Κανονικό πολύγωνο

ΑΛΕΞΙΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ · #1

Άσκηση

Δίνεται κανονικό πολύγωνο $A_{1}A_{2}\dots A_{n}$ και

ο κύκλος που περνάει από τις κορυφές του.
α) Να δείξετε ότι το πολύγωνο που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες του

στα σημεία $A_{1}, A_{2},...,A_{n}$ είναι κανονικό και όμοιο με το αρχικό.
β) Έστω $\theta$ η γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες στα σημεία $A_{k}$ και $A_{k+2}$ , να βρείτε το πλήθος των πλευρών του κανονικού

-γώνου ώστε να ισχύει $\theta =\omega _{n }$

Χρόνια πολλά!!!

Γιάννης Ι. · #2

Έστω ένα κανονικό $\nu$ -γωνο $ABCD...{ A }_{ i }$ εγγεγραμμένο σε κύκλο

με κέντρο

, αρχικά για $\nu>2$ , η τεθλασμένη γραμμή που σχηματίζεται από τα σημεία τομής των εφαπτόμένων του

στα $A,B,C,D...{ A }_{ i }$ θα είναι κλειστή, αφού για δύο διαδοχικές κορυφές A,B

του $\nu$ -γωνου, ισχύει $OA \nparallel OB$ .( $\displaystyle{{ \omega }_{ \nu }=\frac { 360 }{ \nu }}$ , για $\nu>2$ , ${ \omega }_{ \nu }<180$ ).

Αρχικά θα δείξω ότι για κάθε δύο διαδοχικές πλευρές FG,GH

του πολυγώνου που σχηματίζονται, ισχύει FG=GH

.
Έστω τέσσερεις τυχαίες διαδοχικές κορυφές του $\nu$ -γωνου, A,B,C,D

, οι εφαπτόμενες του

σ' αυτές και τα σημεία τομής τους F,G,H

.

ως εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από το ίδιο σημείο, AO=BO=R

άρα

χαρταετός και $\displaystyle{\angle FOB=\frac{{ \omega }_{ \nu }} {2}}$ .
Όμοια $\displaystyle{\angle GOB=\frac{{ \omega }_{ \nu }}{2}= \angle FOB}$ .

Έτσι, $\triangle GOF,HOG$ ισοσκελή και $GB=BF=\frac{GB}{2}$ , $HC=CG=\frac{HC}{2}$
Για τα τρίγωνα COG,GOB

έχουμε
$\angle GBO=\angle GCO=90$ ,
OC=OB=R

,

κοινή άρα είναι ίσα.
$CG=GB \Rightarrow GF=HG$
Έδειξα ότι για δύο τυχαίες διαδοχικές πλευρές του πολυγώνου ότι αυτές είναι ίσες.
Η πλευρά

φαίνεται υπό γωνία $\angle GOF=2\angle BOF={ \omega }_{ \nu }$ . Αφού οι πλευρές των δύο κανονικών πολυγώνων φαίνονται υπό ίσες γωνίες αυτά είναι όμοια.

β) Έστω οι κορυφές A,C

του $\nu$ -γωνου,

το σημείο τομής των εφαπτομένων του

σ' αυτές και $\theta$ η μεταξύ τους γωνία. Αν $\theta ={ \omega }_{ \nu }$ , αφού $\angle GOF={ \omega }_{ \nu }$ τότε
$\angle GOF=\theta$
DGF

ισοσκελές αφού DC=DA

και

ισοσκελές (από το προηγούμενο υποερώτημα), άρα $\angle DGO=\angle DFO$ και DGFO

χαρταετός
Αν όμως $\angle GOF=\theta$ τότε DGFO

ρόμβος και $\angle DFG=\angle GFO$
$\displaystyle{\angle DFG+\angle GFO+\angle OFA=180 \Rightarrow 2\angle GFO+\angle OFA=180 \Rightarrow 3\angle GFO=180 \Rightarrow \angle GFO=60 \Rightarrow { \omega }_{ \nu }=60 \Rightarrow \nu =6}$

ΑΛΕΞΙΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ · #3

Γιάννης Ι. έγραψε:Έστω ένα κανονικό $\nu$ -γωνο $ABCD...{ A }_{ i }$ εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο , αρχικά για $\nu>2$ , η τεθλασμένη γραμμή που σχηματίζεται από τα σημεία τομής των εφαπτόμένων του στα $A,B,C,D...{ A }_{ i }$ θα είναι κλειστή, αφού για δύο διαδοχικές κορυφές του $\nu$ -γωνου, ισχύει $OA \nparallel OB$ .( $\displaystyle{{ \omega }_{ \nu }=\frac { 360 }{ \nu }}$ , για $\nu>2$ , ${ \omega }_{ \nu }<180$ ).

Αρχικά θα δείξω ότι για κάθε δύο διαδοχικές πλευρές του πολυγώνου που σχηματίζονται, ισχύει .
Έστω τέσσερεις τυχαίες διαδοχικές κορυφές του $\nu$ -γωνου, , οι εφαπτόμενες του σ' αυτές και τα σημεία τομής τους .
ως εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από το ίδιο σημείο, άρα χαρταετός και $\displaystyle{\angle FOB=\frac{{ \omega }_{ \nu }} {2}}$ .
Όμοια $\displaystyle{\angle GOB=\frac{{ \omega }_{ \nu }}{2}= \angle FOB}$ .

Έτσι, $\triangle GOF,HOG$ ισοσκελή και $GB=BF=\frac{GB}{2}$ , $HC=CG=\frac{HC}{2}$
Για τα τρίγωνα έχουμε
$\angle GBO=\angle GCO=90$ ,
,
κοινή άρα είναι ίσα.
$CG=GB \Rightarrow GF=HG$
Έδειξα ότι για δύο τυχαίες διαδοχικές πλευρές του πολυγώνου ότι αυτές είναι ίσες.
Η πλευρά φαίνεται υπό γωνία $\angle GOF=2\angle BOF={ \omega }_{ \nu }$ . Αφού οι πλευρές των δύο κανονικών πολυγώνων φαίνονται υπό ίσες γωνίες αυτά είναι όμοια.

β) Έστω οι κορυφές του $\nu$ -γωνου, το σημείο τομής των εφαπτομένων του σ' αυτές και $\theta$ η μεταξύ τους γωνία. Αν $\theta ={ \omega }_{ \nu }$ , αφού $\angle GOF={ \omega }_{ \nu }$ τότε
$\angle GOF=\theta$
ισοσκελές αφού και
ισοσκελές (από το προηγούμενο υποερώτημα), άρα $\angle DGO=\angle DFO$ και χαρταετός
Αν όμως $\angle GOF=\theta$ τότε ρόμβος και $\angle DFG=\angle GFO$
$\displaystyle{\angle DFG+\angle GFO+\angle OFA=180 \Rightarrow 2\angle GFO+\angle OFA=180 \Rightarrow 3\angle GFO=180 \Rightarrow \angle GFO=60 \Rightarrow { \omega }_{ \nu }=60 \Rightarrow \nu =6}$

Σ΄ευχαριστώ πολύ για το χρόνο σου, κάπως έτσι το διαπραγματεύτηκα κι εγώ.
Όσο για το δεύτερο μου βγήκε τυχαία καθώς έπαιζα στο gb

.

Ευχαριστώ!

Κανονικό πολύγωνο

Κανονικό πολύγωνο

Re: Κανονικό πολύγωνο

Re: Κανονικό πολύγωνο

Μέλη σε σύνδεση