ΑΠΡΟΣΜΕΝΑ ΒΡΕΘΗΚΕ....

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Πριν λίγες μέρες ασχολήθηκα με ένα θέμα , έγραφα διάφορα και βλέπω μπροστά μου μια γεωμετρική ανισότητα ....
Με χαρά σας την προτείνω , είμαι βέβαιος ότι δε θα δυσκολέψει τους μερακλήδες....

Σε τρίγωνο ABC

, με έγκεντρο

, έστω $R_{a},R_{b},R_{c}$ οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων IBC,IAC,IAB

αντίστοιχα .
Αποδείξτε ότι
$R_{a}^{2}+R_{b}^{2}+R_{c}^{2}\geq3R^{2}$
όπου

η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC

.

#2

Από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο $\displaystyle{IBC}$ έχουμε

$\displaystyle{a=2R_a\sin \angle BIC\implies a=2R_a\sin \Big(90^o+\frac{A}{2}\Big)\implies \boxed{a=2R_a\cos \frac{A}{2}}}$ ( $\displaystyle{\bf \color{red}1}$ )

Όμως, από τον νόμο των ημιτόνων είναι και

$\displaystyle{a=2R\sin A\implies \boxed{a=4R\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}}}$ ( $\displaystyle{\bf \color{red}2}$ )

Από τις ( $\displaystyle{\bf \color{red}1}$ ),( $\displaystyle{\bf \color{red}2}$ ) προκύπτει

$\displaystyle{\boxed{\boxed{R_a=2R\sin \frac{A}{2}}}}$

Φυσικά, ανάλογες εκφράσεις έχουμε και για τα $\displaystyle{R_b,R_c.}$

Τότε, η αποδεικτέα γράφεται

$\displaystyle{\sum_{cyclic}\sin ^2\frac{A}{2}\geq \frac{3}{4}.}$

Αυτή είναι γνωστό ότι ισχύει. Επί παραδείγματι, μια απόδειξή της βασίζεται στην (γνωστότερη) $\displaystyle{\sum_{cyclic}\cos A\leq \frac{3}{2}.}$

Είναι

$\displaystyle{\sum_{cyclic}\sin ^2\frac{A}{2}=\sum_{cyclic}\frac{1-\cos A}{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sum_{cyclic}\cos A\geq \frac{3}{4}.}$

ΑΠΡΟΣΜΕΝΑ ΒΡΕΘΗΚΕ....

ΑΠΡΟΣΜΕΝΑ ΒΡΕΘΗΚΕ....

Re: ΑΠΡΟΣΜΕΝΑ ΒΡΕΘΗΚΕ....

Μέλη σε σύνδεση