τελευταία 028: γεωμετρικός τόπος από μετρική σχέση

[parmenides51]

Συγκεντρώνονται εδώ

Πάνω σε δυο ευθείες και κάθετες στην ευθεία , παίρνουμε τα σημεία και αντίστοιχα ώστε να είναι
α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των ευθειών και
β) Να αποδειχθεί οτι η ευθεία , η οποία συνδέει το σημείο με το σημείο της τομής των και εφάπτεται του παραπάνω τόπου.

last 028 a.png (38.7 KiB) Προβλήθηκε 2234 φορές

last 028 b.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 2234 φορές

Υ.Γ. Είναι άλυτη στο βιβλίο, η πηγή θα δοθεί μετά την λύση

[KARKAR]

Πάνω σε δυο ευθείες και κάθετες στην ευθεία , παίρνουμε τα σημεία και αντίστοιχα ,

ώστε να είναι .

α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των ευθειών και .

β) Να αποδειχθεί ότι η ευθεία , η οποία συνδέει το σημείο με το σημείο της τομής των

και , εφάπτεται του παραπάνω τόπου.

Παλιά αναπάντητη.png (14.28 KiB) Προβλήθηκε 1634 φορές

Νομίζω ότι το σωστό σχήμα είναι το "φρέσκο" , οπότε ας μην εξακολουθήσει η άσκηση να παραμένει αναπάντητη .

[rek2]

Αν είναι η προβολή του στην , από οι ορθογώνιο τρίγωνο παίρνουμε ή



Από εδώ και με τη βοήθεια της υπόθεσης προκύπτει τελικά



Η σχέση αυτή δίνει την καθετότητα των κ.λπ.

Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι η εφαπτομένη στο , οι και συντρέχουν. Αν η εφαπτομένη τέμνει τις στα τότε αυτά είναι τα μέσα των αντιστοίχως (με απλό κυνήγι γωνιών δείχνουμε ότι τα τρίγωνα είναι ισοσκελή), οπότε οι ευθείες που θέλουμε να συντρέχουν είναι οι μη παράλληλες πλευρές του τραπεζίου και η ευθεία που ορίζουν τα μέσα των βάσεών του, που είναι γνωστό συμπέρασμα.

[rek2]

Να προσθέσω εδώ, ότι στο πρώτο σχήμα της αρχικής ανάρτησης, όπου τα C, D βρίσκονται εκατέρωθεν του AB, ο γ.τ. είναι

,

όπου θεωρήσαμε σύστημα αξόνων με κέντρο το μέσο του AB και άξονα των x με φορέα την AB. Τέλος κ.λπ.