Π.Μ.Δ.Μ. Α' Λυκείου 1984

parmenides51 · #1

Π.Μ.Δ.Μ. = Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά

Από την χρονιά 1991-1992 μετονομάστηκε σε ''Θαλής'' (είτε χωρίστηκε σε 1η φάση ''Θαλής'' και 2η ''Ευκλείδης'')
Ακόμα ψάχνω πότε ξεκίνησε ο Ευκλείδης (την χρονιά 1993-94 υπάρχουν θέματα πάντως).
Η Α' Λυκείου συμμετείχε για πρώτη φορά στον Διαγωνισμό της ΕΜΕ από την χρονιά 1984-85 και η Γ' Γυμνασίου από την χρονιά 1985-86.
Μέχρι τότε συμμετείχαν στον διαγωνισμό μόνο η Β' και η Γ' Λυκείου.
Τις μέρες αυτές ξεκινάω να ανεβάζω τα θέματα από Γ' Γυμνασίου και Α΄ Λυκείου, μιας και δεν είναι πολλά (από το 1995 και μετά τα έχουμε ήδη).
Μετά θα ανεβάζω τα θεματα Β' και Γ' Λυκείου από την χρονιά 1982-83 (σύστημα Δεσμών στις Πανελλαδικές).
Οι πηγές μου στα παραπάνω είναι τα τεύχη του Ευκλέιδη Β' από το ψηφιακό αρχείο της ΕΜΕ εδώ.

Τα θέματα:

1. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x_1,x_2,x_3,x_4}$ για τους οποίους ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις: $\displaystyle{ \begin{matrix} x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1\\ x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=1 \end{matrix}}$

2. Να βρείτε όλα τα ζευγάρια φυσικών αριθμών $\displaystyle{(x,y)}$ που ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{|x-2|+|y-3|=3-y}$

3. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ τα μήκη των πλευρών του είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ισχύει πως $\displaystyle{AB<B\Gamma <\Gamma A}$ .
Αν η διχοτόμος $\displaystyle{A\Delta}$ είναι κάθετη στη διάμεσο $\displaystyle{BE}$ , να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου.

: 1984 3 al.jpg (16.35 KiB) Προβλήθηκε 1293 φορές

4. (α) Να βρείτε έναν προτασιακό τύπο $\displaystyle{P(x)}$ με σύνολο αναφοράς το σύνολο $\displaystyle{\mathbb{N}}$ των φυσικών αριθμών και σύνολο αληθείας το σύνολο $\displaystyle{\mathbb{N}-\{1,9,8,4\}}$ .
(β) Στο σχήμα 1 υπάρχουν $\displaystyle{6}$ ευθύγραμμα τμήματα, που καθένα τέμνει $\displaystyle{3}$ ακριβώς από τα υπόλοιπα. Μπορείτε να τοποθετήσετε στο επίπεδο $\displaystyle{7}$ , ώστε καθένα απ' αυτά να τέμνει ακριβώς 3 από τα υπόλοιπα;
(γ) Στο επίπεδο θεωρούμε μια κλειστή πολυγωνική γραμμή με $\displaystyle{1985}$ πλευρές. Υπάρχει ευθεία ( $\displaystyle{\varepsilon}$ ) του επιπέδου που να τέμνει όλες τις γραμμές της πολυγωνικής γραμμής;

: 1984 4 al - sxima 1.jpg (15.77 KiB) Προβλήθηκε 1293 φορές

Υ.Γ. Οταν βρεθώ σε δικό μου υπολογιστή, θα αντικαταστήσω τα παραπάνω σχήματα με καλύτερα.

BAGGP93 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Να βρείτε όλα τα ζευγάρια φυσικών αριθμών $\displaystyle{(x,y)}$ που ικανοποιούν την εξίσωση $\displaystyle{|x-2|+|y-3|=3-y}$

Καλησπέρα.

Για κάθε $\displaystyle{x,y\in\mathbb{N}}$ είναι,

$\displaystyle{|x-2|+|y-3|\geq 0}$ .

Συνεπώς,αρκεί να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{|x-2|+|y-3|=3-y}$ υπό την συνθήκη

$\displaystyle{3-y\geq 0\Leftrightarrow y-3\leq 0\Leftrightarrow y\leq 3\Leftrightarrow y=1\ \lor y=2\ \lor y=3}}$

και τότε,

$\displaystyle{|x-2|+3-y=3-y\Rightarrow |x-2|=0\Rightarrow x=2}$ .

Άρα,οι λύσεις της εξίσωσης είναι τα ακόλουθα διατεταγμένα ζεύγη φυσικών αριθμών

$\displaystyle{(2,1),(2,2),(2,3)}$ .

Garfield · #3

parmenides51 έγραψε:
1. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{x_1,x_2,x_3,x_4}$ για τους οποίους ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις: $\displaystyle{ \begin{matrix} x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1\\ x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=1 \end{matrix}}$

Υψώνοντας στο τετράγωνο την πρώτη σχέση παίρνουμε $\displaystyle{ x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4 + 2 \left( x_1^{2} x_{2}^{2} + x_1^{2} x_{3}^{2} + x_1^{2} x_{4}^{2} + x_2^{2} x_{3}^{2} + x_2^{2} x_{4}^{2} + x_3^{2} x_{4}^{2} \right) =1 }$

και χρησιμοποιώντας την δεύτερη σχέση παίρνουμε: $\displaystyle{ x_1^{2} x_{2}^{2} + x_1^{2} x_{3}^{2} + x_1^{2} x_{2}^{4} + x_2^{2} x_{3}^{2} + x_2^{2} x_{4}^{2} + x_3^{2} x_{4}^{2} =0 }$

$\displaystyle{ \implies x_1 x_2=0 \textnormal{ \gr και} \quad x_1 x_3=0 \textnormal{ \gr και} \quad x_1 x_4=0 \textnormal{ \gr και} \quad x_2 x_3=0 \textnormal{ \gr και} \quad x_2 x_4=0 \textnormal{ \gr και} \quad x_3 x_4=0 }$

Άρα διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

$\displaystyle{ \bullet \textnormal{ \gr αν} \quad x_1 \neq 0 \implies x_2=x_3=x_4=0 }$ και με αντικατάσταση στις αρχικές σχέσεις παίρνουμε ότι $x_1=1 \textnormal{ \gr ή} \quad -1$

$\displaystyle{ \bullet \textnormal{ \gr αν} \quad x_2 \neq 0 \implies x_1=x_3=x_4=0 }$ και με αντικατάσταση στις αρχικές σχέσεις παίρνουμε ότι $x_2=1 \textnormal{ \gr ή} \quad -1$

$\displaystyle{ \bullet \textnormal{ \gr αν} \quad x_3 \neq 0 \implies x_1=x_2=x_4=0 }$ και με αντικατάσταση στις αρχικές σχέσεις παίρνουμε ότι $x_3=1 \textnormal{ \gr ή} \quad -1$

$\displaystyle{ \bullet \textnormal{ \gr αν} \quad x_4 \neq 0 \implies x_1=x_2=x_3=0 }$ και με αντικατάσταση στις αρχικές σχέσεις παίρνουμε ότι $x_4=1 \textnormal{ \gr ή} \quad -1$

Επομένως έχουμε τις λύσεις $\displaystyle{ (1,0,0,0) , (-1,0,0,0), (0,1,0,0) , (0,-1,0,0),(0,0,1,0) , (0,0,-1,0),(0,0,0,1) , (0,0,0,-1) }$

hlkampel · #4

parmenides51 έγραψε:3. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ τα μήκη των πλευρών του είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ισχύει πως $\displaystyle{AB<B\Gamma <\Gamma A}$ .
Αν η διχοτόμος $\displaystyle{A\Delta}$ είναι κάθετη στη διάμεσο $\displaystyle{BE}$ , να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου.

Έστω ${\rm A}{\rm B} = x$ , ${\rm B}\Gamma = x + 1$ και $\Gamma {\rm A} = x + 2$ με $x \in {N^*}$ τα μήκη των πλευρών του τριγώνου.

Στο τρίγωνο ABE

η $A\Delta$ είναι ύψος και διχοτόμος, έτσι AB = AE = x

.

$\displaystyle AE = \frac{{A\Gamma }}{2} \Leftrightarrow x = \frac{{x + 2}}{2} \Leftrightarrow x = 2$

Οπότε $AB = 2,\;B\Gamma = 3$ και $\Gamma A = 4$

#5

parmenides51 έγραψε:4. (α) Να βρείτε έναν προτασιακό τύπο $\displaystyle{P(x)}$ με σύνολο αναφοράς το σύνολο $\displaystyle{\mathbb{N}}$ των φυσικών αριθμών και σύνολο αληθείας το σύνολο $\displaystyle{\mathbb{N}-\{1,9,8,4\}}$ .
(β) Στο σχήμα 1 υπάρχουν $\displaystyle{6}$ ευθύγραμμα τμήματα, που καθένα τέμνει $\displaystyle{3}$ ακριβώς από τα υπόλοιπα. Μπορείτε να τοποθετήσετε στο επίπεδο $\displaystyle{7}$ , ώστε καθένα απ' αυτά να τέμνει ακριβώς 3 από τα υπόλοιπα;
(γ) Στο επίπεδο θεωρούμε μια κλειστή πολυγωνική γραμμή με $\displaystyle{1985}$ πλευρές. Υπάρχει ευθεία ( $\displaystyle{\varepsilon}$ ) του επιπέδου που να τέμνει όλες τις γραμμές της πολυγωνικής γραμμής;

Απαντάω μόνο στα δύο πρώτα ερωτήματα. Στο τρίτο, δεν μπόρεσα αυτή την στιγμή να σκεφτώ κάτι.

(α) Ένας τέτοιος προτασιακός τύπος $\displaystyle{P(x)}$ , είναι πο εξής:

$\displaystyle{ (x-1)^2 (x-4)^2 (x-8)^2 (x-9)^2 >0 , x\in N}$ , ο οποίος προφανώς αληθεύει για κάθε

$\displaystyle{x\in N-}$ { 1,4,8,9

}

(b) Kαθένα από τα έξι ευθύγραμμα τμήματα, τέμνει τα τρία από τα υπόλοιπα σε τρία σημεία. Άρα όλα τα σημεία τομής είναι

$\displaystyle{\frac{6.3}{2}=9}$ , (διότι το κάθε σημείο εμφανίζεται δύο φορές)

Τώρα, τα επτά ευθ. τμήματα τέμνουν τα υπόλοιπα τρία σε $\displaystyle{\frac{7.3}{2}=12,5}$ σημεία. Τούτο όμως είναι άτοπο, αφού ο

αριθμός των σημείων πρέπει να είναι φυσικός. Άρα δεν μπορούμε να τοποθετήσουμε στο επίπεδο

τέτοια ευθύγραμμα τμήματα.

#6

parmenides51 έγραψε:4. (α) Να βρείτε έναν προτασιακό τύπο $\displaystyle{P(x)}$ με σύνολο αναφοράς το σύνολο $\displaystyle{\mathbb{N}}$ των φυσικών αριθμών και σύνολο αληθείας το σύνολο $\displaystyle{\mathbb{N}-\{1,9,8,4\}}$ .
(β) Στο σχήμα 1 υπάρχουν $\displaystyle{6}$ ευθύγραμμα τμήματα, που καθένα τέμνει $\displaystyle{3}$ ακριβώς από τα υπόλοιπα. Μπορείτε να τοποθετήσετε στο επίπεδο $\displaystyle{7}$ , ώστε καθένα απ' αυτά να τέμνει ακριβώς 3 από τα υπόλοιπα;
(γ) Στο επίπεδο θεωρούμε μια κλειστή πολυγωνική γραμμή με $\displaystyle{1985}$ πλευρές. Υπάρχει ευθεία ( $\displaystyle{\varepsilon}$ ) του επιπέδου που να τέμνει όλες τις γραμμές της πολυγωνικής γραμμής;

(γ) Όχι. Η ευθεία αφήνει κάθε κορφή σε ένα από τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζει.
Παίρνοντας διαδοχικά όλες τις πλευρές βλέπουμε ότι η πρώτη κορφή θα πρέπει να ανήκει και στα δύο αυτά ημιεπίπεδα, άτοπο.

Π.Μ.Δ.Μ. Α' Λυκείου 1984

Π.Μ.Δ.Μ. Α' Λυκείου 1984

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Α' Λυκείου 1984

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Α' Λυκείου 1984

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Α' Λυκείου 1984

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Α' Λυκείου 1984

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Α' Λυκείου 1984

Μέλη σε σύνδεση