Ευθεία

ThomasG · #1

Καλησπέρα σας, μια μαθήτρια μου παρέθεσε την παρακάτω απόδειξη για την εξίσωση ευθείας: $y-y_{0}=$ $\lambda$ $(x-x_{0})$ .

"Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση της ευθείας είναι της μορφής $y=ax+\beta$ . Έστω σημείο $A(x_{0},y_{0})$ από το οποίο διέρχεται η ευθεία $y=ax+\beta$ άρα $y_{0}=ax_{0}+\beta$ (1)

και έστω τυχαίο σημείο B(x,y)

από το οποίο διέρχεται η ευθεία $y=ax+\beta$ (2)

. Αφαιρώντας τις (1)

,

κατά μέλη προκύπτει η ζητούμενη σχέση.
$y-y_{0}=$ $\alpha$ $(x-x_{0})$ .''

Εγώ την δεν πήρα ως σωστή διότι η εξίσωση της ευθείας $y=ax+\beta$ έπεται της $y-y_{0}=$ $\lambda$ $(x-x_{0})$ ενώ ο καθηγητής της την έλαβε ως σωστή. Ποιά είναι η άποψη σας;
Σας ευχαριστω.

#2

ThomasG έγραψε:Καλησπέρα σας, μια μαθήτρια μου παρέθεσε την παρακάτω απόδειξη για την εξίσωση ευθείας: $y-y_{0}=$ $\lambda$ $(x-x_{0})$ .

"Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση της ευθείας είναι της μορφής $y=ax+\beta$ . Έστω σημείο $A(χ_{0},y_{0})$ από το οποίο διέρχεται η ευθεία $y=ax+\beta$ άρα $y_{0}=ax_{0}+\beta$ και έστω τυχαίο σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία $y=ax+\beta$ . Αφαιρώντας τις , κατά μέλη προκύπτει η ζητούμενη σχέση.
$y-y_{0}=$ $\alpha$ $(x-x_{0})$ .''

Εγώ την δεν πήρα ως σωστή διότι η εξίσωση της ευθείας $y=ax+\beta$ έπεται της $y-y_{0}=$ $\lambda$ $(x-x_{0})$ ενώ ο καθηγητής της την έλαβε ως σωστή. Ποιά είναι η άποψη σας;
Σας ευχαριστω.

Καλησπέρα.

Η γνώμη μου είναι πως η απάντηση είναι σωστή, γιατί η εξίσωση $\displaystyle{y = ax + \beta }$ θεωρείται γνωστή από την ύλη της α΄ λυκείου, αλλά ακόμα και και από το γυμνάσιο.

STOPJOHN · #3

Καλησπέρα ,πιστεύω ότι η απόδειξη είναι λάθος είναι ο γνωστός αποδεικτικός κύκλος και νομίζω ότι το έχουμε συζητήσει και άλλη φορά στο foroum .H Θεωρία και οι αποδείξεις είναι αλυσίδα δεν είναι ΑΣΚΗΣΕΙΣ....πολλές φορές τα παιδιά ακούνε ότι μελέτησε την θεωρία όπως τις ασκήσεις και γίνεται τέτοιο ανακάτεμα ...που δεν έχει τέλος. Είναι γνωστό το βασικό τριγωνομετρικό όριο $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1$ το οποίο δεν μπορεί να γίνει με τους κανόνες του DE L HOSPITAL

Καλό βράδυ σε όλους

Γιάννης

Ιστοσελίδα · #4

Έχω την εντύπωση ότι ο καθηγητής της κοπέλας είμαι εγώ ….. ή υπάρχει διαβολική σύμπτωση

.

Ναι θεωρώ ότι η απόδειξη είναι σωστή γιατί η εξίσωση της ευθείας στην μορφή είναι ήδη γνωστή στους μαθητές από το βιβλίο της πρώτης λυκείου, συνεπώς δεν τίθεται (κατ΄ εμέ ) το πρόβλημα του φαύλου κύκλου.

Άλλωστε η άποψη μου ενισχύεται με το όριο που αναφέρει ο συνάδελφος STOPJOHN όπου γνωστό πανεπιστημιακό βιβλίο το αποδεικνύει με τη χρήση του κανόνα του del hospital αφού την απόδειξη της παραγώγου του ημιτόνου την κάνει χωρίς την χρήση του ορίου αυτού.

ThomasG · #5

george visvikis έγραψε:
ThomasG έγραψε:Καλησπέρα σας, μια μαθήτρια μου παρέθεσε την παρακάτω απόδειξη για την εξίσωση ευθείας: $y-y_{0}=$ $\lambda$ $(x-x_{0})$ .

"Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση της ευθείας είναι της μορφής $y=ax+\beta$ . Έστω σημείο $A(χ_{0},y_{0})$ από το οποίο διέρχεται η ευθεία $y=ax+\beta$ άρα $y_{0}=ax_{0}+\beta$ και έστω τυχαίο σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία $y=ax+\beta$ . Αφαιρώντας τις , κατά μέλη προκύπτει η ζητούμενη σχέση.
$y-y_{0}=$ $\alpha$ $(x-x_{0})$ .''

Εγώ την δεν πήρα ως σωστή διότι η εξίσωση της ευθείας $y=ax+\beta$ έπεται της $y-y_{0}=$ $\lambda$ $(x-x_{0})$ ενώ ο καθηγητής της την έλαβε ως σωστή. Ποιά είναι η άποψη σας;
Σας ευχαριστω.
Καλησπέρα.

Η γνώμη μου είναι πως η απάντηση είναι σωστή, γιατί η εξίσωση $\displaystyle{y = ax + \beta }$ θεωρείται γνωστή από την ύλη της α΄ λυκείου, αλλά ακόμα και και από το γυμνάσιο.

Γιώργο η εξίσωση είναι γνωστή όντως από το Γυμνάσιο αλλά είναι αναπόδειχτη. Στην σελίδα 61 των μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου αναφέρεται στην $y=ax+\beta$ ως αποτέλεσμα της $y-y_{0}=$ $\lambda$ $(x-x_{0})$ άρα θεώρησε δεδομένο το ζητούμενο και το χρησιμοποίησε στο να αποδείξει το ζητούμενο. Αυτή είναι η γνώμη μου.
Φιλικά

Ιστοσελίδα · #6

Το καινούριο σχολικό της Α λυκείου στην σελίδα 113 την απόδειξη του τύπου

$a=\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$ την κάνει ως εξής

Θεωρεί δύο τυχαία σημεία $A({{x}_{1}},{{y}_{1}})$ και $B({{x}_{2}},{{y}_{2}})$ της ευθείας
Και δηλώνει ότι ισχύουν οι σχέσεις
${{y}_{1}}=\alpha {{x}_{1}}+\beta$
${{y}_{2}}=\alpha {{x}_{2}}+\beta$
Και αφαιρώντας κατά μέλη προκύπτει

${{y}_{2}}-{{y}_{1}}=(\alpha {{x}_{2}}+\beta )-(\alpha {{x}_{1}}+\beta )=\alpha ({{x}_{2}}-{{x}_{1}})$

…διαφέρει αυτή η απόδειξη από αυτή της μαθήτριας.

επειδή δεν αποδεικνύεται η μορφή της ευθείας $y=\alpha x+\beta$ στο σχολικό βιβλίο της Α τάξης σημαίνει ότι είναι άγνωστη γνώση για τους μαθητές;

#7

ThomasG έγραψε:
george visvikis έγραψε:
ThomasG έγραψε:Καλησπέρα σας, μια μαθήτρια μου παρέθεσε την παρακάτω απόδειξη για την εξίσωση ευθείας: $y-y_{0}=$ $\lambda$ $(x-x_{0})$ .

"Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση της ευθείας είναι της μορφής $y=ax+\beta$ . Έστω σημείο $A(χ_{0},y_{0})$ από το οποίο διέρχεται η ευθεία $y=ax+\beta$ άρα $y_{0}=ax_{0}+\beta$ και έστω τυχαίο σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία $y=ax+\beta$ . Αφαιρώντας τις , κατά μέλη προκύπτει η ζητούμενη σχέση.
$y-y_{0}=$ $\alpha$ $(x-x_{0})$ .''

Εγώ την δεν πήρα ως σωστή διότι η εξίσωση της ευθείας $y=ax+\beta$ έπεται της $y-y_{0}=$ $\lambda$ $(x-x_{0})$ ενώ ο καθηγητής της την έλαβε ως σωστή. Ποιά είναι η άποψη σας;
Σας ευχαριστω.
Καλησπέρα.

Η γνώμη μου είναι πως η απάντηση είναι σωστή, γιατί η εξίσωση $\displaystyle{y = ax + \beta }$ θεωρείται γνωστή από την ύλη της α΄ λυκείου, αλλά ακόμα και και από το γυμνάσιο.
Γιώργο η εξίσωση είναι γνωστή όντως από το Γυμνάσιο αλλά είναι αναπόδειχτη. Στην σελίδα 61 των μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου αναφέρεται στην $y=ax+\beta$ ως αποτέλεσμα της $y-y_{0}=$ $\lambda$ $(x-x_{0})$ άρα θεώρησε δεδομένο το ζητούμενο και το χρησιμοποίησε στο να αποδείξει το ζητούμενο. Αυτή είναι η γνώμη μου.
Φιλικά

Στο βιβλίο της β΄Λυκείου, στο 1ο κεφάλαιο στα συστήματα, αποδεικνύεται ότι η εξίσωση $\displaystyle{ax + \beta y = \gamma }$ , $\displaystyle{a \ne 0}$ , ή $\displaystyle{\beta \ne 0}$ , παριστάνει ευθεία, που στην ουσία πρόκειται για την ίδια εξίσωση με την $\displaystyle{y = ax + \beta }$ .

Φιλικά
Γιώργος.

#8

Καλησπέρα στην παρέα ,στην απόδειξη της μαθητρίας δεν βλέπω κάποιο ιδιαίτερο πρόβλημα (εκτός του ότι ρισκάρει και δεν γνώριζε ίσως την απόδειξη του σχολικού).
Επίσης δεν πρέπει να υπάρχει πρόβλημα αν κάποιος μαθητής δώσει την παρακάτω λύση $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\eta \mu 2x}{x}\underset{{D}'LH}{\overset{\left( \frac{0}{0} \right)}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\sigma \upsilon \nu 2x}{1}=2$

pavvou · #9

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Το καινούριο σχολικό της Α λυκείου στην σελίδα 113 την απόδειξη του τύπου

$a=\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$ την κάνει ως εξής

Θεωρεί δύο τυχαία σημεία $A({{x}_{1}},{{y}_{1}})$ και $B({{x}_{2}},{{y}_{2}})$ της ευθείας
Και δηλώνει ότι ισχύουν οι σχέσεις
${{y}_{1}}=\alpha {{x}_{1}}+\beta$
${{y}_{2}}=\alpha {{x}_{2}}+\beta$
Και αφαιρώντας κατά μέλη προκύπτει

${{y}_{2}}-{{y}_{1}}=(\alpha {{x}_{2}}+\beta )-(\alpha {{x}_{1}}+\beta )=\alpha ({{x}_{2}}-{{x}_{1}})$

…διαφέρει αυτή η απόδειξη από αυτή της μαθήτριας.

επειδή δεν αποδεικνύεται η μορφή της ευθείας $y=\alpha x+\beta$ στο σχολικό βιβλίο της Α τάξης σημαίνει ότι είναι άγνωστη γνώση για τους μαθητές;

Πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ποιο είναι το δεδομένο και ποιο το ζητούμενο της πρότασης του Σχολικού Βιβλίου της Α Λυκείου. Νομίζω ότι είναι διαφορετική πρόταση από αυτή της Β Λυκείου. Στην 1η περίπτωση δίνεται η εξίσωση της ευθείας, ενώ στη 2η ζητείται.

Άρα κατ΄εμέ η απόδειξη της μαθήτριας είναι λάθος..

φιλικά

pana1333 · #10

Καλησπέρα και από εμένα. Θα συμφωνήσω με τους περισσότερους συναδέλφους ότι είναι σωστή η απόδειξη. Γενικά είμαι της γνώμης όχι μόνο πρέπει να θεωρηθεί σωστή αλλά να επιβραβευθεί ο μαθητής που παρόλο δεν γνωρίζει την απόδειξη μπορεί και αυτοσχεδιάζει. Χίλιες φορές μια τέτοια λύση από μια λύση "καρμπόν" μέσα από το σχολικό χωρίς ο μαθητής να καταλαβαίνει καν τι γράφει και απλά την έμαθε απέξω. Γενικότερα όμως συμβουλεύω τους μαθητές να γράφουν τις αποδείξεις όπως είναι στα σχολικά βιβλία ώστε να μην μπουν σε περιπέτειες όπως στη περίπτωση της μαθήτριας εδώ.

ThomasG έγραψε: Γιώργο η εξίσωση είναι γνωστή όντως από το Γυμνάσιο αλλά είναι αναπόδειχτη. Στην σελίδα 61 των μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου αναφέρεται στην $y=ax+\beta$ ως αποτέλεσμα της $y-y_{0}=$ $\lambda$ $(x-x_{0})$ άρα θεώρησε δεδομένο το ζητούμενο και το χρησιμοποίησε στο να αποδείξει το ζητούμενο. Αυτή είναι η γνώμη μου.
Φιλικά

Διαφωνώ στο ότι η απόδειξη της μαθήτριας είναι λάθος για αυτό το λόγο. Εγώ προσωπικά θα έλεγα στη μαθήτρια αυτή μπράβο αλλά θα την συμβούλευα να διαβάζει τις αποδείξεις από το σχολικό βιβλίο διότι μπορεί ο καθηγητής να θέλει να ελέγξει κατά πόσο η μαθήτρια έχει διαβάσει και κατανοήσει την συγκεκριμένη απόδειξη. Με αυτή τη λογική (καλώς ή κακώς) θα μπορούσε να μην πάρει η μαθήτρια όλες τις μονάδες.
Καλό είναι όμως να ξεφεύγουμε από τέτοιους φαύλους κύκλους γιατί μπαίνουμε σε λογικές όπως για παράδειγμα κατά πόσο μπορεί ο μαθητής στα μαθηματικά Γενικής της Γ να χρησιμοποιήσει για να υπολογίσει την εφαπτομένη, ως εξίσωση της ευθείας την $y-y_{0}=$ $\lambda$ $(x-x_{0})$ που δεν υπάρχει στο σχολικό. Δηλαδή αν ένας μαθητής χρησιμοποιήσει την εξίσωση αυτή και κάνει και την παραπάνω απόδειξη που έκανε η μαθήτρια θα χάσει όλη την άσκηση; Νομίζω ασχολούμαστε αδίκως με τέτοια θέματα.

pavvou έγραψε: …διαφέρει αυτή η απόδειξη από αυτή της μαθήτριας.

επειδή δεν αποδεικνύεται η μορφή της ευθείας $y=\alpha x+\beta$ στο σχολικό βιβλίο της Α τάξης σημαίνει ότι είναι άγνωστη γνώση για τους μαθητές;

Πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ποιο είναι το δεδομένο και ποιο το ζητούμενο της πρότασης του Σχολικού Βιβλίου της Α Λυκείου. Νομίζω ότι είναι διαφορετική πρόταση από αυτή της Β Λυκείου. Στην 1η περίπτωση δίνεται η εξίσωση της ευθείας, ενώ στη 2η ζητείται.

Άρα κατ΄εμέ η απόδειξη της μαθήτριας είναι λάθος..

φιλικά

Η μαθήτρια θεωρεί ως δεδομένο από παλιότερο έτος ότι η ευθεία έχει εξίσωση y=ax+b

και αποδεικνύει το ζητούμενο. Δε βλέπω κάπου λάθος

Christos.N · #11

Αγαπητοί μου συνάδελφοι, διάβασα πολύ προσεκτικά όλες τις δημοσιεύσεις και μου δημιουργήθηκε η εξής απορία. Έχουμε έναν μαθητή - μαθήτρια στην συγκεκριμένη περίπτωση - όπου σε μια πλήρως ανεπτυγμένη θεωρία για την απόδειξη της εξίσωσης της ευθείας όπου σταδιακά με ορισμούς και προτάσεις του διανυσματικού λογισμού γίνεται πέρασμα στην θεμελίωση της, δεν έδωσε αποτυπωμένα στοιχεία κατανόησης.

Έτσι ρωτώ " Έχει κατανοήσει την σημασία αυτής της απόδειξης;"

Αποδεικνύεται με αυτόν τον τρόπο ότι ένα γραπτό δεν διαφωτίζει πλήρως τον διδάσκοντα ούτε την πραγματική της γνώση ούτε την βαθύτερη κατανόηση της σε αυτή. Όταν όμως ο διδάσκοντας θέτει μια συγκεκριμένη θεωρία προς εξέταση, προσοχή θεωρία όχι άσκηση, είναι δυνατόν η απάντηση της να θεωρείται έγκυρη;

STOPJOHN · #12

Πιστεύω ότι η συζήτηση γίνεται με βάση τα σχολικά δεδομένα και ΟΧΙ τα συγγράμματα των Πανεπιστημίων (Σπύρος Καρδαμίτσης )δηλαδή να δεχτούμε το βασικό όριο $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1$ με τον κανόνα του DE L HOSPITAL

;; Εδώ είναι ο φαύλος κύκλος και οι μαθητές μας μπερδεύονται. Νομίζω ότι χρειάζεται η αυτενέργεια του μαθητή στις ασκήσεις ,ενώ στη θεωρία θα πρέπει να γίνονται προσεκτικά και να κατανοούνται οι αποδείξεις του σχολικού βιβλίου .Πάντως σε εξετάσεις Α Δέσμης δεν έγιναν δεκτές οι αποδείξεις που εμπίπτουν στν φαύλο κύκλο , από ομάδα Μαθηματικών του Βαθμολογικού κεντρου
Φιλικά
Γιάννης

ThomasG · #13

Λοιπόν διαβάζοντας όλες τις παραπάνω δημοσιεύσεις και συζητώντας με πολλούς συναδέλφους κατέληξα ότι αν εξεταζόταν ως άσκηση θα γινόταν αποδεκτή η απάντηση της. Από την στιγμή όμως που εξετάζεται ως θεωρία και η μαθήτρια διαλέγει τον εναλλακτικό τρόπο του να δημιουργήσει μια απόδειξη μόνη της πιστεύω ότι είναι λανθασμένη (τους λόγους τους αναφέρω παραπάνω). Η απόδειξη (θεωρίας) πιστεύω θα πρέπει να είναι τέτοια που να μην αφήνει κανένα περιθώριο κάποιος να την αμφισβητήσει. Να είναι σαφής και πλήρης (κάτι το οποίο είναι εξαιρετικά δύσκολο) και για αυτό το λόγο προτείνω στους μαθητές να ακολουθούν τις αποδείξεις του βιβλίου γιατί πολύ εύκολα μπορεί να μην αντιληφθούν κάποιο κένο της δικής τους απόδειξης.
Ευχαριστώ πολύ όλους για το ενδιαφέρον σας.

Ιστοσελίδα · #14

H κριτική διαγωνισμάτων, σχολίων που γίνονται σε μια τάξη, θα πρέπει να εκφράζεται με πολύ προσοχή γιατί ισχύει η παροιμία: «όσα δεν ξέρει ο νοικοκύρης δεν τα ξέρει ο κόσμος όλος».

Ο καθηγητής της τάξης της μαθήτριας όντως είμαι εγώ, και δεν γνωρίζει κανείς τι διαπραγμάτευση έχω κάνει μέσα στην τάξη. Για να γίνω πιο σαφής. Σε κάθε μάθημα που έκανα στην ευθεία, ξεκινούσα πάντοτε ως σύνδεση με τα προηγούμενα να καταγράφω όσο το δυνατό πιο περιεκτικά τι κάναμε στα προηγούμενα μαθήματα ώστε να έρθουν στο κλίμα του μαθήματος όλοι οι μαθητές της τάξης.

Σε κάθε μάθημα λοιπόν αφιέρωνα 5-7

περίπου από τα

λεπτά που είχα στην διάθεση μου για να καταγράψω και να σχολιάσω με την βοήθεια των μαθητών τι έχουμε πει μέχρι εκείνη τη στιγμή από το συγκεκριμένο κεφάλαιο της ευθείας. Όταν κάθε φορά διαπραγματευόμασταν τον συντελεστή της ευθείας αναφέραμε στην τάξη και εγώ κατέγραφα στο 1/3

του πίνακα για να είναι ορατά στους μαθητές κατά την διάρκεια του μαθήματος με την σειρά τα ακόλουθα:

Την σχέση που προσδιορίζει τον συντελεστή της ευθείας όταν είναι γνωστές οι συντεταγμένες δύο σημείων της.
Την σχέση που συνδέει την οξεία γωνία που σχηματίζει η ευθεία με τον οριζόντιο άξονα με τον συντελεστή της ευθείας.
Την τιμή του συντελεστή μιας ευθείας που είναι παράλληλη με τον οριζόντιο άξονα.
Τι συμβαίνει με τον συντελεστή μιας ευθείας που είναι κάθετη στον οριζόντιο άξονα.
Τις συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών.

Εκτός από αυτά που αναφέρει το βιβλίο της κατεύθυνσης έκανα σε κάθε μάθημα και σχετική μνεία για την ευθεία που ορίζεται από την εξίσωση $y=\lambda x+\beta$ τονίζοντας ότι διδάχτηκε πέρσι (στην Α λυκείου) αναφέροντας χαρακτηριστικά ότι «αν για μια ευθεία είναι γνωστή εξίσωση της και αυτή είναι λυμένη ως προς

, τότε ο συντελεστής της μεταβλητής

εκφράζει τον συντελεστή διεύθυνσης της»
Επομένως η μαθήτρια σε κάθε μάθημα στην σύνδεση που γίνονταν με τα προηγούμενα άκουγε και έβλεπε γραμμένο στο πίνακα μεταξύ των άλλων και την σχέση $y=\lambda x+\beta$ ως γνώση της Α λυκείου. Η παραπάνω διαδικασία επαναλήφτηκε

περίπου φορές.

Η προετοιμασία της μαθήτριας για το διαγώνισμα ήταν ελλιπής αλλά στην μνήμη της είχε αποτυπωθεί η γνώση της εξίσωσης $y=\lambda x+\beta$ και το τι παριστάνει, επομένως ήρθε ως λογική συνέπεια η απόδειξη που έκανε. Η γνώση της σχέσης ότι παριστάνει ευθεία για την συγκεκριμένη τάξη είναι προϋπάρχουσα και επαναλαμβανόμενη, με αυτές τις συνθήκες η απόδειξη που έγραψε στο διαγώνισμα η μαθήτρια για μένα είναι ΣΩΣΤΗ.

Θα μπορούσα να δεχτώ ως κριτική ότι κακώς ανέφερα την εξίσωση $y=\lambda x+\beta$ πριν αποδείξω την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από σημείο και έχει συντελεστή διεύθυνσης $\lambda$ . Αν είχα προγραμματίσει μια τέτοια σειρά στην διδασκαλία μου θα μπορούσα να δεχτώ ότι η απόδειξη της μαθήτριας δεν είναι σωστή, αλλά με τις συνθήκες που έγιναν τα μαθήματα την θεωρώ απόλυτα ορθή.

STOPJOHN · #15

Σπύρο, καλησπέρα μελέτησα προσεκτικά το διδακτικό μοντέλο που ακολουθείς και πρέπει να πω ότι μου άρεσε .Ωστοσο παρόμοια προβλήματα έχουμε κάθε χρόνο και στην Γεωμετρία της Α Λυκείου . Στο Γυμνάσιο οι μαθητές γνωρίζουν το άθροισμα των γωνιών τριγώνου ότι ειναι δυο ορθές ,όταν όμως είμαστε στα τρίγωνα λένε στις ασκήσεις το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι γνωστό από το Γυμνάσιο και λύνουν την ασκηση .Είναι σωστό αυτό ; Οταν στη Γεωμετρία της Α Λυκείου η απόδειξη είναι στο επόμενο κεφάλαιο . Πιστεύω ότι θα πρέπει να μάθουνε τις αποδείξεις με τη σειρά του σχολικού βιβλίου και να αυτενεργούν στις ασκήσεις
Να τελειώσω με το εξής σχόλιο: η κριτική που γίνεται σε τέτοια θέματα διδακτικής είναι γόνιμη και ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ,αν μου επιτρέπεται, εξυπνακίστικη ...

Καλό βράδυ
Φιλικά
Γιάννης

Ιστοσελίδα · #16

Με βάση αυτή λογική ότι η γεωμετρία στο λύκειο ξεκινάει «από την αρχή» η χρήση του αθροίσματος των γωνιών ενός τριγώνου σε ασκήσεις και θέματα πριν την διδασκαλία του μπορεί κανείς να την θεωρήσει ως μη ορθή. Αλλά η χρήση ή όχι της σχέσης του αθροίσματος των γωνιών του τριγώνου είναι θέμα διδακτικού συμβολαίου μέσα στην τάξη. Αν οριστεί από τον καθηγητή της τάξης ότι οι γνώσεις της γεωμετρίας στο γυμνάσιο είναι δεδομένες τότε η χρησιμοποίηση της σχέσης είναι ορθή, αν όχι δεν είναι.

#17

ThomasG έγραψε:Καλησπέρα σας, μια μαθήτρια μου παρέθεσε την παρακάτω απόδειξη για την εξίσωση ευθείας: $y-y_{0}=$ $\lambda$ $(x-x_{0})$ .

"Γνωρίζουμε ότι η εξίσωση της ευθείας είναι της μορφής $y=ax+\beta$ . Έστω σημείο $A(x_{0},y_{0})$ από το οποίο διέρχεται η ευθεία $y=ax+\beta$ άρα $y_{0}=ax_{0}+\beta$ και έστω τυχαίο σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία $y=ax+\beta$ . Αφαιρώντας τις , κατά μέλη προκύπτει η ζητούμενη σχέση.
$y-y_{0}=$ $\alpha$ $(x-x_{0})$ .''

Εγώ την δεν πήρα ως σωστή διότι η εξίσωση της ευθείας $y=ax+\beta$ έπεται της $y-y_{0}=$ $\lambda$ $(x-x_{0})$ ενώ ο καθηγητής της την έλαβε ως σωστή. Ποιά είναι η άποψη σας;
Σας ευχαριστω.

Λυπάμαι που είχα χάσει αυτή τη συζήτηση. Είναι όντως από τα ωραία της δουλειάς μας !

- Την απόδειξη αυτή την έχω συναντήσει παλιότερα και σε ξένα βιβλία-άντε να θυμηθώ τώρα που !

- Η απόδειξη της μαθήτριας είναι τέλεια ! Πιο ωραία δεν θα μπορούσε να είναι. Δεν είναι ίδια βέβαια με αυτή του σχολικού βιβλίο στο συγκεκριμένο μάθημα, αλλά τι με αυτό ;Εχει πει ποτέ κανένας στη μαθήτρια ή σε κάποιον άλλο ότι στη Β ΄Λυκείου και στο μάθημα της κατεύθυνσης γίνεται αξιωματική θεμελίωση της αναλυτικής γεωμετρίας και πως μέχρι να συναντήσουμε μια έννοια προσποιούμαστε ότι δεν γνωρίζουμε τίποτα άλλο για αυτήν ; Μήπως δόθηκε εκ νέου ο ορισμός της ευθείας ή της παραλληλίας ευθειών ή της γωνίας κλπ ;
Σε όλα τα σχολικά αλλά και τα πανεπιστημικά βιβλία (κυρίως των πολυτεχνείων) η αναλυτική γεωμετρία διδάσκεται με αυτό τον ανάμεικτο τρόπο: Όλα θεωρούνται γνωστά(πάρτε όποιο θεώρημα της ευκλείδειας γεωμετρίας θέλετε και χρησιμοποιείστε το) και όπου εξυπηρετετεί ή όπου είναι ανάγκη πάμε ένα βήμα μπροστά βρίσκοντας τις εξισώσεις γραμμών του επιπέδου. Αυτός είναι άλλωστε και ο εισαγωγικός σκοπός του μαθήματος.
Στο δικό μας βιβλίο γίνεται μια σύνδεση με το διανυσματικό λογισμό και η εξίσωση ευθείας γίνεται για διδακτικούς λόγους μέσω του συντελεστή διεύθυνσης διανύσματος. Η ευθεία είναι όμως ήδη γνωστή ως εξίσωση από την γ΄ακόμα Γυμνασίου.Τι κι αν δεν έχει γίνει μέχρι τώρα αυστηρή απόδειξη της εξίσωσή της ;

Σε ένα μάθημα λοιπόν που δεν έχει τη δομή της παραγωγικής και αξιωματικής θεμελίωσης όπως η Γεωμετρία, η χρήση τύπων και προτάσεων από μικρότερες τάξεις είναι και θεμιτή και απολύτως αποδεκτή. Στο συγκεκριμένο μάλιστα σημείο, η απόδειξη της μαθήτριας κρύβει περισσότερη ευφυία, από την διανυσματική απόδειξη.Είναι πέρα από κάθε φαντασία άστοχο να λέμε ότι θα τιμωρήσουμε τη μαθήτρια.

Για το ζήτημα με τους φαύλους κύκλους πρέπει επίσης να είμαστε προσεκτικοί. Όταν ο μαθητής μαθαίνει ένα θεώρημα, δικαιούται να το χρησιμοποιήσει παντού.Θα είχε ενδιαφέρον μόνο αν το σχολικό βιβλίο έλεγε ότι κατά την εφαρμογή του κανόνα de L'Hospital πρέπει να προσέχουμε τυχόν φαύλους κύκλους, όπως πχ με το όριο $\frac {sin x}{x}$ όταν το

τείνει στο μηδέν.
Και ερωτώ κάθε ακόμα λογικά σκεπτόμενο άνθρωπο :

'' Μπορεί ένας μαθητής να ανακαλύψει ή να σκεφτεί ποτέ ότι στο παραπάνω όριο με τον κανόνα de L'Hospital γίνεται έμμεση χρήση του ζητούμενου ορίου, τη στιγμή μάλιστα που η απόδειξη της παραγώγου του sin x

είναι έξω από την ύλη ; ''

Ας αναγραφεί στο σχολικό βιβλίο ότι γίνεται φαύλος κύκλος ή ας δοθεί ως οδηγία στα Λύκεια να το τονίσουν αυτό οι καθηγητές κι αν μετά ο μαθητής το χρησιμοποιήσει, ας μηδενιστεί.
Δε θέλω να επεκταθώ, διότι αν πχ στην ενότητα του εσωτερικού γινομένου θέσουμε το ερώτημα '' τι είναι καθαρά διανυσματική απόδειξη σε μια άσκηση '', θα δειτε ότι βρισκόμαστα σε έναν ατέλειωτο φαύλο κύκλο ανάμεσα στην ευκλείδεια γεωμετρία, την αναλυτική γεωμετρία , στα διανύσματα και στην άλγεβρα. Κι όλα αυτά βέβαια διότι η μεν αναλυτική γεωμετρία είναι ένα ευκλείδειο μοντέλο που αποδεικνύει τη συνέπεια στου Ευκλείδου γεωμετρικού μοντέλου, ο δε διανυσματικός λογισμός θεμελειώνεται -περιγραφικά συνήθως - πάνω στο ευκλείδειο μοντέλο( υπάρχουν όμως και αξιωματικές θεμελιώσεις) και απλά προσφέρει εναλλακτικούς και συχνά καταλληλότερους τρόπους προσέγγισης και μελέτης πολλών θεμάτων, στη φυσική κυρίως.

Αγαπητοί συνάδελφοι και φίλοι :

Διδάσκουμε σε σχολείο και όχι σε φοιτητές μαθηματικού τμήματος ! Αυτό δεν πρέπει να το ξεχνάμε ποτέ !
Ας παραμείνουμε σωστά προσηλωμένοι στο βασικό μας σκοπό που είναι η σωστή μετάδοση της μαθηματικής γνώσης και κυρίως η καλλιέργεια της μαθηματικής αναζήτησης και της ορθολογικής σκέψης.
Η εμμονή σε περίεργες λεπτομέρειες και ανούσια πράγματα δεν ωφελεί πουθενά.Δεν είναι ποτέ δυνατόν να προσπαθήσουμε να πούμε στο μαθητή όλα όσα εμείς μαθαίνουμε με δέκα και είκοσι χρόνια ενασχόλησης με τα μαθηματικά και τη διδασκαλία τους .Ούτε χρειάζεται ! Η περιττή αυστηρότητα διώχνει το μαθητή από τη μάθηση και κυρίως από τη θετική σκέψη. Αν αρχίσουμε από το Δημοτικό ή το Γυμνάσιο να τον απογοητεύουμε εμμένοντας σε ξεπερασμένα ζητήματα,παγίδες και σκοπέλους , στο Λύκειο θα ψάχνουμε για μαθητές, όχι για να τους μάθουμε μαθηματικά, αλλά για να γεμίσουν τη μισή σχολική τάξη !

Ευτυχώς υπάρχουν και άλλες χώρες, πιο προηγμένες από εμάς , και βλέπουμε τι μαθηματικά διδάσκονται οι μαθητές και πώς. Όπως φαίνεται, τα καταφέρνουν μια χαρά. Φοβάμαι πως και μεις, αν δεν στοχεύουμε να γοητεύουμε τους μαθητές με τα τόσα ωραία πράγματα που προσφέρουν τα μαθηματικά και να τους μαγεύουμε με τα ίδια τα μαθηματικά και τις εφαρμογές τους,δε θα πάμε ποτέ μπροστά . Μια τέτοια προοπτική με τρομάζει και δεν θα την ευχόμουν στους νέους συναδέλφους που ξεκινάνε με μεράκι και πίστη το δύσκολο δρόμο του δασκάλου.

Κλείνοντας με το θέμα που αρχίσαμε : Ο καθηγητής της τάξης μπορεί να αξιολογήσει όπως εκείνος κρίνει μια άσκηση ή ένα διαγώνισμα, πόσο μάλλον όταν δεν εκλαμβάνει ως λάθος μια σωστή σκέψη.Εμείς οι τρίτοι, οι απέξω, μπορούμε να σχολιάζουμε και να εκφέρουμε άποψη, όμως δεν μπορούμε να γνωρίζουμε τα δρώμενα μεταξύ των καθηγητών και των μαθητών τους.
Αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που είμαστε πολύ επιφυλλακτικοί όταν καλούμαστε να κρίνουμε αποφάσεις συναδέλφων που αφορούν μαθητές και την τάξη τους. Εκεί που μπορούμε να είμαστε πιο σίγουροι είναι μόνο σε περιπτώσεις που μια αποδεδεδειγμένα σωστή λύση ξέφυγε ως λάθος. Αλλά και το λάθος είναι ανθρώπινο, πόσο μάλλον όταν γίνεται στα μαθηματικά , όπου είναι μερικές φορές αναγκαίο και χρήσιμο, διότι μόνο έτσι γίνεται κανείς καλύτερος !

Κατανοώ και την άποψη του συναδέλφου Θωμά ,αλλά και όσων εξέφρασαν αντίθετη άποψη , είναι μια επιστημονική και σοβαρή θέση , αλλά νομίζω ότι αν τη λύση της μαθήτριας της προσδώσουμε τη δέουσα παιδαγωγική σημασία πρέπει ως δάσκαλοι να τη δεχθούμε ως σωστή , έστω και με μια δίκαιη επιφύλλαξη , την οποία πρέπει να τη εξηγήσουμε στο παιδί !

Με εκτίμηση προς όλες τις απόψεις και κυρίως στους άξιους συνομολητές που τοποθετήθηκαν !

Μπ.

ΚΥΡΙΑΖΙΔΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #18

Καλησπέρα σας.
Δεν υπάρχει μαθηματική απόδειξη της εξίσωσης της ευθείας y=ax+b

στα βιβλία των μαθηματικών της Γ΄Γυμνασίου και της Α΄ Λυκείου. Η αναφορά στην εξίσωση αυτή γίνεται τελείως εμπειρικά με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης. Ως εκ τούτου δεν μπορούμε να εκλάβουμε την παραπάνω εξίσωση ως δεδομένη εξίσωση ευθείας.
Στα μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄Λυκείου η εξίσωση της ευθείες με τη μορφή y=ax+b

προκύπτει με την δημιουργία λογικών και κλιμακωτά προοδευτικών αποδείξεων και στηρίζεται στην εξίσωση της ευθείας $y-y_{0}=\lambda (x-x_{0})$ . Προφανώς η μαθήτρια πρέπει να επαινεθεί για την προσπάθειά της αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι η απόδειξη πρέπει να εκληφθεί ως σωστή!
Ευχαριστώ για τη φιλοξενία.

#19

Να επισημάνουμε με την ευκαιρία και τα εξής :

α) Τα σχολικά βιβλία βρίθουν από πλήθος θεωρημάτων, στα οποία η απόδειξη παραλείπεται.Τα ίδια αυτά θεωρήματα χρησιμοποιούνται( προφανώς καλώς !) για την απόδειξη άλλων θεωρημάτων, είτε στο ίδιο το βιβλίο είτε σε επόμενη τάξη . Αλλοίμονο, γιατί δεν μπορεί να γίνει αλλιώς στα σχολικά μαθηματικά . Αλλά αν τα σχολικά βιβλία νομιμοποιούνται να επικαλεστούν αναπόδεικτα θεωρήματα, ο μαθητής γιατί όχι ; Ακόμα και στις πανελλήνιες χρησιμοποιούνται θεωρήματα(να μην πω ασκήσεις) για την λύση ασκήσεων και αυτές εκλαμβάνονται(σωστά κατ'εμέ) ως πλήρεις.(Εννοώ τις ασκήσεις με τα ελάχιστα και τα μέγιστα μέτρα, όπου το ζητούμενο δεν είναι η η μαθηματική απόδειξη του ακροτάτου, αλλά η γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου της διαφοράς)

β) Όλοι Ελληνικά Πανεπιστήμια έχουμε τελειώσει ( είναι πολύ καλά για όσους θέλουν να μελετήσουν) και ξέρουμε πολύ καλά τι είναι απόδειξη, πότε μια απόδειξη είναι πλήρης ή πότε μια απόδειξη είναι καλύτερη από μία άλλη. Ο καθηγητής όταν ζητάει σε τεστ απόδειξη θεωρίας , περιμένει προφανώς την απόδειξη που ο ίδιος έκανε στον πίνακα , ή μια άλλη διαφορετική που πάλι ο ίδιος ανέπτυξε , ανεξάρτητα από το αν αυτή περιέχεται σε σχολικό βιβλίο ή όχι. Όταν λοιπόν δει διαφορετική απόδειξη από κάποιο μαθητή και είναι σωστή ή μερικώς σωστή ,μπορεί να αρπάξει την ευκαιρία και να ενημερώσει τους μαθητές του ότι η απόδειξη των θεωρημάτων είναι καλύτερα να γίνεται με βάση το σχολικό βιβλίο.Όχι για κάποιον άλλο λόγο, αλλά γιατί ο μαθητής δεν έχει ακόμα την εμπειρία να κρίνει αν μια διαφορετική απόδειξη , επινόηση της στιγμής, είναι καθολικά σωστή ή έχει τρωτά σημεία.Το κακό πολλές φορές είναι ότι ο μαθητής τα βλέπει όλα ως άσκηση και σου λέει : '' Ή το λύνω ή δεν το λύνω !Όλα τα άλλα είναι άχρηστα '' .Από μαθηματική σκοπιά έχει δίκαιο !

γ) Μια προσπάθεια από μαθητή για μια διαφορετική απόδειξη στη θεωρία είναι από παιδαγωγική άποψη μια πολύ καλύ στιγμή για έπαινο αλλά και για συζήτηση. Λέω για έπαινο, διότι πιο καλά μαθηματικά έχει παράγει αυτός που επιχείρησε από το μηδέν μια νέα απόδειξη και τα κατάφερε επιτυχώς ή περίπου επιτυχώς(μάλλον δεν πήρα είδηση ότι πρόκειται για θεωρία) , παρά ένας που έγραψε την απόδειξη του βιβλίου. Τα μαθηματικά είναι ''επίλυση προβλημάτων '' και όχι αποστήθιση θεωρημάτων και πληροφοριών. Αυτό είναι άλλωστε και το πνεύμα των ολυμπιάδων: Λίγες γνώσεις και πολύ επινόηση !

δ) Κατά την άποψή μου, χωρίς να διαφωνώ με κανένα σας ως το ποια απόδειξη είναι πιο κοντά στο πνεύμα του μαθήματος ή ελαφρώς πιο αυστηρή ή πιο πλήρης και όλα αυτά, θεωρώ ότι η απόφαση του συναδέλφου Σπύρου Καρδαμίτση, είναι για όλους τους λόγους που ανέφερα παραπάνω αλλά και για αυτούς που ανέφερε ο ίδιος , σωστή και εξυψώνει το ρόλο του δασκάλου στα μάτια των μαθητών του. Κάθε μέρα προσπαθούμε να βρούμε την παραμικρή ευκαιρία να επιβραβεύσουμε την προσπάθεια των μαθητών μας και εδω που παρουσιάστηκε η χρυσή ευκαιρία , είναι δυνατόν να πράξουμε το αντίθετο ;

δ) Η σχολική τάξη διαφέρει κατά πολύ από την φροντιστηριακή τάξη. Στη δεύτερη ο συνάδελφος είναι στα καθήκοντά του να διαγράψει μια λύση μαθητή του που δεν ξέρει αν στις εξετάσεις γίνει αποδεκτή. Στη σχολική όμως τάξη, όλα αυτά δεν ισχύουν και αυτό που προέχει, είναι να αδράξει ο καθηγητής κάθε ευκαιρία να δείξει την ικανοποίησή του με τις προσπάθειες των παιδιών και από και πέρα να κάνει τις ζωτικές παρεμβάσεις για να διαφυλλάξει τους μαθητές του από την κακοδαιμονία των εξετάσεων.

ε) Δεν έχω φωτοτυπίσει μια αυτοσχέδια απόδειξη που έκανε μαθητής πέρυσι ή πρόπερσι στις πανελλήνιες . Τη συναντήσαμε σε γραπτό και έδειχνε τόσο τέλεια ! Ήταν νομίζω στο θεώρημα με τη σταθερή συνάρτηση, όπου δεν έπαιρνε ΘΜΤ, αλλά ερμήνευε το όριο και προσπαθούσε να χτίσει το συμπέρασμα πως όλες τελικά οι τιμές θα είναι ίσες,αφού μετακινώντας '' λίγο -λίγο '' το x_0

θα παίρνουμε ότι εκεί κοντά όλες οι τιμές είναι ίσες !
Αυτό θα ήταν μια ωραία ευκαιρία, αν το είχα, να το έδινα στο Σπύρο, για να το συζητήσει στην τάξη και να γίνει πιο πιστευτό το συμπέρασμα που όλοι μας καθημερινά φωνάζουμε :

'' Μάθετε τη θεωρία από το βιβλίο και μην προσπαθείτε να την βγάλετε ως άσκηση(πχ στο ΘΕΤ) , διότι αυτό δε γίνεται πάντα(πχ στο θεώρημα σταθερής συνάρτησης από μηδενική παράγωγο) ''.

Άλλοι ακούνε, άλλοι όχι.Όσοι δεν ακούνε ας υποστούν τις συνέπειες. Αυτό είναι άλλωστε ένα μεγάλο δίδαγμα στη ζωή, που άλλοτε είναι για καλό και άλλοτε για κακό !

στ) Το μείζον ερώτημα είναι για μένα τούτο :

Πρέπει στις κάθε είδους εξετάσεις να εξετάζεται η απόδειξη θεωρημάτων (θέμα καθαρά αποστήθησης) .Στις εισαγωγικές εξετάσεις πολλών χωρών δεν έχω ποτέ θεωρία, ούτε απόδειξη θεωρημάτων , ούτε ορισμούς , τίποτα από όλα αυτά. Άλλωστε , αν είχαμε πολλαπλό βιβλίο, θα είχε νόημα κάτι τέτοιο ;

Σε αυτό το ερώτημα, αν και συγκλίνω στο ΟΧΙ, έχω επιφυλλάξεις . Ίσως η θεωρία θα έπρεπε να εξετάζεται με ερωτήσεις κλειστού τύπου σε ποσοστό 10 % και όχι παραπάνω. Ακόμα δεν έχω καταλήξει !

Καλό μήνα σε όλους σας !

STOPJOHN · #20

Καλημέρα και καλό μήνα σε όλους
Πιστεύω ότι η επινόηση και η αυτενέργεια της μαθήτριας είναι σημαντική στα Μαθηματικά ...αλλά και ο παραγωγικός τρόπος συλλογισμού στη θεωρία πρέπει να τονίζεται διότι υπάρχει και η αυστηρότητα ,ακρίβεια και συνέχεια των θεωρημάτων . Να πω και ένα άλλο θέμα που έχει σχέση με τη Διδακτική των Μαθηματικών της Γ' Θετικης και Τεχνολογικής Κατυεθυνσης και το αντιμετωπίζω κάθε χρόνο θάλεγα χωρίς επιτυχία πάντοτε... Η θεωρία του σχολικού βιβλίου δεν την μελετάνε στην ωρα της δηλαδή όταν διδάσκεται στο σχολείο .....και εκτός σχολείου ακούνε ότι την θεωρία την ακούσατε στο σχολείο ...τώρα να λύσετε τις ασκήσεις από τα βοηθήματα
Δέκα ημέρες πριν από τις Πανελλαδικές γίνεται προσπάθεια να κατανοήσουνε την θεωρία και πολλες φορές (σχεδόν πάντοτε) χωρίς επιτυχία . Μαθητές ικανοί στη λύση δύσκολων θεμάτων και δεν γράφουνε στις πανελλαδικές εξετάσεις τη θεωρία η εφαρμόζουνε ότι ακούγανε όλο το χρόνο ..ότι η θεωρία αντιμετωπίζεται όπως οι ασκήσεις και δυστυχώς χάνουνε μονάδες . Δηλαδή μαθαίνουνε ΜΟΝΟ τεχνικές επίλυσης ασκήσεων όπως ισχυριζόμαστε πολλοί από εμας ..........;

Γιάννης

Ευθεία

Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Re: Ευθεία

Μέλη σε σύνδεση