Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

stergios7 · #81

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 37: (Α Γυμνασίου) Σε μια φιλική συγκέντρωση $\displaystyle{22}$ μαθητών,οι $\displaystyle{10}$ έφαγαν πίτσα ,

οι $\displaystyle{9}$ τυρόπιτα ενώ $\displaystyle{4}$ μαθητές, έφαγαν και πίτσα και τυρόπιτα. Πόσοι μαθητές δεν έφαγαν τίποτα;

$\displaystyle{11}$

#82

stergios7 έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 37: (Α Γυμνασίου) Σε μια φιλική συγκέντρωση $\displaystyle{22}$ μαθητών,οι $\displaystyle{10}$ έφαγαν πίτσα ,

οι $\displaystyle{9}$ τυρόπιτα ενώ $\displaystyle{4}$ μαθητές, έφαγαν και πίτσα και τυρόπιτα. Πόσοι μαθητές δεν έφαγαν τίποτα;
$\displaystyle{11}$

Στέργιο, για ξαναδές το. Άλλωστε καλό είναι να μας γράψεις και την σκέψη για όφελος των μαθητών που δεν έλυσαν την άσκηση.

Μ.

#83

Κι ένα σχηματάκι για να βοηθηθεί ο Στέργιος κι όποιος άλλος μαθητής θα ήθελε να ασχοληθεί.

Τους αριθμούς συμπληρώστε τους εσείς.

: 12-12-2013 Α Γυμνασίου.jpg (30.97 KiB) Προβλήθηκε 1902 φορές

parmenides51 · #84

Γιώργο

για το σχήμα

#85

Γιώργος Ρίζος έγραψε:Κι ένα σχηματάκι για να βοηθηθεί ο Στέργιος κι όποιος άλλος μαθητής θα ήθελε να ασχοληθεί.

Τους αριθμούς συμπληρώστε τους εσείς.

12-12-2013 Α Γυμνασίου.jpg

Γιώργο,

T-Rex · #86

ΛΥΣΗ: Τελικά

δεν έφαγαν τίποτα.
Γιατί

έφαγαν πίτσα και

τυρόπιττα μας κάνουν

Σε αυτούς μετρήσαμε δύο φορές και αυτούς που έφαγαν και τα δύο
Αν τους αφαιρέσουμε μας κάνει

Αρα

που δεν έφαγαν τιποτα

stergios7 · #87

Mihalis_Lambrou έγραψε:
stergios7 έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 37: (Α Γυμνασίου) Σε μια φιλική συγκέντρωση $\displaystyle{22}$ μαθητών,οι $\displaystyle{10}$ έφαγαν πίτσα ,

οι $\displaystyle{9}$ τυρόπιτα ενώ $\displaystyle{4}$ μαθητές, έφαγαν και πίτσα και τυρόπιτα. Πόσοι μαθητές δεν έφαγαν τίποτα;
$\displaystyle{11}$
Στέργιο, για ξαναδές το. Άλλωστε καλό είναι να μας γράψεις και την σκέψη για όφελος των μαθητών που δεν έλυσαν την άσκηση.

Μ.

΄
Εφτά ήθελα να γράψω απλώς βιαζόμουνα να κάνω κάτι.

#88

AΣΚΗΣΗ 38: (Β Γυμνασίου) Αν οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{x_1 , x_2 , ... x_{10}}$

είναι ανάλογοι με τους αριθμούς $\displaystyle{1,2, ... , 10}$ και αν επί πλέον ισχύει 'ότι: $\displaystyle{\frac{x_1 x_2 ... x_{10}}{32^2}=10!}$ ,

να βρείτε τον μέσο όρο των αριθμών $\displaystyle{x_1 , x_2 , ... , x_{10}}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: $\displaystyle{10! =1.2.3.4.5.6.7.8.9.10}$

raf616 · #89

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 38: (Β Γυμνασίου) Αν οι φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{x_1 , x_2 , ... x_{10}}$

είναι ανάλογοι με τους αριθμούς $\displaystyle{1,2, ... , 10}$ και αν επί πλέον ισχύει 'ότι: $\displaystyle{\frac{x_1 x_2 ... x_{10}}{32^2}=10!}$ ,

να βρείτε τον μέσο όρο των αριθμών $\displaystyle{x_1 , x_2 , ... , x_{10}}$

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: $\displaystyle{10! =1.2.3.4.5.6.7.8.9.10}$

Θέτουμε:

$\dfrac{x_1}{1} = \dfrac{x_2}{2} = ... = \dfrac{x_{10}}{10} = k$

Άρα:

$x_1 = k, x_2 = 2k, ..., x_{10} = 10k$

Επομένως, η σχέση γίνεται:

$\displaystyle{\dfrac{x_1x_2 \cdot ... \cdot x_{10}}{32^2} = 10! \Leftrightarrow \dfrac{10!k^{10}}{32^2} = 10! \Leftrightarrow 10!k^{10} = 10! \cdot 32^2 \Leftrightarrow k^{10} = (2^5)^2 \Leftrightarrow k^{10} = 2^{10} \Leftrightarrow k = 2}$

Επομένως:

$x_1 = 2, x_2 = 4, ..., x_{10} = 20$

Άρα:

$\dfrac{x_1 + x_2 + ... + x_{10}}{10} = \dfrac{2 + 4 + ... + 10}{10} = \dfrac{2(1 + 2 + ... + 10)}{10} = \dfrac{2 \cdot 55}{10} = 11$

#90

ΑΣΚΗΣΗ 39: (Β , Γ Γυμνασίου) Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\frac{2011}{2012}+\frac{2012}{2013}+\frac{2013}{2014}+\frac{2014}{2015} >\frac{2011}{503}}$

#91

ΑΣΚΗΣΗ 40 ( Β ΄Γυμνασίου )

Όλα τα τρίγωνα είναι ορθογώνια . Βρείτε την υποτείνουσα $\displaystyle{\,\,x\,\,\,\,}$ του τελευταίου τριγώνου . Έπειτα να υποθέσετε ότι τα τρίγωνα είναι $\displaystyle{\,\,\,v\,\,\,}$ σε πλήθος και να βρείτε την υποτείνουσα του τελευταίου .

stergios7 · #92

exdx έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 40 ( Β ΄Γυμνασίου )

Όλα τα τρίγωνα είναι ορθογώνια . Βρείτε την υποτείνουσα $\displaystyle{\,\,x\,\,\,\,}$ του τελευταίου τριγώνου . Έπειτα να υποθέσετε ότι τα τρίγωνα είναι $\displaystyle{\,\,\,v\,\,\,}$ σε πλήθος και να βρείτε την υποτείνουσα του τελευταίου .

Μέσω Πυθαγόρα βρίσκουμε ότι $\displaystyle{x=\sqrt{12}}$
Παρατηρούμε επίσης ότι κάθε υποτείνουσα( η υπόριζη ποσότητά της) είναι ο αριθμός της σειράς του τριγώνου και ένα(π.χ. το έβδομο τρίγωνο έχει υποτείνουσα $\displaystyle{\sqrt{8}}$ ).
Άρα το $\displaystyle{v}$ τρίγωνο έχει υποτείνουσα $\displaystyle{\sqrt{v+1}}$

Νίκος Αϊνστάιν · #93

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 39: (Β , Γ Γυμνασίου) Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\frac{2011}{2012}+\frac{2012}{2013}+\frac{2013}{2014}+\frac{2014}{2015} >\frac{2011}{503}}$

Παρατηρούμε ότι $\frac {2011}{503} = \frac {2012 - 1}{503} = 4 - \frac {1}{503}$
Επομένως, η ανισότητα γίνεται $\frac {2011}{2012} + \frac {2012}{2013} + \frac {2013}{2014} + \frac {2014}{2015} > 4 - \frac {1}{503} \Leftrightarrow$
$(\frac {2011}{2012} - 1) + (\frac {2012}{2013} - 1) + (\frac {2013}{2014} - 1) + (\frac {2014}{2015} - 1) > - \frac {1}{503} \Leftrightarrow$
$-\frac {1}{2012} - \frac {1}{2013} - \frac {1}{2014} - \frac {1}{2015} > - \frac {1}{503} \Leftrightarrow$
$\frac {1}{2012} + \frac {1}{2013} + \frac {1}{2014} + \frac {1}{2015} < \frac {1}{503} \Leftrightarrow$
$\frac {1}{2012} + \frac {1}{2013} + \frac {1}{2014} + \frac {1}{2015} < \frac {4}{2012} \Leftrightarrow$
$\frac {1}{2012} + \frac {1}{2013} + \frac {1}{2014} + \frac {1}{2015} < \frac {1}{2012} + \frac {1}{2012} + \frac {1}{2012} + \frac {1}{2012} + \frac {1}{2012} \Leftrightarrow$
Ισχύει, αφού $\frac {1}{2012} > \frac {1}{2013}$ , $\frac {1}{2012} > \frac {1}{2014}$ κλπ.
Γενικά, ισχύει ότι $\frac {1}{n} > \frac {1}{n + m}$ , όπου m, n

φυσικοί αριθμοί (η απόδειξη είναι εύκολη).

#94

ΑΣΚΗΣΗ 41: (Β Γυμνασίου) Να λυθεί η εξίσωση:

$\displaystyle{\frac{x-1}{1}+\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}+\frac{x-\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}+\frac{x-\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}=6}$

stergios7 · #95

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 41: (Β Γυμνασίου) Να λυθεί η εξίσωση:

$\displaystyle{\frac{x-1}{1}+\frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}+\frac{x-\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}+\frac{x-\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}=6}$

Θα κάνουμε τα σύνθετα κλάσματα απλά και θα συνεχίσουμε την διαίρεση:
$\displaystyle{x-1+2.(x-\frac{1}{2})+3.(x-\frac{1}{3})+4.(x-\frac{1}{4})=6}$
$\displaystyle{x-1+2x-1+3x-1+4x-1=6}$
$\displaystyle{10x-4=6}$
$\displaystyle{10x=6+4}$
$\displaystyle{10x=10}$
$\displaystyle{x=\frac{10}{10}}$
$\displaystyle{x=1}$

#96

ΑΣΚΗΣΗ 42:(Γ Γυμνασίου) Στο παρακάτω σχήμα, δίνονται:

: SXHMA.png (10.63 KiB) Προβλήθηκε 1654 φορές

$\displaystyle{EZ//B\Gamma}$ , $\displaystyle{EH//\Gamma \Delta}$ , $\displaystyle{AZ=x , AH=x+1 , ZB=y-7,5 , E\Gamma =y , H\Delta =5}$

Nα βρεθούν τα $\displaystyle{x,y}$

raf616 · #97

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 42:(Γ Γυμνασίου) Στο παρακάτω σχήμα, δίνονται:

SXHMA.png
$\displaystyle{EZ//B\Gamma}$ , $\displaystyle{EH//\Gamma \Delta}$ , $\displaystyle{AZ=x , AH=x+1 , ZB=y-7,5 , E\Gamma =y , H\Delta =5}$

Nα βρεθούν τα $\displaystyle{x,y}$

Θα χρησιμοποιήσουμε μόνο το Θεώρημα του Θαλή.

Είναι $EZ // BC \Rightarrow \dfrac{x + 1}{5} = \dfrac{4}{y} \Leftrightarrow \boxed{xy = 20 - y}:(1)$

$EH // CD \Rightarrow \dfrac{4}{y} = \dfrac{x}{y - 7,5} \Leftrightarrow \boxed{xy = 4y - 30}:(2)$

Αντικαθιστώντας την (1)

στη

θα πάρουμε:

$20 - y = 4y - 30 \Leftrightarrow y = 10$

Εύκολα τώρα έχουμε x = 1

#98

ΑΣΚΗΣΗ 43: (Β Γυμνασίου) Αν οι αριθμοί $\displaystyle{x ,y}$ είναι θετικοί φυσικοί και αν

$\displaystyle{(x^y .y^x )^2 =(xy)^{x+y}}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x=y}$

#99

ΑΣΚΗΣΗ 44: (Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{x,y >0}$ και $\displaystyle{xy=1}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\frac{1}{x^5 +y^3}+\frac{1}{x^3 +y^5}\leq \frac{x+y}{2}}$

KARKAR · #100

ΑΣΚΗΣΗ 45

: Ομοιότητα.png (7.18 KiB) Προβλήθηκε 1542 φορές

Αν τα τρίγωνα της εικόνας είναι όμοια , υπολογίστε τη γωνία $\phi$

Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση