AΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 91

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Προτείνω το θέμα 206

από το αρχείο του Θάνου.

Έστω $x,y,z\succ 0$ με x+y+z=3

.

Αποδείξτε ότι

$\frac{x^{2}}{y+1}+\frac{y^{2}}{z+1}+\frac{z^{2}}{x+1}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{z+1}+\frac{z}{x+1}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{x^{2}}{y^{2}+1}+\frac{y^{2}}{z^{2}+1}+\frac{z^{2}}{x^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

$\frac{x}{y^{2}+1}+\frac{y}{z^{2}+1}+\frac{z}{x^{2}+1}\geq \frac{3}{2}$

#2

Μια απόδειξη για την τρίτη ανισότητα.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Έστω με .

Αποδείξτε ότι

$\dfrac{x^{2}}{y^{2}+1}+\dfrac{y^{2}}{z^{2}+1}+\dfrac{z^{2}}{x^{2}+1}\geq \dfrac{3}{2}$

Από την γνωστή, τους έσχατους καιρούς, ως ανισότητα Andreescu
$\dfrac{x^{2}}{y^{2}+1}+\dfrac{y^{2}}{z^{2}+1}+\dfrac{z^{2}}{x^{2}+1}=\dfrac{x^{4}}{x^2y^{2}+x^2}+\dfrac{y^{4}}{y^2z^{2}+y^2}+\dfrac{z^{4}}{z^2x^{2}+z^2}\geq \dfrac{\left(x^2+y^2+z^2 \right)^2}{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+x^2+y^2+z^2}$

Αρκεί να δείξουμε ότι $2\left(x^2+y^2+z^2 \right)^2\geq 3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+3(x^2+y^2+z^2).$
Αυτή προκύπτει από την πρόσθεση των $\left(x^2+y^2+z^2 \right)^2}\geq 3(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$ και της $\left(x^2+y^2+z^2 \right)^2\geq 3(x^2+y^2+z^2).$
Η πρώτη είναι η γνωστή $\left(a+b+c \right)^2\geq 3\left(ab+bc+ca \right)$ ενώ η δεύτερη είναι ισοδύναμη με $x^2+y^2+z^2\geq 3$ που ισχύει αφού $3(x^2+y^2+z^2)\geq\left(x+y+z \right)^2$ και x+y+z=3.

kostas_zervos · #3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:Προτείνω το θέμα από το αρχείο του Θάνου.

Έστω $x,y,z\succ 0$ με .

Αποδείξτε ότι

$\frac{x^{2}}{y+1}+\frac{y^{2}}{z+1}+\frac{z^{2}}{x+1}\geq \frac{3}{2}$

Από

έχουμε:

$\left(\dfrac{x^{2}}{y+1}+\dfrac{y^{2}}{z+1}+\dfrac{z^{2}}{x+1}\right)\left(x+1+y+1+z+1\right)\geq (x+y+z)^2\iff$

$\iff\left(\dfrac{x^{2}}{y+1}+\dfrac{y^{2}}{z+1}+\dfrac{z^{2}}{x+1}\right)\cdot 6\geq 3^2\iff$

$\iff \dfrac{x^{2}}{y+1}+\dfrac{y^{2}}{z+1}+\dfrac{z^{2}}{x+1}\geq \dfrac{3}{2}$

kostas_zervos · #4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{z+1}+\frac{z}{x+1}\geq \frac{3}{2}$

Μια λύση για Seniors...

Η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{1}{x+1}\;,\;x>0$ έχει $f''(x)=\dfrac{2}{(x+1)^2}>0$ άρα είναι κυρτή.

Επομένως $xf(y)+yf(z)+zf(x)\geq (x+y+z)f\left(\dfrac{x+y+z}{x+y+z}\right)\iff$

$\iff \dfrac{x}{y+1}+\dfrac{y}{z+1}+\dfrac{z}{x+1}\geq 3\cdot f(1)\iff$

$\iff \dfrac{x}{y+1}+\dfrac{y}{z+1}+\dfrac{z}{x+1}\geq \dfrac{3}{2}$ .

#5

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:Προτείνω το θέμα από το αρχείο του Θάνου.

Έστω $x,y,z\succ 0$ με .

Αποδείξτε ότι
$\frac{x}{y+1}+\frac{y}{z+1}+\frac{z}{x+1}\geq \frac{3}{2}$

Έχω πως: $\displaystyle{{\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + yz + zx} \right) \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 9 - 2\left( {xy + yz + zx} \right)(1)}$

Επιπλέον, από γνωστή ανισότητα έχω: $\displaystyle{{x^2} + {y^2} + {z^2} \ge xy + yz + zx\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} 9 - 2\left( {xy + yz + zx} \right) \ge xy + yz + zx \Rightarrow xy + yz + zx \le 3(2)}$

Τώρα από Cauchy-Schwarz έχω:

$\displaystyle{\frac{x}{{y + 1}} + \frac{y}{{z + 1}} + \frac{z}{{x + 1}} = \frac{{{x^2}}}{{xy + x}} + \frac{{{y^2}}}{{yz + y}} + \frac{{{z^2}}}{{xz + z}} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{xy + yz + zx + x + y + z}} = \frac{9}{{xy + yz + zx + 3}}}$

Αρκεί:

$\displaystyle{\frac{9}{{xy + yz + zx + 3}} \ge \frac{3}{2}}$

Αρκεί να δείξω ότι:

$\displaystyle{xy + yz + zx \le 3}$ που ισχύει, λόγω της (2).

#6

Μια απόδειξη για την τέταρτη ανισότητα:

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:Προτείνω το θέμα από το αρχείο του Θάνου.

Έστω με .

Αποδείξτε ότι

$\dfrac{x}{y^{2}+1}+\dfrac{y}{z^{2}+1}+\dfrac{z}{x^{2}+1}\geq \dfrac{3}{2}$

$\dfrac{x}{y^{2}+1}=\dfrac{x+xy^2-xy^2}{y^{2}+1}=x-\dfrac{xy^2}{y^{2}+1}\geq x-\dfrac{1}{2}xy$ (εφόσον $\dfrac{y}{y^{2}+1}\leq\dfrac{1}{2}$ και x>0.

)

Ομοίως

$\dfrac{y}{z^{2}+1}\geq y-\dfrac{1}{2}yz$

$\dfrac{z}{x^{2}+1}\geq z-\dfrac{1}{2}zx$

Προσθέτουμε κατά μέλη και εφόσον $xy+yz+zx\leq 3,$ όπως έδειξε ο Χρήστος, προκύπτει το ζητούμενο.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #7

Θέλω απλά να προσθέσω ότι γενίκευση της δεύτερης ανισότητας είδαμε στο '' ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 30 '' .

AΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 91

AΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 91

Re: AΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 91

Re: AΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 91

Re: AΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 91

Re: AΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 91

Re: AΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 91

Re: AΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 91

Μέλη σε σύνδεση