Διαφορική

Ανδρεας · #1

Να βρείτε την παραγωγίσιμη στο

συνάρτηση

για την οποία ισχύει f^2(x)+f'(x)= 1

και

. Καμιά ιδέα για λύση εντός λυκειακής ύλης;

nikoszan · #2

${f^2}(x) + f'(x) = 1:\left( a \right)$
Θεωρούμε τις συναρτήσεις
$G\left( x \right) = \left( {f\left( x \right) - 1} \right){e^{\int\limits_0^x {\left( {f\left( t \right) + 1} \right)dt} }},x \in R$ και $H\left( x \right) = \left( {f\left( x \right) + 1} \right){e^{\int\limits_0^x {\left( {f\left( t \right) - 1} \right)dt} }},x \in R$
Είναι
$G'\left( x \right) = \left( {f'\left( x \right) + {f^2}(x) - 1} \right){e^{\int\limits_0^x {\left( {f\left( t \right) + 1} \right)dt} }}\mathop = \limits^{\left( a \right)} 0.{e^{\int\limits_0^x {\left( {f\left( t \right) + 1} \right)dt} }} = 0,\forall x \in R \Rightarrow$
$\Rightarrow \left( {G:\sigma \tau \alpha \theta \varepsilon \rho \eta \,\,\,\,\sigma \tau o\,\,\,R} \right) \Rightarrow$
$\Rightarrow G\left( x \right) = G\left( 0 \right) = \left( {f\left( 0 \right) - 1} \right){e^{\int\limits_0^0 {\left( {f\left( t \right) + 1} \right)dt} }} = - 1 < 0,\forall x \in R$
οπότε έχουμε
$G\left( x \right) = \left( {f\left( x \right) - 1} \right){e^{\int\limits_0^x {\left( {f\left( t \right) + 1} \right)dt} }} < 0,\forall x \in R \Rightarrow$
$\Rightarrow f\left( x \right) - 1 < 0,\forall x \in R \Rightarrow f\left( x \right) < 1,\forall x \in R$ .
Ομοίως με την βοήθεια της συνάρτησης
$H\left( x \right) = \left( {f\left( x \right) + 1} \right){e^{\int\limits_0^x {\left( {f\left( t \right) - 1} \right)dt} }},x \in R$

αποδ. ότι $f\left( x \right) > - 1,\forall x \in R$
Έτσι έχουμε $\left( a \right) \Leftrightarrow f'(x) = 1 - {f^2}(x) \Leftrightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{1 - {f^2}(x)}} = 1$ $\Leftrightarrow f'\left( x \right)\frac{{\left( {1 - f\left( x \right)} \right) + \left( {1 + f\left( x \right)} \right)}}{{\left( {1 - f\left( x \right)} \right)\left( {1 + f\left( x \right)} \right)}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {1 + f\left( x \right)} \right)}^\prime }}}{{1 + f\left( x \right)}} - \frac{{{{\left( {1 - f\left( x \right)} \right)}^\prime }}}{{1 - f\left( x \right)}} = 2 \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow {\left( {\ln \left( {1 + f\left( x \right)} \right) - \ln \left( {1 - f\left( x \right)} \right)} \right)^\prime } = {\left( {2x} \right)^\prime } \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{{1 + f\left( x \right)}}{{1 - f\left( x \right)}}} \right) = 2x + c$
Για x = 0

προκύπτει ότι c = 0

,οπότε έχουμε $\ln \left( {\frac{{1 + f\left( x \right)}}{{1 - f\left( x \right)}}} \right) = 2x \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^{2x}} + 1}}$ (ικανοποιεί τις συνθήκες της υπόθεσης)
Ν.Ζ.

#3

Με μία ακόμα συνθήκη για την

που κάνει την άσκηση ευκολότερη, βλέπε εδώ.

Τα πρώτα βήματα της παραπάνω μεθόδου του Νίκου δείχνουν ότι η εξτρά συνθήκη τελικά δεν χρειάζεται.

Μ.

Ανδρέας Πούλος · #4

Συνέχεια του θέματος:
Να εκφραστεί η n-ιοστή παράγωγος της συνάρτησης $f(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$ ,
μόνο με τη συνάρτηση $e^{x}$ και του αριθμού n.

Ανδρέας Πούλος

Ανδρεας · #5

Ευχαριστώ πολύ για τη βοήθεια!

hsiodos · #6

http://mathematica.gr/forum/viewtopic.p ... 10#p161710

Γιώργος

Διαφορική

Διαφορική

Re: Διαφορική

Re: Διαφορική

Re: Διαφορική

Re: Διαφορική

Re: Διαφορική

Μέλη σε σύνδεση