Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

KARKAR · #41

ΑΣΚΗΣΗ 20 (δυσκολούτσικη)

: Τρίλογος.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 2406 φορές

Αξιοποιώντας τα δεδομένα του σχήματος δείξτε ότι : ST:TP:PQ=1:2:3

#42

ΑΣΚΗΣΗ 21: (Α , Β Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{\frac{1}{a}=\frac{4}{b}=\frac{8}{c}=\frac{2}{d}}$

και αν $\displaystyle{ab=c}$ , να βρείτε τους αριθμούς $\displaystyle{a,b,c,d}$ .

raf616 · #43

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 21: (Α , Β Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{\frac{1}{a}=\frac{4}{b}=\frac{8}{c}=\frac{2}{d}}$

και αν $\displaystyle{ab=c}$ , να βρείτε τους αριθμούς $\displaystyle{a,b,c,d}$ .

Θέτουμε όλους τους λόγους ίσους με $k \neq 0$

Τότε:

$a = \dfrac{1}{k}$

$b = \dfrac{4}{k}$

$c = \dfrac{8}{k}$

$d = \dfrac{2}{k}$

Είναι:

$ab = c \Leftrightarrow \dfrac{1}{k} \cdot \dfrac{4}{k} = \dfrac{8}{k} \Leftrightarrow \dfrac{4}{k^2} = \dfrac{8}{k} \Leftrightarrow 4k = 8k^2 \Leftrightarrow k = \dfrac{1}{2}$

Εύκολα τώρα παίρνουμε ότι a = 2, b = 8, c = 16, d = 4

Υ.Γ Αργότερα θα ασχοληθώ και με την δυσκολούτσικη

του κ. Θανάση.

#44

ΑΣΚΗΣΗ 22: (Γ Γυμνασίου) Δίνεται ο αριθμός:

$\displaystyle{A=2004.2005+7-3.2006}$ . Να γραφτεί ως μια δύναμη.

Παναγιώτης Χ. · #45

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 22: (Γ Γυμνασίου) Δίνεται ο αριθμός:

$\displaystyle{A=2004.2005+7-3.2006}$ . Να γραφτεί ως μια δύναμη.

#46

ΑΣΚΗΣΗ 23: (Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{x\in N}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός:

$\displaystyle{A=(x^2 +3x+2)(x^2 +5x+6)(x^2 +4x+3)}$ , είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.

raf616 · #47

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 23: (Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{x\in N}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός:

$\displaystyle{A=(x^2 +3x+2)(x^2 +5x+6)(x^2 +4x+3)}$ , είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.

Είναι:

$\displaystyle{A = (x^2 +3x+2)(x^2 +5x+6)(x^2 +4x+3) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 2)(x + 3)(x + 1) = (x + 1)^2(x + 2)^2(x + 3)^2 =}$

= [(x + 1)(x + 2)(x + 3)]^2}

Έτσι, αποδείξαμε το ζητούμενο.

#48

ΑΣΚΗΣΗ 24: (Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{x+y+z=-1}$ , και αν

$\displaystyle{xy+yz+zx+xyz=0}$ , να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{(x+1)(y+1)(z+1)=0}$

tottis2000 · #49

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 23: (Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{x\in N}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός:

$\displaystyle{A=(x^2 +3x+2)(x^2 +5x+6)(x^2 +4x+3)}$ , είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.[/quote/]

Μια ποιο αναλυτική μορφή της άσκησης είναι

χ^2+3χ+2=χ^2+2χ+χ+2=χ(χ+1)+2(χ+1)=(χ+1)(χ+2)

χ^2+5χ+6=χ^2+3χ+2χ+6=χ(χ+2)+3(χ+2)=(χ+2)(χ+3)

χ^2+4χ+3=χ^2+3χ+χ+3=χ(χ+1)+3(χ+1)=(χ+1)(χ+3)

(χ+1)(χ+2)(χ+2)(χ+3)(χ+1)(χ+3)

(χ+1)^2(χ+2)^2(χ+3)^2

[(χ+1)(χ+2)(χ+3)]^2

[/quote]

#50

AΣΚΗΣΗ 25: (Β Γυμνασίου) (Ένα πρόβλημα από Βουλγάρικο μαθηματικό διαγωνισμό)

Η Κυρία Θάλεια έχει την τριπλάσια ηλικία από τον γιό της. Ο σύζυγος της κυρίας Θάλειας, είναι κατά

χρόνια

μεγαλύτερος από την σύζυγό του. Κατά περίεργη σύμπτωση, και οι τρεις μαζί έχουν γενέθλια την ίδια μέρα και φέτος,

χρειάστηκαν και οι τρεις μαζί, $\displaystyle{88}$ συνολικά κεριά για τις τούρτες των γενεθλίων τους. Πόσων χρονών είναι ο καθένας

τους;

raf616 · #51

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 24: (Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{x+y+z=-1}$ , και αν

$\displaystyle{xy+yz+zx+xyz=0}$ , να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{(x+1)(y+1)(z+1)=0}$

Η αποδεικτέα γράφεται:

$\displaystyle{(x + 1)(y + 1)(z + 1) = (xy + x + y + 1)(z + 1) = xyz + xy + xz + x + yz + y + z + 1 = (xy + yz + zx + xyz) + (x + y + z) + 1 =}$

= 0 - 1 + 1 = 0}

stergios7 · #52

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 25: (Β Γυμνασίου) (Ένα πρόβλημα από Βουλγάρικο μαθηματικό διαγωνισμό)

Η Κυρία Θάλεια έχει την τριπλάσια ηλικία από τον γιό της. Ο σύζυγος της κυρίας Θάλειας, είναι κατά χρόνια

μεγαλύτερος από την σύζυγό του. Κατά περίεργη σύμπτωση, και οι τρεις μαζί έχουν γενέθλια την ίδια μέρα και φέτος,

χρειάστηκαν και οι τρεις μαζί, $\displaystyle{88}$ συνολικά κεριά για τις τούρτες των γενεθλίων τους. Πόσων χρονών είναι ο καθένας

τους;

Άν ο γιος της είναι $\displaystyle{x}$ τότε η Θάλεια θα είναι $\displaystyle{3x}$ και ο σύζυγός της θα είναι $\displaystyle{3x+4}$ .
Άρα $\displaystyle{x+3x+3x+4=88}$
$\displaystyle{7x=88-4}$
$\displaystyle{x=\frac{84}{7}}$
$\displaystyle{x=12}$
Άρα ο γιος της είναι $\displaystyle{12}$ η Θάλεια είναι $\displaystyle{36}$ και ο σύζυγός της είναι $\displaystyle{40}$ .

raf616 · #53

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 25: (Β Γυμνασίου) (Ένα πρόβλημα από Βουλγάρικο μαθηματικό διαγωνισμό)

Η Κυρία Θάλεια έχει την τριπλάσια ηλικία από τον γιό της. Ο σύζυγος της κυρίας Θάλειας, είναι κατά χρόνια

μεγαλύτερος από την σύζυγό του. Κατά περίεργη σύμπτωση, και οι τρεις μαζί έχουν γενέθλια την ίδια μέρα και φέτος,

χρειάστηκαν και οι τρεις μαζί, $\displaystyle{88}$ συνολικά κεριά για τις τούρτες των γενεθλίων τους. Πόσων χρονών είναι ο καθένας

τους;

Έστω

η ηλικία του γιου. Τότε, η ηλικία της Θάλειας θα είναι

και του συζύγου της 3x + 4

. Σχηματίζουμε την εξίσωση:

$x + 3x + 3x + 4 = 88 \Leftrightarrow 7x = 84 \Leftrightarrow x = 12$

Επομένως, ο γιος είναι

χρονών, η κ. Θάλεια

και ο σύζυγός της

Υ.Γ Με πρόλαβαν για ένα λεπτό...

Το αφήνω για τον κόπο

#54

ΑΣΚΗΣΗ 26: (Β Γυμνασίου) Ένας σκύλος καταδιώκει μια αλεπού που άπέχει

$\displaystyle{60}$ πηδήματά της από αυτόν. Όταν η αλεπού κάνει εννέα πηδήματα, ο σκύλος κανει έξι πηδήματα.

Αλλά τρία πηδήματα του σκύλου ισούνται με επτά της αλεπούς. Μετά από πόσα πηδήματά του θα φτάσει ο σκύλος την

αλεπού;

KARKAR · #55

ΑΣΚΗΣΗ 27

: Ίσα τμήματα.png (7.11 KiB) Προβλήθηκε 2247 φορές

Στο σχήμα που βλέπετε , εξηγήστε γιατί είναι LL'=MS

Αρχιμήδης 6 · #56

Παναγιώτης Χ. έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 22: (Γ Γυμνασίου) Δίνεται ο αριθμός:

$\displaystyle{A=2004.2005+7-3.2006}$ . Να γραφτεί ως μια δύναμη.

Και ένας άλλος τρόπος επίσης διδακτικός επειδή πολλές φορές οι μαθητές τα χάνουν στην όψη πολλών αριθμών είναι ο παρακάτω.
Έστω x=2005

τότε
$\displaystyle{A=2004.2005+7-3.2006=(x-1)x+7-3(x+1)=x^2-x+7-3x-3=x^2-4x+4=(x-2)^2=(2005-2)^2=2003^2}$

Παναγιώτης Χ. · #57

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 26: (Β Γυμνασίου) Ένας σκύλος καταδιώκει μια αλεπού που άπέχει

$\displaystyle{60}$ πηδήματά της από αυτόν. Όταν η αλεπού κάνει εννέα πηδήματα, ο σκύλος κανει έξι πηδήματα.

Αλλά τρία πηδήματα του σκύλου ισούνται με επτά της αλεπούς. Μετά από πόσα πηδήματά του θα φτάσει ο σκύλος την

αλεπού;

Αφού

πηδήματα του σκύλου ισούνται με

της αλεπούς,

πηδήματα του σκύλου ισούνται με

της αλεπούς. Άρα κάθε φορά που ο σκύλος κάνει

πηδήματα της αλεπούς η αλεπού κάνει

. Επίσης κάθε φορά η απόσταση μειώνεται κατά 14-9=5

πηδήματα. Στην αρχή η απόσταση ήταν

πηδήματα άρα 60:5=12

φορές θα κάνει ο σκύλος

πηδήματα και η αλεπού

. Συνολικά $12 \cdot 14=168$ πηδήματα της αλεπούς ο σκύλος άρα $168 \cdot \frac {3}{7}=72$ δικά του.

tottis2000 · #58

Η Κυρία Θάλεια έχει την τριπλάσια ηλικία από τον γιό της. Ο σύζυγος της κυρίας Θάλειας, είναι κατά

χρόνια

μεγαλύτερος από την σύζυγό του. Κατά περίεργη σύμπτωση, και οι τρεις μαζί έχουν γενέθλια την ίδια μέρα και φέτος,

χρειάστηκαν και οι τρεις μαζί, $\displaystyle{88}$ συνολικά κεριά για τις τούρτες των γενεθλίων τους. Πόσων χρονών είναι ο καθένας

τους;[/quote]

Σε περίπτωση που ο γιος είναι $\displaystyle{x}$ τότε η κυρία Θάλεια θα είναι $\displaystyle{3x}$ και ο σύζυγος θα είναι $\displaystyle{3x+4}$

Άρα θα κάνουμε:

$\displaystyle{ x+3x+3x+4=88 6x+x=88-4 7x=84 x=12 }$

Άρα ο γιος θα είναι $\displaystyle{12}$ η κυρία Θάλεια θα είναι $\displaystyle{36}$ και ο σύζυγος $\displaystyle{40}$

Αποστόλης · #59

tottis2000 έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 23: (Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{x\in N}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός:

$\displaystyle{A=(x^2 +3x+2)(x^2 +5x+6)(x^2 +4x+3)}$ , είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού αριθμού.[/quote/]

Μια ποιο αναλυτική μορφή της άσκησης είναι

$\displaystyle{χ^2+3χ+2=χ^2+2χ+χ+2=χ(χ+1)+2(χ+1)=(χ+1)(χ+2) χ^2+5χ+6=χ^2+3χ+2χ+6=χ(χ+2)+3(χ+2)=(χ+2)(χ+3) χ^2+4χ+3=χ^2+3χ+χ+3=χ(χ+1)+3(χ+1)=(χ+1)(χ+3) (χ+1)(χ+2)(χ+2)(χ+3)(χ+1)(χ+3) (χ+1)^2(χ+2)^2(χ+3)^2 [(χ+1)(χ+2)(χ+3)]^2</div></blockquote></div></blockquote> <img class="smilies" src="./images/smilies/icon_e_biggrin.gif" width="15" height="17" alt=":D" title="Very Happy">[/quote] Παναγιώτη βαλε σωστα αρχη και τελος τα quote και βαλε }$ στις προτασεις///

Μαθητής Γ'λυκείου......

Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Re: Bήμα στους μαθητές Γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση