Α' ΔΕΣΜΗ 1989

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{matrix} x+\lambda \left( y+z \right)=0 \\ -2y+z=\lambda x \\ \lambda x+y=-z \\ \end{matrix} \right.$

2. α) Να αποδειχθεί ότι κάθε ν-οστή ρίζα της μονάδας είναι της μορφής $\displaystyle{{{\zeta }_{\kappa }}=\sigma \upsilon \nu \frac{2\kappa \pi }{\nu }+i\eta \mu \frac{2\kappa \pi }{\nu },\,\,\kappa \in \mathbb{Z}}$ .
β) Να λυθεί η εξίσωση στο σύνολο $\mathbb{C}$ των μιγαδικών ${{z}^{6}}+2{{z}^{5}}+2{{z}^{4}}+2{{z}^{3}}+{{z}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=0$ .

3. α) Να αποδειχθεί ότι αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$
και για κάθε $x\in \Delta$ είναι {f}'(x)=0

τότε η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή στο $\displaystyle{\Delta}$ .
β) Έστω $\displaystyle{f,g}$ συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ για τις οποίες υποθέτουμε ότι :
$\displaystyle{\bullet}$ είναι δυο φορές παραγωγίσιμες στο $\displaystyle{\Delta}$
$\displaystyle{\bullet}$ {f}''={g}''

και
$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{0\in \Delta}$ και $\displaystyle{f(0)=g(0)}$
Να δειχθεί ότι :
i) Για κάθε $x\in \Delta ,\,\,f(x)-g(x)=cx$ όπου $c\in \mathbb{R}$
ii) Αν η $\displaystyle{f(x)=0}$ έχει δυο ρίζες ετερόσημες ${{\rho }_{1}},{{\rho }_{2}}$ τότε η $\displaystyle{g(x)=0}$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο κλειστό διάστημα $\left[ {{\rho }_{1}},{{\rho }_{2}} \right]$ .

4. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=\eta \mu \left( 2x+\frac{\pi }{2} \right)}$ και πεδίο ορισμού το διάστημα $\displaystyle{\left[ -\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4} \right]}$ .
α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\displaystyle{{{x}_{0}}=\frac{\pi }{8}}$ .
β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την παραπάνω εφαπτομένη,
τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ και τους θετικούς ημιάξονες $\displaystyle{Ox,Oy}$ .

#2

2. α) Να αποδειχθεί ότι κάθε ν-οστή ρίζα της μονάδας είναι της μορφής $\displaystyle{{{\zeta }_{\kappa }}=\sigma \upsilon \nu \frac{2\kappa \pi }{\nu }+i\eta \mu \frac{2\kappa \pi }{\nu },\,\,\kappa \in \mathbb{Z}}$ .
β) Να λυθεί η εξίσωση στο σύνολο $\mathbb{C}$ των μιγαδικών ${{z}^{6}}+2{{z}^{5}}+2{{z}^{4}}+2{{z}^{3}}+{{z}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=0$ .

α) Θεωρία
β)
$\displaystyle{\begin{array}{l} \,\,\,\,\,\,\,\,{z^6} + 2{z^5} + 2{z^4} + 2{z^3} + {z^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow {z^6} + 2{z^5} + {z^4} + {z^4} + 2{z^3} + {z^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow {z^4}({z^2} + 2z + 1) + {z^2}({z^2} + 2z + 1) + {(z + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow {(z + 1)^2}({z^4} + {z^2} + 1) = 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow z = - 1\,\,\,\, \\ \end{array}}$
(διπλή ρίζα )
ή $\displaystyle{\,\,\,\,\,\,{z^4} + {z^2} + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\,\,}$
Για $\displaystyle{\,\,z \ne \pm 1\,\,}$ η $\displaystyle{\,\,\,\,\,(1)\,\,\,\,}$ ισοδυναμεί με την :
$\displaystyle{\,\,\,\,({z^2} - 1)({z^4} + {z^2} + 1) = 0 \Leftrightarrow {z^6} - 1 = 0 \Leftrightarrow {z^6} = 1}$
οπότε : $\displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{z_k} = \sigma \upsilon \nu \frac{{2k{\rm{\pi }}}}{6} + i{\rm{\eta \mu }}\frac{{2\kappa \pi }}{6}\,\,\,\,,\,\,\,\kappa = 0,1,...,5}$
απ΄ όπου παίρνουμε τις
$\displaystyle{{z_0} = 1\,\,}$ (απορρίπτεται) , $\displaystyle{\,\,\,\,{z_1} = \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,,\,\,{z_2} = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,,\,\,\,{z_3} = - 1\,\,\,\,}$ (απορρίπτεται ) $\displaystyle{\,\,,\,\,{z_4} = - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,,\,\,{z_5} = \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,}$

#3

1. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{matrix} x+\lambda \left( y+z \right)=0 \\ -2y+z=\lambda x \\ \lambda x+y=-z \\ \end{matrix} \right.$

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \lambda \left( {y + z} \right) = 0} \\ { - 2y + z = \lambda x} \\ {\lambda x + y = - z} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \lambda y + \lambda z = 0} \\ { - \lambda x - 2y + z = 0} \\ {\lambda x + y + z = 0} \\ \end{array}} \right.}$
το οποίο είναι ομογενές σύστημα $\displaystyle{\,\,3 \times 3\,\,\,}$
Η ορίζουσα του συστήματος είναι :
$\displaystyle{\begin{array}{l} \,D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & {\rm{\lambda }} & \lambda \\ { - \lambda } & { - 2} & 1 \\ \lambda & 1 & 1 \\ \end{array}} \right|\mathop = \limits^{{\Gamma _3} \to {\Gamma _3} + {\Gamma _2}} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & {\rm{\lambda }} & \lambda \\ { - \lambda } & { - 2} & 1 \\ 0 & { - 1} & 2 \\ \end{array}} \right|\mathop = \limits^{{\Gamma _2} \to {\Gamma _2} + \lambda \cdot {\Gamma _1}} \\ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & {\rm{\lambda }} & \lambda \\ 0 & {{\lambda ^2} - 2} & {{\lambda ^2} + 1} \\ 0 & { - 1} & 2 \\ \end{array}} \right| = 2{\lambda ^2} - 4 + {\lambda ^2} + 1 = 3{\lambda ^2} - 3\,\,\,\, \\ \end{array}}$
Είναι : $\displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\,D = 0 \Leftrightarrow \lambda {\rm{ = }} \pm {\rm{1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,}$ .

Επομένως :
α) Αν $\displaystyle{\,\,\,{\rm{\lambda }} \ne \pm {\rm{1}}\,\,\,\,\,}$ , το σύστημα έχει μοναδική λύση , τη μηδενική .

β) Αν $\displaystyle{\,\,\,\,\,\,\lambda = 1\,\,}$ , τότε γίνεται :
$\displaystyle{\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y + z = 0} \\ { - x - 2y + z = 0} \\ {x + y + z = 0} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y + z = 0} \\ { - x - 2y + z = 0} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + y + z = 0} \\ { - y + 2z = 0} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 3z} \\ {y = 2z} \\ \end{array}} \right.}$
, οπότε έχει άπειρες λύσεις , της μορφής : $\displaystyle{\,\,\,(x,y,z) = ( - 3k,2k,k)\,\,\,,\,\,k \in R}$

γ) Αν $\displaystyle{\,\,\,{\rm{\lambda }} = - 1\,\,\,\,\,}$ , γίνεται :
$\displaystyle{\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - y - z = 0} \\ {x - 2y + z = 0} \\ { - x + y + z = 0} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - y - z = 0} \\ {x - 2y + z = 0} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - y - z = 0} \\ { - y + 2z = 0} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3z} \\ {y = 2z} \\ \end{array}} \right.}$
οπότε έχει άπειρες λύσεις της μορφής : $\displaystyle{\,\,\,\,\,(x,y,z) = (3m,2m,m)\,\,\,,\,\,m \in R}$

#4

parmenides51 έγραψε:3. α) Να αποδειχθεί ότι αν η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$
και για κάθε $x\in \Delta$ είναι τότε η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι σταθερή στο $\displaystyle{\Delta}$ .
β) Έστω $\displaystyle{f,g}$ συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ για τις οποίες υποθέτουμε ότι :
$\displaystyle{\bullet}$ είναι δυο φορές παραγωγίσιμες στο $\displaystyle{\Delta}$
$\displaystyle{\bullet}$ και
$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{0\in \Delta}$ και $\displaystyle{f(0)=g(0)}$
Να δειχθεί ότι :
i) Για κάθε $x\in \Delta ,\,\,f(x)-g(x)=cx$ όπου $c\in \mathbb{R}$
ii) Αν η $\displaystyle{f(x)=0}$ έχει δυο ρίζες ετερόσημες ${{\rho }_{1}},{{\rho }_{2}}$ τότε η $\displaystyle{g(x)=0}$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο κλειστό διάστημα $\left[ {{\rho }_{1}},{{\rho }_{2}} \right]$ .

(α) Θεωρία

(β) (i) Έχουμε: $\displaystyle{(f{'}(x)){'}=(g{'}(x)){'}}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in \Delta}$ . Άρα $\displaystyle{f{'}(x)=g{'}(x) + c}$ και άρα

$\displaystyle{f(x)=g(x)+cx+c_{1}}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in \Delta}$ . Για $\displaystyle{x=0}$ , έχουμε $\displaystyle{f(0)=g(0)=0+c_{1} \Rightarrow c_{1}=0}$

Συνεπώς $\displaystyle{f(x)=g(x)+cx}$ , για κάθε $x\in \Delta$

(ii) Eίναι $\displaystyle{g(x)=f(x)-cx}$ και $\displaystyle{f(p_1 )=0, f(p_2 )=0}$ , όπου $\displaystyle{p_1 p_2 <0}$

Αν είναι $\displaystyle{c=0}$ , τότε θα είναι και $\displaystyle{g(x)=f(x)}$ και άρα $\displaystyle{g(p_1 )=0 ,g(p_2 )=0}$ , δηλαδή η $\displaystyle{g}$ έχει ρίζες τις

$\displaystyle{p_1 , p_2}$

Aν είναι $\displaystyle{c\neq 0}$ , τότε $\displaystyle{g(p_1 )g(p_2 )=-cp_1 .(-cp_2 )=c^2 p_1 p_2 <0}$ . Άρα από το θεώρημα Bolzano, έχουμε ότι

η $\displaystyle{g}$ , έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $\displaystyle{(p_1 , p_2 )}$ .

Tελικά δείξαμε ότι η $\displaystyle{g}$ , έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $\displaystyle{[p_1 , p_2 ]}$ .

Christos75 · #5

parmenides51 έγραψε:
4. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $\displaystyle{f(x)=\eta \mu \left( 2x+\frac{\pi }{2} \right)}$ και πεδίο ορισμού το διάστημα $\displaystyle{\left[ -\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4} \right]}$ .
α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ στο σημείο $\displaystyle{{{x}_{0}}=\frac{\pi }{8}}$ .
β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την παραπάνω εφαπτομένη,
τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ και τους θετικούς ημιάξονες $\displaystyle{Ox,Oy}$ .

Για να δούμε και το τελευταίο θεματάκι των δεσμών εκείνης της χρονιάς μιας και αυτό μου έλαχε...

α)
Για την συνάρτηση

η οποία είναι συνεχής, έχουμε: $f(x)=sin(\frac{\pi }{2}+2x)=sin(\frac{\pi }{2}-(-2x))=cos(-2x)=cos2x, x\in [-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}]$

Για την εφαπτομένη της συνάρτησης $\displaystyle{f$ έχουμε: $y-f(\frac{\pi }{8})=f'(\frac{\pi }{8})(x-\frac{\pi }{8})}$ σχέση (1)

Πάμε να βρούμε την $\displaystyle{f'(x)=(cos2x)'=-sin(2x).(2x)'=-2sin(2x)}$

Οπότε, $\displaystyle{f'(\frac{\pi }{8})=-2sin\frac{2\pi }{8}=-2sin(\frac{\pi }{4})=-2.\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow f'(\frac{\pi }{8})=-\sqrt{2}}$

Επίσης: $\displaystyle{f(\frac{\pi }{8})=cos(\frac{2\pi }{8})=cos\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Συνεπώς θα έχουμε: $\displaystyle{y-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}(x-\frac{\pi }{8})\Leftrightarrow 2y-\sqrt{2}=-2\sqrt{2}(x-\frac{\pi }{8})\Leftrightarrow y=-\sqrt{2}x+\frac{(4+\pi)\sqrt{2} }{8}}$

όπου είναι και η ζητούμενη εξίσωση ευθείας.

β)

Το ζητούμενο εμβαδόν προκύπτει εάν από το εμβαδόν του τριγώνου αφαιρέσουμε το εμβαδόν της συνάρτησης

, δηλαδή:

$E=\frac{1}{2}(O\Gamma ).(O\Delta )-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}cos(2x)dx$ όπου $\Gamma$ και $\Delta$ είναι τα σημεία τομής της εφαπτομένης με τον άξονα x'x

και

αντιστοίχως.

Οπότε τελικά έχουμε: $E=\frac{1}{2}(O\Gamma ).(O\Delta )-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}cos(2x)dx=\frac{1}{2}(\frac{\pi }{8}+\frac{1}{2}).(\frac{\pi \sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2})-[\frac{1}{2}sin(2x)]=\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{\pi }{8}+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}$

#6

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί το σύστημα $\left\{ \begin{matrix} x+\lambda \left( y+z \right)=0 \\ -2y+z=\lambda x \\ \lambda x+y=-z \\ \end{matrix} \right.$

Ας το δούμε και απλούστερα:

Με πρόσθεση των δύο τελευταίων εξισώσεων, βρίσκουμε $\displaystyle{y=2z.}$

Τότε, οι εξισώσεις του συστήματος γίνονται $\displaystyle{x=-3\lambda z,~\lambda x+3z=0.}$

Με αντικατάσταση της πρώτης στη δεύτερη προκύπτει $\displaystyle{(1-\lambda ^2)z=0.}$

Αν $\displaystyle{\lambda \ne \pm 1,}$ το σύστημα έχει μοναδική λύση την $\displaystyle{(0,0,0).}$

Αν $\displaystyle{\lambda =1}$ το σύστημα έχει φανερά την απειρία λύσεων $\displaystyle{(-3z,2z,z), z\in \mathbb{R}.}$

Αν $\displaystyle{\lambda =-1}$ το σύστημα έχει φανερά την απειρία λύσεων $\displaystyle{(3z,2z,z), z\in \mathbb{R}.}$

Α' ΔΕΣΜΗ 1989

Α' ΔΕΣΜΗ 1989

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1989

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1989

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1989

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1989

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1989

Μέλη σε σύνδεση