Mare Nostrum!

#1

Αν $\displaystyle{x\leq y\leq z}$ πραγματικοί αριθμοί, με $\displaystyle{xy+yz+zx=1,}$ να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x{\color{red}z}<\frac{1}{2}.}$
Μπορεί να βελτιωθεί η σταθερά $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ ;

EDIT*** Διορθώθηκε το $\displaystyle{z}$ , το οποίο εκ παραδρομής είχε γραφεί ως $\displaystyle{y.}$ Ευχαριστώ τον Νίκο Ζανταρίδη.

nikoszan · #2

Είναι $\displaystyle{:}$ $\displaystyle{\left( {y - x} \right)\left( {y - z} \right) \le 0 \Rightarrow {y^2} - \left( {yz + xy} \right) + xz \le 0 \Rightarrow }$
$\displaystyle{\begin{array}{l} \Rightarrow {y^2} - \left( {1 - xz} \right) + xz \le 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow 2xz \le 1 - {y^2} \le 1 \Rightarrow xz \le \frac{1}{2} \end{array}}$ .
Για να ιχύει η σότητα πρέπει και αρκεί να είναι
$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \left( {y = x \vee y = z} \right)\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\, \wedge \\ y = 0\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\, \wedge \\ xy + yz + zx = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 = 1}$ ΑΔΥΝΑΤΟ.
Επομένως είναι $\displaystyle{xz < \frac{1}{2}}$ .
Ν.Ζ.

#3

matha έγραψε:Αν $\displaystyle{x\leq y\leq z}$ πραγματικοί αριθμοί, με $\displaystyle{xy+yz+zx=1,}$ να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x{\color{red}z}<\frac{1}{2}.}$
Μπορεί να βελτιωθεί η σταθερά $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ ;

EDIT*** Διορθώθηκε το $\displaystyle{z}$ , το οποίο εκ παραδρομής είχε γραφεί ως $\displaystyle{y.}$ Ευχαριστώ τον Νίκο Ζανταρίδη.

Μία ακόμη λύση (ως προς το πρώτο σκέλος της άσκησης).

Αρκεί να δείξω ότι:

2xz<xy+yz+zx.

Αρκεί να δείξω ότι:

xz<xy+yz.

Όμως:

$(x-y)(y-z) \ge 0 \Rightarrow xy-xz-y^2+yz \ge 0 \Rightarrow xy+yz \ge y^2+xz >xz$ (αποκλείεται y=0

αφού τότε θα ήταν xz=1

και $xz \le 0$ , αδύνατον)

nikoszan · #4

Θ.Δ.Ο.το $\displaystyle{{\frac{1}{2}}}$ είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $\displaystyle{xz}$ .
Έστω $\displaystyle{a \in \left( {\frac{1}{3},\frac{1}{2}} \right)}$ , θ.δ.ο. υπάρχουν $\displaystyle{x,y,z > 0}$ με $\displaystyle{x < y < z}$ και $\displaystyle{xy + yz + zx = 1}$ , ώστε $\displaystyle{xz = a}$ .
Θεωρώ το $\displaystyle{y}$ με $\displaystyle{0 < y < \sqrt {1 - 2a} }$ και το $\displaystyle{f\left( w \right) = y{w^2} - \left( {1 - a} \right)w + ay}$ .
Είναι $\displaystyle{f\left( y \right) = y \cdot {y^2} - \left( {1 - a} \right)y + ay = y\left( {{y^2} - \left( {1 - 2a} \right)} \right) < 0}$ , οπότε το $\displaystyle{f\left( w \right)}$ έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες και το $\displaystyle{y}$ βρίσκεται εντός των ριζών. Αν $\displaystyle{x}$ είναι η μικρότερη ρίζα και $\displaystyle{z}$ η μεγαλύτερη, τότε θα έχουμε
$\displaystyle{x < y < z\,}$ και από τους τύπους του Vieta $\displaystyle{x + z = \frac{{1 - a}}{y}\,\,\,,\,\,\,xz = a}$ . Επομένως για κάθε $\displaystyle{a \in \left( {\frac{1}{3},\frac{1}{2}} \right)}$ ,υπάρχουν $\displaystyle{x,y,z > 0}$ με $\displaystyle{x < y < z\,\,}$ και $\displaystyle{xy + yz + zx = y\left( {x + z} \right) + xz = y \cdot \frac{{1 - a}}{y} + a = 1}$ , ώστε $\displaystyle{xz = a}$ και επειδή δείξαμε ότι $\displaystyle{xz < \frac{1}{2}}$ , συμπεραίνουμε ότι το $\displaystyle{{\frac{1}{2}}}$ είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του $\displaystyle{xz}$ .
Έτσι η σταθερά $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ δεν μπορεί να βελτιωθεί.
Ν.Ζ.

#5

Aς γράψω και μια ακόμα προσέγγιση του δεύτερου ερωτήματος:
Διαλέγουμε $x=\sqrt{\varepsilon } ,y=\varepsilon +\sqrt{\varepsilon }$ όπου $\varepsilon$ ένας θετικός αριθμός. Τότε για να είναι xy+yz+zx=1,

επιλέγουμε $z=\dfrac{1-xy}{x+y}=\dfrac{1-\sqrt{\varepsilon} \left(\varepsilon +\sqrt{\varepsilon } \right)}{\varepsilon +2\sqrt{\varepsilon }}.$
Όταν ο $\varepsilon$ τείνει στο μηδέν, τότε $x,y\rightarrow 0$ και $z\rightarrow +\infty.$
Επίσης $xz=\dfrac{1-\sqrt{\varepsilon }\left(\varepsilon +\sqrt{\varepsilon } \right)}{\sqrt{\varepsilon }+2}\rightarrow \dfrac{1}{2}.$
Δηλαδή για κατάλληλα μικρό $\varepsilon$ είναι x<y<z

και ο

πλησιάζει το $\dfrac{1}{2}$ όσο θέλουμε.

Γιώτα · #6

Και μία άλλη λύση
Έστω

,

λύσεις δευτεροβάθμιας εξίσωσης.
Η εξίσωση θα έχει τη μορφή t^2-St+P

όπου

και

Ισχύει ότι $x\leq y\leq z$ άρα το

ανήκει ανάμεσα στις ρίζες της εξίσωσης, επομένως $P(y)\prec 0$
Άρα $y^2-y(x+z)+xz\prec 0\Rightarrow$
$y^2-yx-yz-xz+2xz\prec 0\Rightarrow$
$y^2+2xz\prec 1\Rightarrow$
$xz\prec \frac{1-y^2}{2}=\frac{1}{2}-\frac{y^2}{2}\prec \frac{1}{2}$

Mare Nostrum!

Mare Nostrum!

Re: Mare Nostrum!

Re: Mare Nostrum!

Re: Mare Nostrum!

Re: Mare Nostrum!

Re: Mare Nostrum!

Μέλη σε σύνδεση