A' ΔΕΣΜΗ 2001

parmenides51 · #1

Τελευταίο θέμα των Δεσμών
όταν με το καλό λυθούν όλα τα θέματα των Δεσμών θα ετοιμάσω ένα φυλλάδιο με τα θέματα των Δεσμών
και με τις λύσεις που εδόθησαν στο

(αφού γράψω πιο αναλυτικά μερικές από αυτές)
όποιος θέλει να προσθέσει νέες λύσεις ας το κάνει ελεύθερα στις αντίστοιχες δημοσιεύσεις στο Ευρετήριο Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων

1. α) Έστω δειγματικός χώρος $\displaystyle{\Omega}$ και $\displaystyle{A}$ ένα ενδεχόμενό του.
Αν $\displaystyle{ A'}$ είναι το αντίθετο ενδεχόμενο του Α, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{P(A') = 1 - P(A)}$
β) Δίνεται το γραμμικό σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x - 2y + 3z - w =\kappa\\ 3x + y + 2z + 4w = \lambda \\ 5x + 4y + z + 9w = \mu \end{matrix}\right}}$ όπου $\displaystyle{ \kappa, \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$ .
i) Αν το σύστημα είναι συμβιβαστό, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{ \mu+\kappa-2\lambda =0}$
ii) Αν $\displaystyle{(x,y,z,w) = (1, 2, 1, 1)}$ είναι μία λύση του συστήματος, να βρείτε όλες τις λύσεις του.

2. α) Δίνονται οι ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon_{\alpha}) \,: \alpha x-y = 0 }$ και $\displaystyle{(\zeta_{\alpha}) \,: x+\alpha y=2, \alpha \in \mathbb{R}}$ .
i) Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ , οι ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon_{\alpha})}$ διέρχονται από σταθερό σημείο $\displaystyle{A}$
και οι ευθείες $\displaystyle{(\zeta_{\alpha})}$ διέρχονται από σταθερό σημείο $\displaystyle{B}$ , τα οποία και να προσδιορίσετε.
ii) Αν $\displaystyle{M(x, y)}$ είναι το σημείο τομής των $\displaystyle{(\varepsilon_{\alpha})}$ και $\displaystyle{(\zeta_{\alpha})}$ , να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}$
το $\displaystyle{M}$ κινείται σε κύκλο, του οποίου να βρείτε την εξίσωση.
β) Δίνονται τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(z) = z^2 - 2z + 2}$ και $\displaystyle{Q(z) = z^3 + \alpha z^2 + {\color{red}\beta} z-2}$ όπου $\displaystyle{ \alpha ,\beta \in \mathbb{R}}$ .
i) Να βρείτε τις ρίζες $\displaystyle{z_1, z_2}$ του $\displaystyle{P(z)}$ και να αποδείξετε ότι $\displaystyle{ z_{1}^{12 }+ z_{2}^{12}= -2^7}$ .
ii) Αν μια ρίζα του πολυωνύμου $\displaystyle{P(z)}$ είναι και ρίζα του πολυωνύμου $\displaystyle{Q(z)}$ , να προσδιορίσετε τις τιμές των $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ .

3. α) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = x^2\ln x \,\,, x>0}$ .
i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα μόνο σημείο της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ , στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα $\displaystyle{x'x}$ .
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ , τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και την ευθεία $\displaystyle{x=x_0}$ ,
όπου $\displaystyle{x_0}$ είναι η θέση του τοπικού ακροτάτου της $\displaystyle{ f}$ .
β) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f: [\alpha ,\beta ]\to \mathbb{R}}$ , η οποία είναι συνεχής στο $\displaystyle{[\alpha ,\beta] }$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ (\alpha ,\beta)}$ και $\displaystyle{f(\alpha)=2\beta \,\, , f(\beta)=2\alpha }$ .
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=2x}$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο $\displaystyle{(\alpha ,\beta)}$ .
ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\displaystyle{ \xi_1, \xi_2 \in (\alpha ,\beta)}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ f'( \xi_1) f'( \xi_2) = 4}$ .

4. α) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = x^3 - 3x^2\sigma \upsilon \nu 2 \alpha +2x\sigma \upsilon \nu^22 \alpha+\eta \mu^22 \alpha, x\in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ .
Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του $\displaystyle{\alpha}$ η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ έχει μόνο ένα σημείο καμπής,
το οποίο για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{\alpha}$ ανήκει σε παραβολή.
β) ΄Εστω συνάρτηση $\displaystyle{f}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f'(0) = 1}$ και τέτοια ώστε να ισχύει $\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt\ge xe^{-x}}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ .
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\displaystyle{A(0,f(0))}$ .

edit
διόρθωση στο 2.β) άτιμο latex

, ευχαριστώ τον Christos75 που το πρόσεξε

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:4. α) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = x^3 - 3x^2\sigma \upsilon \nu 2 \alpha +2x\sigma \upsilon \nu^22 \alpha+\eta \mu^22 \alpha, x\in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ .
Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του $\displaystyle{\alpha}$ η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ έχει μόνο ένα σημείο καμπής,
το οποίο για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{\alpha}$ ανήκει σε παραβολή.
β) ΄Εστω συνάρτηση $\displaystyle{f}$ παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f'(0) = 1}$ και τέτοια ώστε να ισχύει $\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt\ge xe^{-x}}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R}}$ .
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\displaystyle{A(0,f(0))}$ .

α) Για κάθε $x \in R$ και $\alpha \in R$ είναι:

$f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\sigma \upsilon \nu 2\alpha + 2\sigma \upsilon {\nu ^2}2\alpha$ και $f''\left( x \right) = 6x - 6\sigma \upsilon \nu 2\alpha$

$f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6\sigma \upsilon \nu 2\alpha = 0 \Leftrightarrow x = \sigma \upsilon \nu 2\alpha$

$f''\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow 6x - 6\sigma \upsilon \nu 2\alpha > 0 \Leftrightarrow x > \sigma \upsilon \nu 2\alpha$

$f\left( {\sigma \upsilon \nu 2\alpha } \right) = \sigma \upsilon {\nu ^3}2\alpha - 3\sigma \upsilon {\nu ^3}2\alpha + 2\sigma \upsilon {\nu ^3}2\alpha + \eta {\mu ^2}2\alpha \Rightarrow f\left( {\sigma \upsilon \nu 2\alpha } \right) = \eta {\mu ^2}2\alpha$

Άρα η ${C_f}$ παρουσιάζει για κάθε $\alpha \in R$ σημείο καμπής το $A\left( {\sigma \upsilon \nu 2\alpha ,f\left( {\sigma \upsilon \nu \alpha } \right)} \right)$ ή $A\left( {\sigma \upsilon \nu 2\alpha ,\eta {\mu ^2}2\alpha } \right)$ ,

αφού η $f''\left( x \right)$ μηδενίζεται για $x = \sigma \upsilon \nu 2\alpha$ και αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του

.

Αν $x = \sigma \upsilon \nu 2\alpha$ και $y = \eta {\mu ^2}2\alpha$ τότε ισχύει:

$\eta {\mu ^2}2\alpha + \sigma \upsilon {\nu ^2}2\alpha = 1 \Leftrightarrow y + {x^2} = 1 \Leftrightarrow y = 1 - {x^2}$

Άρα το σημείο

ανήκει στην παραβολή με εξίσωση $y = 1 - {x^2}$ για κάθε $\alpha \in R$ .

β) $\int_0^x {f\left( t \right)} dt \ge x{e^{ - x}} \Leftrightarrow \int_0^x {f\left( t \right)} dt - x{e^{ - x}} \ge 0$ (1)

Αν $g\left( x \right) = \int_0^x {f\left( t \right)} dt - x{e^{ - x}}$ τότε από τη σχέση (1) είναι: $g\left( x \right) \ge 0$

Όμως $g\left( 0 \right) = 0$ , δηλαδή $g\left( x \right) \ge g\left( 0 \right)$ που σημαίνει, ότι η συνάρτηση

παρουσιάζει ελάχιστο για x = 0

.

Άρα από θεώρημα Fermat

ισχύει: $g'\left( 0 \right) = 0$ (2)

Είναι $g'\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^{ - x}} + x{e^{ - x}}$ (3)

$g'\left( 0 \right) = 0\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} f\left( 0 \right) - 1 = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = 1$

Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο $A\left( {0,f\left( 0 \right)} \right)$ έχει εξίσωση:

$y - f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y - 1 = x \Leftrightarrow y = x + 1$

BAGGP93 · #3

parmenides51 έγραψε:

3. α) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = x^2\ln x \,\,, x>0}$ .
i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα μόνο σημείο της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ , στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα $\displaystyle{x'x}$ .
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ , τον άξονα $\displaystyle{x'x}$ και την ευθεία $\displaystyle{x=x_0}$ ,
όπου $\displaystyle{x_0}$ είναι η θέση του τοπικού ακροτάτου της $\displaystyle{ f}$ .
β) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f: [\alpha ,\beta ]\to \mathbb{R}}$ , η οποία είναι συνεχής στο $\displaystyle{[\alpha ,\beta] }$ , παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{ (\alpha ,\beta)}$ και $\displaystyle{f(\alpha)=2\beta \,\, , f(\beta)=2\alpha }$ .
i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=2x}$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο $\displaystyle{(\alpha ,\beta)}$ .
ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\displaystyle{ \xi_1, \xi_2 \in (\alpha ,\beta)}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{ f'( \xi_1) f'( \xi_2) = 4}$ .

αi)Οι παράλληλες ευθείες προς τον άξονα των $\displaystyle{x}$ έχουν κλίση ίση με $\displaystyle{0}$ .

Συνεπώς, αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο $\displaystyle{\left(x_0,f(x_0)\right)}$ της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$

τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f^\prime(x_0)=0}$

Πράγματι, για κάθε $\displaystyle{x>0}$ είναι $\displaystyle{f^\prime(x)=2x\,\ln x+x}$ και άρα

$\displaystyle{f^\prime(x)=0\Leftrightarrow 2x\,\ln x+x=0\Leftrightarrow 2\ln x+1=0\Leftrightarrow \ln x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{e}}$

αii)Είναι, $\displaystyle{f^\prime(x)>0\ \forall x>\frac{1}{\sqrt{e}}\,\,,f^\prime(x)<0\ \forall x\in\left(0,\frac{1}{\sqrt{e}}\right)\,\,,f^\prime\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)=0}$

Επομένως, η $\displaystyle{f}$ παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο $\displaystyle{x=\frac{1}{\sqrt{e}}}$ και άρα $\displaystyle{x_0=\frac{1}{\sqrt{e}}}$

Επειδή $\displaystyle{f(x)=0\Leftrightarrow x=1}$ και $\displaystyle{f(x)\leq 0\ \forall x\in\left[x_0,1\right]}$ έχουμε ότι

το ζητούμενο εμβαδό ισούται με

$\displaystyle{\begin{aligned}\int_{x_0}^{1}\left(-f(x)\right)\,dx&=\int_{1}^{x_0}f(x)\,dx\\&=\int_{1}^{x_0}\ln x\,d\left(\frac{x^3}{3}\right)\\&=\left[\frac{x^3}{3}\cdot \ln x\right]_{1}^{x_0}-\int_{1}^{x_0}\frac{x^3}{3}\,d\left(\ln x\right)\\&=\frac{x_0^3}{3}\cdot \ln x_0-\int_{1}^{x_0}\frac{x^3}{3}\cdot \frac{1}{x}\,dx\\&=\frac{1}{3e\sqrt{e}}-\frac{1}{2}-\int_{1}^{x_0}\frac{x^2}{3}\,dx\\&=\frac{1}{3e\sqrt{e}}-\frac{1}{2}-\left[\frac{x^3}{9}\right]_{1}^{x_0}\\&=\frac{1}{3e\sqrt{e}}-\frac{1}{2}-\frac{1}{9e\sqrt{e}}+\frac{1}{9}\\&=\frac{2}{9e\sqrt{e}}+\frac{7}{18}\end{aligned}}$

βi)Η συνάρτηση $\displaystyle{g:\left[\alpha,\beta\right]\to \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{g(x)=f(x)-2x}$ είναι συνεχής στο

$\displaystyle{\left[\alpha,\beta\right]}$ και ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{g\left(\alpha\right)\cdot g\left(\beta\right)=-4\left(\beta-\alpha\right)^2<0}$

Έτσι, από το Θεώρημα BOLZANO, υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{y\in\left(\alpha,\beta\right)}$ τέτοιο, ώστε

$\displaystyle{g(y)=0\Leftrightarrow f(y)=2y}$

βii)Η $\displaystyle{f}$ ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στα διαστήματα $\displaystyle{\left[\alpha,y\right]\,\,,\left[y,\beta\right]}$ και άρα

$\displaystyle{\exists\,\xi_{1}\in\left(\alpha,y\right):f^\prime(\xi_1)=\frac{f(y)-f\left(\alpha\right)}{y-\alpha}=\frac{2y-2\beta}{y-\alpha}}$

$\displaystyle{\exists\,\xi_{2}\in\left(y,\beta\right):f^\prime(\xi_2)=\frac{f(\beta)-f(y)}{\beta-y}=\frac{2\alpha-2y}{\beta-y}}$

$\displaystyle{f^\prime(\xi_{1})\cdot f^\prime(\xi_{2})=\frac{2y-2\beta}{y-\alpha}\cdot \frac{2\alpha-2y}{\beta-y}=4}$

hlkampel · #4

parmenides51 έγραψε:1. α) Έστω δειγματικός χώρος $\displaystyle{\Omega}$ και $\displaystyle{A}$ ένα ενδεχόμενό του.
Αν $\displaystyle{ A'}$ είναι το αντίθετο ενδεχόμενο του Α, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{P(A') = 1 - P(A)}$
β) Δίνεται το γραμμικό σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x - 2y + 3z - w =\kappa\\ 3x + y + 2z + 4w = \lambda \\ 5x + 4y + z + 9w = \mu \end{matrix}\right}}$ όπου $\displaystyle{ \kappa, \lambda, \mu \in \mathbb{R}}$ .
i) Αν το σύστημα είναι συμβιβαστό, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{ \mu+\kappa-2\lambda =0}$
ii) Αν $\displaystyle{(x,y,z,w) = (1, 2, 1, 1)}$ είναι μία λύση του συστήματος, να βρείτε όλες τις λύσεις του.

α) Θεωρία

β) i. Με τη βοήθεια του επαυξημένου πίνακα του συστήματος και γραμμοπράξεις έχουμε:

$\displaystyle{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&3&{ - 1}&|&\kappa \\ 3&1&2&4&|&\lambda \\ 5&4&1&9&|&\mu \end{array}} \right]\mathop \begin{array}{l} {\Gamma _2} \to {\Gamma _2} - 3{\Gamma _1}\\ {\Gamma _3} \to {\Gamma _3} - 5{\Gamma _1}\\ \quad \quad \sim \end{array}\limits^{} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&3&{ - 1}&|&\kappa \\ 0&7&{ - 7}&7&|&{\lambda - 3\kappa }\\ 0&{14}&{ - 14}&{14}&|&{\mu - 5\kappa } \end{array}} \right]}$

$\displaystyle{\mathop \begin{array}{l} {\Gamma _3} \to {\Gamma _3} - 2{\Gamma _2}\\ \quad \quad \sim \end{array}\limits^{} }$ $\displaystyle{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&3&{ - 1}&|&\kappa \\ 0&7&{ - 7}&7&|&{\lambda - 3\kappa }\\ 0&0&0&0&|&{\mu + \kappa - 2\lambda } \end{array}} \right]}$

Το σύστημα γίνεται: $\left\{ \begin{array}{l} x - 2y + 3z - w = \kappa \\ 7y - 7z + 7w = \lambda - 3\kappa \\ 0x + 0y + 0z + 0w = \mu + \kappa - 2\lambda \end{array} \right.$

Για να είναι συμβιβαστό το σύστημα θα πρέπει η τρίτη εξίσωση να είναι ταυτότητα δηλαδή πρέπει $\mu + \kappa - 2\lambda = 0\;\left( 1 \right)$

ii. Αντικαθιστώντας όπου $x = 1,\;y = 2,\;z = 1$ και w = 1

στο τελευταίο σύστημα έχουμε:

$\kappa = - 1\;\left( 2 \right)$ και $\lambda - 3\kappa = 14\mathop \Leftrightarrow \limits^{\kappa = - 1} \lambda = 11$

Με $\kappa = - 1$ και $\lambda = 11$ το τελικό σύστημα γίνεται:

$\left\{ \begin{array}{l} x - 2y + 3z - w = - 1\\ 7y - 7z + 7w = 14 \end{array} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits_{:7} \left\{ \begin{array}{l} x - 2y + 3z - w = - 1\\ y - z + w = 2 \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)}$

$\left\{ \begin{array}{l} x - y + 2z = 1\\ w = 2 + z - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + y - 2z\\ w = 2 + z - y \end{array} \right.$

Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι: $\left( {x,y,z,w} \right) = \left( {1 + \alpha - 2\beta ,\;\alpha ,\;\beta ,\;2 + \beta - \alpha } \right)$ με $\alpha ,\beta \in R$

Christos75 · #5

parmenides51 έγραψε: 2. α) Δίνονται οι ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon_{\alpha}) \,: \alpha x-y = 0 }$ και $\displaystyle{(\zeta_{\alpha}) \,: x+\alpha y=2, \alpha \in \mathbb{R}}$ .
i) Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ , οι ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon_{\alpha})}$ διέρχονται από σταθερό σημείο $\displaystyle{A}$
και οι ευθείες $\displaystyle{(\zeta_{\alpha})}$ διέρχονται από σταθερό σημείο $\displaystyle{B}$ , τα οποία και να προσδιορίσετε.
ii) Αν $\displaystyle{M(x, y)}$ είναι το σημείο τομής των $\displaystyle{(\varepsilon_{\alpha})}$ και $\displaystyle{(\zeta_{\alpha})}$ , να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}$
το $\displaystyle{M}$ κινείται σε κύκλο, του οποίου να βρείτε την εξίσωση.
β) Δίνονται τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(z) = z^2 - 2z + 2}$ και $\displaystyle{Q(z) = z^3 + \alpha z^2 + {\color{red}\beta} z-2}$ όπου $\displaystyle{ \alpha ,\beta \in \mathbb{R}}$ .
i) Να βρείτε τις ρίζες $\displaystyle{z_1, z_2}$ του $\displaystyle{P(z)}$ και να αποδείξετε ότι $\displaystyle{ z_{1}^{12 }+ z_{2}^{12}= -2^7}$ .
ii) Αν μια ρίζα του πολυωνύμου $\displaystyle{P(z)}$ είναι και ρίζα του πολυωνύμου $\displaystyle{Q(z)}$ , να προσδιορίσετε τις τιμές των $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ .

Λύση
α) Έχουμε τις ευθείες $\displaystyle{\varepsilon _{\alpha }: \alpha x-y=0, \alpha \in \mathbb{R}}$

Παίρνουμε δύο τυχαίες τιμές για την παράμετρο $\displaystyle{\alpha}$ και έχουμε:

$\bullet$ Για $\displaystyle{\alpha =1}$ έχουμε $\displaystyle{\varepsilon _{1}:x-y=0}$

$\bullet$ Για $\displaystyle{\alpha =2}$ $\displaystyle{\varepsilon _{2}:2x-y=0}$ Οπότε προκύπτει το σύστημα

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} x-y=0 & \\ 2x-y=0& \end{matrix}\right.}$

Από τη λύση του οποίου προκύπτει το σημείο

. Η λύση του συστήματος είναι: x=y=0

Άρα το πρώτο ζητούμενο σημείο είναι $\displaystyle{A(0,0)}$

Με παρόμοιο τρόπο υπολογίζουμε και το άλλο σημείο, δηλαδή:

Είναι $\displaystyle{\zeta _{\alpha }: x+\alpha y=2}$ Παίρνουμε και πάλι δύο τυχαίες τιμές για την παράμετρο και έχουμε

$\bullet$ Για $\displaystyle{\alpha =1}$ έχουμε $\displaystyle{\zeta _{1}: x+y=2}$

$\bullet$ Για $\displaystyle{\alpha =2}$ έχουμε $\displaystyle{\zeta _{2}: x+2y=2}$

Λύνοντας το παραπάνω σύστημα προκύπτει το σημείο τομής των ευθειών εν γένει, δηλαδή: $\displaystyle{x=2, y=0}$ Άρα το σημείο που διέρχονται όλες αυτές είναι

$\displaystyle{B(2,0)}$

β)
Για να βρούμε το σημείο τομής των ακόλουθων ευθειών κάνουμε:

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} \alpha x-y=0& \\ x+\alpha y=2& \end{matrix}\right.}$

Θα λύσουμε το σύστημα με την μέθοδο των οριζουσών και έχουμε:

$\displaystyle{D=\begin{vmatrix} \alpha & -1 \\ 1&\alpha \end{vmatrix}=\alpha ^{2}-1(-1)=\alpha ^{2}+1\neq 0 \forall \alpha \in \mathbb{R}}$

Υπολογίζουμε επίσης τις

$\displaystyle{D_{x}=\begin{vmatrix} 0 & -1\\ 2&\alpha \end{vmatrix}=\alpha .0-2(-1)=2}$

και

$\displaystyle{D_{y}=\begin{vmatrix} \alpha & 0\\ 1&2 \end{vmatrix}=2\alpha -1.0=2\alpha}$

Κατά τα γνωστά, η μοναδική λύση του συστήματος είναι: $\displaystyle{x=\frac{D_{x}}{D} \wedge y=\frac{D_{y}}{D}(1)}$

Κατά συνέπεια έχουμε $\displaystyle{x=\frac{2}{\alpha ^{2}+1} \wedge y=\frac{2\alpha }{\alpha ^{2}+1}(2)}$

Θέλουμε να βρούμε την καμπύλη που κινούνται τα σημεία τομής των ευθειών για κάθε $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$

Υψώνουμε τις σχέσεις (1),(2)

στο τετράγωνο και έχουμε:

$\displaystyle{x^{2}=\frac{4}{(\alpha ^{2}+1)^{2}} \wedge y^{2}=\frac{4\alpha ^{2}}{(\alpha ^{2}+1)^{2}}}$

προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις αυτές κι έχουμε
$\displaystyle{x^{2}+y^{2}=\frac{4\alpha ^{2}+4}{(\alpha ^{2}+1)^{2}}=\frac{4}{\alpha ^{2}+1}=2.\frac{2}{\alpha ^{2}+1}=2x\Rightarrow x^{2}+y^{2}=2x}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x^{2}-2x+1-1+y^{2}=0\Leftrightarrow (x-1)^{2}+y^{2}=1}$

που είναι και η ζητούμενη εξίσωση του κύκλου με κέντρο το O(1,0)

και ακτίνα $\displaystyle{\rho =1}$
Β
α) Μας δίνεται η δευτεροβάθμια εξίσωση στους μιγαδικούς με πραγματικούς συντελεστές $\displaystyle{P(z)=0\Leftrightarrow z^{2}-2z+2=0}$

Η παραπάνω εξίσωση έχει $\displaystyle{\Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma =4-8=-4=4i^{2}}$

Οπότε $\displaystyle{z_{1,2}=\frac{2(+-)2i}{2}}$ συνεπώς $\displaystyle{z_{1}=1-i \wedge z_{2}=1+i}$

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{(z_{1})^{12}+(z_{2})^{12}=-2^{7}}$

Πράγματι, έχουμε $\displaystyle{z_{1}=1-i}$ τότε $\displaystyle{(z_{1})^{2}=(1-i)^2=-2i\Rightarrow (z_{1})^2=-2i}$ και επίσης

με παρόμοι τρόπο βρίσκουμε ότι $\displaystyle{(z_{2})^{2}=(1+i)^2=2i\Rightarrow (z_{2})^2=2i}$

Άρα $\displaystyle{(z_{1})^{12}+(z_{2})^{12}=[(z_{1})^{2}]^6+[(z_{2})^{2}]^6=(-2i)^{6}+(2i)^{6}=(2i)^{6}+(2i)^{6}=2^{6}.i^{6}+2^{6}.i^{6}=2.2^{6}.i^{6}=-2^{7}}$

αφού $\displaystyle{i^{6}=-1}$
β)
Η ρίζα του P(z)

είναι και ρίζα του Q(z)

αν λοιπόν $\displaystyle{z_{1}=1-i}$ τότε αφού το τελευταίο έχει πραγματικούς συντελεστές, από γνωστό

θεώρημα θα έχει ρίζα και τον συζυγή του, δηλαδή θα έχει ρίζα $\overline z_{1}=z_{2}$ που σημαίνει ότι $\displaystyle{Q(z_{1})=Q(z_{2})=0}$

Άρα το πολυώνυμο $\displaystyle{Q(z)}$ γράφεται $\displaystyle{Q(z)=P(z).(z-z_{0})=0\Leftrightarrow Q(z)=(z^{2}-2z+2).(z-z_{0})=0}$

Με πράξεις παραπάνω παίρνουμε $\displaystyle{z^{3}+(-z_{0}-2)z^2+(2z_{0}+2)z-2z_{0}=0}$ από όπου παίρνουμε ότι $\displaystyle{z_{0}=1}$

Συνεπώς, έχουμε $\displaystyle{z^{3}-3z^{2}+4z-2=0\Rightarrow \alpha =-3 \wedge \beta =4}$

Christos75 · #6

parmenides51 έγραψε: 2. α) Δίνονται οι ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon_{\alpha}) \,: \alpha x-y = 0 }$ και $\displaystyle{(\zeta_{\alpha}) \,: x+\alpha y=2, \alpha \in \mathbb{R}}$ .
i) Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ , οι ευθείες $\displaystyle{(\varepsilon_{\alpha})}$ διέρχονται από σταθερό σημείο $\displaystyle{A}$
και οι ευθείες $\displaystyle{(\zeta_{\alpha})}$ διέρχονται από σταθερό σημείο $\displaystyle{B}$ , τα οποία και να προσδιορίσετε.
ii) Αν $\displaystyle{M(x, y)}$ είναι το σημείο τομής των $\displaystyle{(\varepsilon_{\alpha})}$ και $\displaystyle{(\zeta_{\alpha})}$ , να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του $\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}}$
το $\displaystyle{M}$ κινείται σε κύκλο, του οποίου να βρείτε την εξίσωση.
β) Δίνονται τα πολυώνυμα $\displaystyle{P(z) = z^2 - 2z + 2}$ και $\displaystyle{Q(z) = z^3 + \alpha z^2 + {\color{red}\beta} z-2}$ όπου $\displaystyle{ \alpha ,\beta \in \mathbb{R}}$ .
i) Να βρείτε τις ρίζες $\displaystyle{z_1, z_2}$ του $\displaystyle{P(z)}$ και να αποδείξετε ότι $\displaystyle{ z_{1}^{12 }+ z_{2}^{12}= -2^7}$ .
ii) Αν μια ρίζα του πολυωνύμου $\displaystyle{P(z)}$ είναι και ρίζα του πολυωνύμου $\displaystyle{Q(z)}$ , να προσδιορίσετε τις τιμές των $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ .

Μία ακόμη λύση για το β) ii)

Έχουμε ότι $\displaystyle{z_{1}=1-i}$ η ρίζα του P(z)

να είναι ρίζα και του Q(z)

τότε

$\displaystyle{Q(z_{1})=0\Leftrightarrow z_{1}^3+\alpha z_{1}^2+\beta z_{1}-2=0 (1)}$

Επίσης $\displaystyle{(1-i)^{3}=(1-i)^{2}(1-i)=...=-2(1+i) (2)}$

Οπότε $\displaystyle{z_{1}^3=-2(1+i), z_{1}^2=-2i, z_{1}=1-i}$ όλες αυτές τις σχέσεις τις αντικαθιστώ στην (1)

και έχω

$\displaystyle{-2(1+i)+\alpha (-2i)+\beta (1-i)-2=0\Rightarrow (\beta -4)+(-2-2\alpha -\beta )i=0+0i\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \beta =4 & \\ \alpha =-3& \end{matrix}\right.}$ που είναι και οι ζητούμενες τιμές.

A' ΔΕΣΜΗ 2001

A' ΔΕΣΜΗ 2001

Re: A' ΔΕΣΜΗ 2001

Re: A' ΔΕΣΜΗ 2001

Re: A' ΔΕΣΜΗ 2001

Re: A' ΔΕΣΜΗ 2001

Re: A' ΔΕΣΜΗ 2001

Μέλη σε σύνδεση