4ο Θέμα στην παραβολή

KARKAR · #1

: 4ο Θέμα στην παραβολή.png (26 KiB) Προβλήθηκε 1049 φορές

Στο σχήμα έχει σχεδιασθεί η παραβολή $f(x)=ax^2+bx+c, a\neq 0$ , η οποία

τέμνει τον y'y

στο

, τον

στα

και έχει κορυφή το σημείο K(2,2)

.

1) Βρείτε τους συντελεστές a,b,c

2) Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου KAB

3) Αν για κάποιο πραγματικό $k\neq 2 , k\neq 0$ , η παραβολή μεταφερθεί , ώστε η κορυφή να είναι K(k,k)

και το

, εξηγήστε γιατί ο συντελεστής

θα μείνει αμετάβλητος .

Σημείωση : Αν δεν λύσετε το 1ο ερώτημα , δώστε απάντηση στο 2ο , συναρτήσει των a,b,c

jim.jt · #2

1) Από τις συντεταγμένες του σημείου

παίρνουμε με αντικατάσταση ότι c=-2

.

Επίσης από τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής παίρνουμε το σύστημα

$\begin{cases} -\frac{b}{2a}=2 \\ - \frac{b^2-4ac}{4a}=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} b=-4a \\ 16a^2+16a=0 \end{cases}\Rightarrow a=-1\: \kappa \alpha \iota \: b=4$

σύμφωνα με τους περιορισμούς.

Έτσι η εξίσωση γίνεται -x^2+4x-2=0

.

jim.jt · #3

2) Οι ρίζες της εξίσωσης είναι $2-\sqrt{2}$ και $2+\sqrt{2}$ , άρα $A=(2-\sqrt{2},0)$ και $B=(2+\sqrt{2},0)$ .

Η απόσταση μεταξύ τους είναι $2\sqrt{2}$ και η απόσταση τους από το

είναι $\sqrt{6}$ , άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Το ύψος του είναι και διάμεσος και έτσι με ΠΘ βρίσκουμε ότι το ύψος ισούται με

.

Άρα $(KAB)= \frac{2\sqrt{2}\cdot 2}{2}=2\sqrt{2}$

edit Λάθος στο πυθαγόρειο θεώρημα.

gavrilos · #4

α) Αν $\displaystyle{x=0}$ έχουμε ότι $\displaystyle{f(x)=-2}$ οπότε $\displaystyle{c=-2}$ .

Τώρα,γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{\frac{-b}{2a}=2 \Leftrightarrow b=-4a \ (1) \ , \ \frac{-\Delta}{4a}=2 \Leftrightarrow \Delta=-8a}$ .

Επίσης βλέπουμε ότι $\displaystyle{\Delta =b^{2}+8a \Leftrightarrow b^{2}=-16a}$ .

Και με βάση την πρώτη ισότητα (1)

έχουμε πως $\displaystyle{b=4 \ , \ a=-1 \Leftrightarrow f(x)=-x^{2}+4x-2}$ .

β) Λύνουμε την εξίσωση της παραβολής $\displaystyle{-x^{2}+4x-2=0}$ και βρίσκουμε με πράξεις ότι $\displaystyle{x_1=2-\sqrt{2} \ , \ x_2=2+\sqrt{2} \Leftrightarrow AB=2\sqrt{2}}$ .

Ακόμη επειδή το ύψος του τριγώνου είναι και άξονας συμμετρίας του αυτό θα ισούται με $\displaystyle{2 \Leftrightarrow (KAB)=2\sqrt{2}}$ .

γ) Θα είναι $\displaystyle{b=-2ak \ , \ b^{2}=-8ak \Leftrightarrow b=4}$ .

jim.jt · #5

jim.jt έγραψε:1) Από τις συντεταγμένες του σημείου παίρνουμε με αντικατάσταση ότι .

Επίσης από τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής παίρνουμε το σύστημα

$\begin{cases} -\frac{b}{2a}=2 \\ - \frac{b^2-4ac}{4a}=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} b=-4a \\ 16a^2+16a=0 \end{cases}\Rightarrow a=-1\: \kappa \alpha \iota \: b=4$

σύμφωνα με τους περιορισμούς.

Έτσι η εξίσωση γίνεται .

3) Ομοίως με το παραπάνω c=-k

και από την κορυφή έχουμε το σύστημα:

$\begin{cases} -\frac{b}{2a}=k \\ -\frac{b^2-4ac}{4a}=k \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} b=-2ac \\ b^2+4ak=-4ak \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} b=2ak \\ b^2+2b=-2b \end{cases}\Rightarrow b^2+4b=0\Leftrightarrow b=0\: \acute{\eta }\: b=4$

Όμως αφού $b=2ak \neq 0$ , b=4

.

manosk97 · #6

Η συνάρτηση είναι της μορφής $\displaystyle{f\left( x \right) = a{\left( {x - 2} \right)^2} + 2}$
$\displaystyle{\begin{gathered} \Rightarrow - 2 = a{\left( { - 2} \right)^2} + 2 \hfill \\ \Rightarrow - 4 = 4a \hfill \\ \Rightarrow a = - 1 \hfill \\ \end{gathered} }$
Ισοδύναμα παίρνουμε $\displaystyle{ \Rightarrow c = - 2}$ λόγω του σημείου $\displaystyle{L}$ και τέλος λόγω
$\displaystyle{K\left( {2,2} \right)}$ παίρνω $\displaystyle{\begin{gathered} \Rightarrow 2 = - {2^2} + 2b - 2 \hfill \\ \Rightarrow b = 4 \hfill \\ \end{gathered} }$
Ζητώ το μήκος της ΑΒ αφού το ύψος του τριγώνου είναι δεδομένο $\displaystyle{AB = \left| {{x_{_1}}} \right. - \left. {{x_{_2}}} \right|}$ οι ρίζες της $\displaystyle{\begin{gathered} f\left( x \right) = 0 \hfill \\ \Rightarrow - {x^2} + 4x - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} }$ είναι οι εξής $\displaystyle{{x_1} = 2 - \sqrt 2 }$ και $\displaystyle{\begin{gathered} \Rightarrow AB = 2 + \sqrt 2 - 2 + \sqrt 2 \hfill \\ \Rightarrow AB = 2\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} }$
$\displaystyle{ \Rightarrow {E_{abk}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{2} = 2\sqrt 2 }$
$\displaystyle{\begin{gathered} \Rightarrow {E_{abk}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{2} = 2\sqrt 2 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} }$ πιστεύω πως είναι πιο σύντομη από τις παραπάνω γι αυτό και την έγραψα

4ο Θέμα στην παραβολή

4ο Θέμα στην παραβολή

Re: 4ο Θέμα στην παραβολή

Re: 4ο Θέμα στην παραβολή

Re: 4ο Θέμα στην παραβολή

Re: 4ο Θέμα στην παραβολή

Re: 4ο Θέμα στην παραβολή

Μέλη σε σύνδεση