β) Η παράσταση

γράφεται ως εξής:
$\displaystyle{{\rm K} = \frac{{\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}} }}{{x + 2}} - \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} }}{{x - 3}} = \frac{{\left| {x + 2} \right|}}{{x + 2}} - \frac{{\left| {x - 3} \right|}}{{x - 3}}}$
Όμως:

$-2<x<3\Leftrightarrow 0<x+2<5$ άρα |x+2|=x+2

για κάθε

$-2<x<3\Leftrightarrow -5<x-3<0$ άρα |x-3|=-(x-3)

για κάθε

Οπότε η παράσταση K γίνεται:
$\displaystyle{{\rm K} = \frac{{x + 2}}{{x + 2}} - \frac{{ - \left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} = 1 + 1 = 2}$

PanosG · #54

Άσκηση 1277
Δίνονται οι ανισώσεις $–x^2+5x-6<0 ,\,\ (1)$ και $x^2-16≤0,\,\ (2)$ .
α) Να βρεθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1)

και

. (Μονάδες 12)
β) Να παρασταθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1) και (2) πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών και να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παραπάνω ανισώσεων. (Μονάδες 13)

Λύση
α) Το τριώνυμο -x^2+5x-6

έχει διακρίνουσα $\Delta = {\beta ^2} - 4\alpha \gamma = 25 - 24 = 1$ και ρίζες τους αριθμούς $\displaystyle{{x_1} = \frac{{ - 5 + 1}}{{ - 2}} = 2}$ και $\displaystyle{ {x_2} = \frac{{ - 5 - 1}}{{ - 2}} = 3}$
Κατασκευάζοντας τον πίνακα προσήμων βρίσκουμε ότι οι λύσεις της ανίσωσης είναι:
$x \in \left( { - \infty ,2} \right)\mathop \cup \nolimits^ \left( {3, + \infty } \right)$
Για την ανίσωση (2) έχουμε:
$\displaystyle{{x^2} - 16 \le 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 16 \Leftrightarrow \left| x \right| \le 4 \Leftrightarrow - 4 \le x \le 4}$

β) Οι κοινές λύσεις των ανισώσεων είναι: $x \in \left[ { - 4,2} \right)\mathop \cup \nolimits \left( {3,4} \right]$

PanosG · #55

Άσκηση 1278
Δίνεται πραγματικός αριθμός

για τον οποίο ισχύει d(x,2)<1

Να δείξετε ότι:
α) -3<x<-1

. (Μονάδες 10)
β) x^2+4x+3<0

(Μονάδες 15)

Λύση
α)
$\displaystyle{d\left( {x, - 2} \right) < 1 \Leftrightarrow \left| {x + 2} \right| < 1 \Leftrightarrow - 1 < x + 2 < 1 \Leftrightarrow - 3 < x < - 1}$

β) Είναι:
$\displaystyle{{x^2} + 4x + 3 = {x^2} + 4x + 4 - 1 = {\left( {x + 2} \right)^2} - 1 = \left( {x + 2 - 1} \right)\left( {x + 2 + 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}$
Όμως από το α) ερώτημα
x<-1

άρα

Οπότε

PanosG · #56

Άσκηση 1281
Δίνεται το τριώνυμο $\displaystyle{-{x^2} + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x + \sqrt 3 }$

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι $\Delta = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}$ (Μονάδες 12)
β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο (Μονάδες 13)

Λύση
$\displaystyle{\alpha )\Delta = {\beta ^2} - 4\alpha \gamma = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} + 4\sqrt 3 = {\sqrt 3 ^2} - 2\sqrt 3 + 1 + 4\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}}$

β) Το τριώνυμο έχει ρίζες:

$\displaystyle{{x_1} = \frac{{ - \left( {\sqrt 3 - 1} \right) + \sqrt 3 + 1}}{2} = \frac{2}{2} = 1\kappa \alpha \iota {x_2} = \frac{{ - \left( {\sqrt 3 - 1} \right) - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2} = \frac{{ - 2\sqrt 3 }}{2} = - \sqrt 3 }$
Οπότε παραγοντοποιείται ως εξής:
$\displaystyle{-{x^2} + \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x + \sqrt 3 = - \left( {x - 1} \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right)}$

PanosG · #57

Άσκηση 1282
α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο 3x^2-2x-1

(Μονάδες 8)
β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες έχει νόημα η παράσταση:
$\displaystyle{A\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{3{x^2} - 2x - 1}}}$
και στη συνέχεια να την απλοποιήσετε. (Μονάδες 9)
γ) Να λύσετε την εξίσωση: |Α(x)|=1

(Μονάδες 8)
Λύση
α) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα $\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} + 12 = 16$ και ρίζες τους αριθμούς
$\displaystyle{{x_1} = \frac{{2 + 4}}{6} = 1,\,\ \kappa \alpha \iota ,\,\ {x_2} = \frac{{2 - 4}}{6} = - \frac{1}{3}}$
Άρα παραγοντοποιείται ως εξής: $\displaystyle{3{x^2} - 2x - 1 = 3\left( {x + \frac{1}{3}} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {3x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}$

β) Η παράσταση

έχει νόημα για $\displaystyle{x\neq0}$ και $\displaystyle{x\neq -\frac{2}{3}}$
$\displaystyle{A\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{3{x^2} - 2x - 1}} = \frac{{x - 1}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{1}{{3x + 1}}}$
γ)
$\displaystyle{\left| {{\rm A}\left( x \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\frac{1}{{3x + 1}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {3x + 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0}\\ \\ {3x + 1 = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{2}{3}} \end{array}} \right.}$
Οι οποίες είναι δεκτές

PanosG · #58

Άσκηση 1283
α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο x^2+2x-3

(Μονάδες 8)
β) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
$\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}}}$
και στη συνέχεια να απλοποιήσετε τον τύπο της. (Μονάδες 9)
γ) Να παραστήσετε γραφικά την παραπάνω συνάρτηση. (Μονάδες 8)
Λύση

α) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα $\Delta=4+12=16$ και ρίζες τους αριθμούς
$\displaystyle{{x_1} = \frac{{ - 2 + 4}}{2} = 1 \,\,\kappa \alpha \iota \,\ {x_2} = \frac{{ - 2 - 4}}{2} = - 3}$
Άρα παραγοντοποιείται ως εξής: $\displaystyle{x^2+2x-3=(x-1)(x+3)}$

β) Για να ορίζετε η συνάρτηση πρέπει $x-1≠0⇔x\neq 1$ . Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο
$A = \left( { - \infty ,1} \right)\mathop \cup \nolimits \left( {1, + \infty } \right)$
$\displaystyle{f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 1}} = x + 3}$ για κάθε $\displaystyle{x\in A}$

γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι η ευθεία y=x+3

από την οποία εξαιρείται το σημείο με συντεταγμένες (1,4)

και φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

PanosG · #59

Άσκηση 1287
Δίνεται ο πίνακας

$\displaystyle{\begin{array}{*{20}{l}} &1&2&3\\ 1&{11}&{12}&{13}\\ 2&{21}&{22}&{23}\\ 3&{31}&{32}&{33} \end{array}}$

Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους εννέα διψήφιους αριθμούς του παραπάνω πίνακα.
Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης των παρακάτω ενδεχομένων.
Α: ο διψήφιος να είναι άρτιος (Μονάδες 7)
Β: ο διψήφιος να είναι άρτιος και πολλαπλάσιος του 3 (Μονάδες 9)
Γ: ο διψήφιος να είναι άρτιος ή πολλαπλάσιος του 3 (Μονάδες 9)

Λύση:
Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από εννέα αριθμούς και είναι ο $\Omega=\{11,12,13,21,22,23,31,32,33\}$
Οι διψήφιοι άρτιοι αριθμοί του Ω είναι οι 12,22,32

άρα το ενδεχόμενο Α είναι το $A=\{12,22,32\}$ και η πιθανότητα του είναι
$\displaystyle{P\left( A \right) = \frac{{N\left( A \right)}}{{N\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}}$
Από τα στοιχεία του συνόλου

μόνο ο

διαιρείται με το

, άρα το ενδεχόμενο

είναι το $B=\{12\}$ και η πιθανότητα του

είναι:
$\displaystyle{P\left( B \right) = \frac{{N\left( B \right)}}{{N\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{9}}$
Οι αριθμοί του $\Omega$ που είναι πολλαπλάσια του

είναι οι

ενώ οι άρτιοι είναι οι 12,22,32

άρα το ενδεχόμενο $\Gamma$ είναι το $\Gamma=\{12,21,22,32,33\}$ και η πιθανότητα του είναι:
$\displaystyle{P\left( \Gamma \right) = \frac{{{\rm N}\left( \Gamma \right)}}{{{\rm N}\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{9}}$

PanosG · #60

Όλα τα παραπάνω σε word.

Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re:4679-4682, 4819

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μέλη σε σύνδεση