Α' ΔΕΣΜΗ 1990

parmenides51 · #1

1. α) Αν $\displaystyle{A,B}$ είναι πίνακες $\displaystyle{\nu x \nu}$ και ισχύουν οι σχέσεις $\displaystyle{{A^{2}}=A}$ και $\displaystyle{AB+BA={\mathbb O}}$ όπου $\displaystyle{{\mathbb O}}$ ο μηδενικός πίνακας $\displaystyle{\nu x \nu}$
τότε να αποδείξετε ότι είναι $\displaystyle{AB=BA={\mathbb O}}$ .
β) Έστω $\displaystyle{A,B}$ πίνακες $\displaystyle{\nu x \nu}$ και $\displaystyle{\mathbb I}$ ο μοναδιαίος πίνακας $\displaystyle{\nu x \nu}$ .
Αν ισχύει ότι $AB =\Gamma A=\mathbb I$ τότε να αποδείξετε ότι ο $\displaystyle{A}$ είναι αντιστρέψιμος και ότι ${{A}^{-1}}=B =\Gamma$
γ) Έστω $\displaystyle{A,B}$ πίνακες $\displaystyle{\nu x \nu}$ όπου ο $\displaystyle{B}$ είναι αντιστρέψιμος.
Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{\kappa}$ θετικό ακέραιο ισχύει η σχέση ${{\left( BA{B^{-1}} \right)}^{\kappa }}=B {A^{\kappa }}{B^{-1}}$ .

2. α) Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{[\alpha ,\beta]}$ και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(\alpha ,\beta)}$
τότε υπάρχει $\xi \in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο ώστε να είναι $\displaystyle{{f}'(\xi )=\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}$ .
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=\frac{\alpha {{x}^{3}}}{3}+\left( \frac{\beta }{2}+\delta \right){{x}^{2}}+\left( \gamma -\delta \right)x+\delta}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,\delta}$ είναι πραγματικοί αριθμοί
και ισχύει $\displaystyle{\frac{\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}+\gamma =0}$ .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \in \left( 0,1 \right)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\left( \xi ,f(\xi ) \right)$
να είναι παράλληλη προς τον άξονα {x}'x

.

3. α) Θεωρούμε κύκλο με κέντρο $K({{x}_{0}},{{y}_{0}})$ και ακτίνα $\displaystyle{\rho}$ καθώς και σημείο $A({{x}_{1}},{{y}_{1}})$ αυτού του κύκλου.
Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο $\displaystyle{A}$ έχει εξίσωση $\left( x-{{x}_{0}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{0}} \right)+\left( y-{{y}_{0}} \right)\left( {{y}_{1}}-{{y}_{0}} \right)={{\rho }^{2}}$ .
β) Δίνονται η ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ με εξίσωση $\displaystyle{5x+3y+2=0}$ και ο κύκλος $\displaystyle{C}$ με εξίσωση ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-2=0$ που τέμνονται στα σημεία $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{N}$ .
i) Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό $\displaystyle{\lambda}$ η εξίσωση ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-2+\lambda \left( 5x+3y+2 \right)=0$ παριστάνει κύκλο
ο οποίος περνάει από τα σημεία $\displaystyle{M}$ και $\displaystyle{N}$ . Για ποια τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ ο κύκλος αυτός περνάει από την αρχή των αξόνων;
ii) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων του ερωτήματος (i) ανήκουν σε ευθεία ${{\varepsilon }_{1}}$ της οποίας να βρείτε την εξίσωση.

4. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=3x+\frac{1}{2{{x}^{2}}}}$
α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν $\displaystyle{E(\alpha)}$ του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ της ευθείας
με εξίσωση $\displaystyle{y=3x}$ και των ευθειών με εξισώσεις $\displaystyle{x=1}$ και $\displaystyle{x=\alpha}$ με $\displaystyle{\alpha >1}$ .
γ) Να υπολογίσετε το όριο του εμβαδού $\displaystyle{E(\alpha)}$ του ανωτέρου χωρίου όταν το $\displaystyle{$ \alpha}$ τείνει στο άπειρο.

pito · #2

parmenides51 έγραψε:1. α) Αν $\displaystyle{A,B}$ είναι πίνακες $\displaystyle{\nu x \nu}$ και ισχύουν οι σχέσεις $\displaystyle{{A^{2}}=A}$ και $\displaystyle{AB+BA={\mathbb O}}$ όπου $\displaystyle{{\mathbb O}}$ ο μηδενικός πίνακας $\displaystyle{\nu x \nu}$
τότε να αποδείξετε ότι είναι $\displaystyle{AB=BA={\mathbb O}}$ .
β) Έστω $\displaystyle{A,B}$ πίνακες $\displaystyle{\nu x \nu}$ και $\displaystyle{\mathbb I}$ ο μοναδιαίος πίνακας $\displaystyle{\nu x \nu}$ .
Αν ισχύει ότι $AB =\Gamma A=\mathbb I$ τότε να αποδείξετε ότι ο $\displaystyle{A}$ είναι αντιστρέψιμος και ότι ${{A}^{-1}}=B =\Gamma$
γ) Έστω $\displaystyle{A,B}$ πίνακες $\displaystyle{\nu x \nu}$ όπου ο $\displaystyle{B}$ είναι αντιστρέψιμος.
Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{\kappa}$ θετικό ακέραιο ισχύει η σχέση ${{\left( BA{B^{-1}} \right)}^{\kappa }}=B {A^{\kappa }}{B^{-1}}$ .

Θα κάνω μια προσπάθεια:

α) Είναι $AB+BA={\mathbb O}\Rightarrow A(AB+BA)=A{\mathbb O}\Rightarrow A^{2}B+ABA={\mathbb O}\Rightarrow AB+ABA={\mathbb O} (1)$ , όμοια
$(AB+BA)A={\mathbb O}\Rightarrow ABA+BA^{2}={\mathbb O}\Rightarrow ABA+BA={\mathbb O} (2)$

Έτσι και $ABA+BA=AB+ABA\Rightarrow BA=AB$ και αφού $AB+BA={\mathbb O}\Rightarrow AB=BA={\mathbb O}$

β) Είναι $\Gamma =\Gamma I\Rightarrow \Gamma =\Gamma (AB)\Rightarrow \Gamma =(\Gamma A)B\Rightarrow \Gamma =IB\Rightarrow \Gamma =B$

Από τη σχέση $AB=\Gamma A=I\Rightarrow AB=BA=I$ άρα ο

αντιστρέφεται με $A^{-1}=B$

γ) Για k=1

προφανώς η σχέση ισχύει
Έστω ότι ισχύει για $\kappa =\nu$ δηλαδή $(BAB^{-1})^{\nu }=BA^{\nu }B^{-1}$

Για $\kappa =\nu +1$ είναι $(BAB^{-1})^{\nu +1}=(BAB^{-1})^{\nu }(BAB^{-1})=BA^{\nu }(B^{-1}B)AB^{-1}=BA^{\nu }IAB^{-1}=BA^{\nu +1}B^{-1}$ και το ζητούμενο έπεται από τη μαθηματική επαγωγή.

Christos75 · #3

parmenides51 έγραψε: 2. α) Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{[\alpha ,\beta]}$ και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{(\alpha ,\beta)}$
τότε υπάρχει $\xi \in (\alpha ,\beta )$ τέτοιο ώστε να είναι $\displaystyle{{f}'(\xi )=\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}$ .
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=\frac{\alpha {{x}^{3}}}{3}+\left( \frac{\beta }{2}+\delta \right){{x}^{2}}+\left( \gamma -\delta \right)x+\delta}$ όπου $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,\delta}$ είναι πραγματικοί αριθμοί
και ισχύει $\displaystyle{\frac{\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}+\gamma =0}$ .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi \in \left( 0,1 \right)$ τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\left( \xi ,f(\xi ) \right)$
να είναι παράλληλη προς τον άξονα .

Πάμε να δούμε το ακόλουθο θεματάκι που είναι και απλό.

α) Θεωρία σχολικού βιβλίου

β) Μας δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{\alpha x^{3}}{3}+(\frac{\beta }{2}+\delta )x^{2}+(\gamma -\delta )x+\delta}$ η οποία είναι:

$\cdot$ Συνεχής στο διάστημα [0,1]

ως πολυωνυμική,

$\cdot$ Παραγωγίσιμη στο (0,1)

για τον ίδιο λόγο.

και επιπλέον ισχύει: $\displaystyle{f(0)=\delta}$ και $\displaystyle{f(1)=\frac{\alpha }{3}+(\frac{\beta }{2}+\delta).1+(\gamma -\delta ).1+\delta =(\frac{\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}+\gamma)+\delta =\delta}$

προκύπτει αν εκμεταλλευτούμε τη δοσμένη σχέση εξ'υποθέσεως.

Άρα $\displaystyle{f(0)=f(1)(=\delta )}$

Χρησιμοποιώντας το α) ερώτημα, από θεώρημα Rolle $\displaystyle{\exists \xi \in (0,1): f'(\xi )=0}$ από όπου αποδεικνύεται το ζητούμενο.

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

Α' ΔΕΣΜΗ 1990

Α' ΔΕΣΜΗ 1990

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1990

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1990

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1990

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1990

Μέλη σε σύνδεση