Επισης γιαπωνεζικο

dement · #1

Ας συνεχισω την παραδοση του Χρηστου με τα εξ Απω Ανατολης γεωμετρικα προβληματα με αυτο εδω:

Εστω τρεις κυκλοι με ακτινες r_1, r_2, r_3

, ανα δυο εξωτερικα εφαπτομενοι, με κοινη εφαπτομενη ευθεια $\epsilon$ . Τα αντιστοιχα σημεια επαφης τους με την $\epsilon$ ειναι A_1, A_2, A_3

με το

αναμεσα στα A_1, A_3

.

Να υπολογιστει η r_2

συναρτησει των r_1, r_3

.

Δημητρης

#2

γεια σας

βρήκα $r_2=\frac{r_1r_3}{(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_3})^{2}}$

θα προσπαθήσω να φτιάξω και σχήμα και θα δώσω ολοκληρωμένη απάντηση

dement · #3

Σωστα Φωτεινη !

Δημητρης

#4

: giapo.JPG (11.54 KiB) Προβλήθηκε 3470 φορές

οι γωνιες Ρ,Β,Ε,Δ,Ν,Τ ειναι ορθες

στο τριγωνο ΑΤΛ με ΠΘ --> $x=2\sqrt{r_1r_2}$
στο τριγωνο ΛΒΓ με ΠΘ --> $y=2\sqrt{r_2r_3}$

στο τριγωνο ΑΓΡ με ΠΘ και με τη βοηθεια των δυο προηγουμενων
εχουμε το $r_2=\frac{r_1r_3}{(\sqrt{r_1}+\sqrt{r_3})^2}$

k-ser · #5

Πολύ ωραία άσκηση και πολύ καλή η λύση της Φωτεινής.
Αυτό που διαπίστωσα, προσπαθώντας να κάνω το σχήμα στο Sketchpad,
είναι ότι έχει και "ζόρικη" διαδικασία κατασκευής του σχήματος....
Προσπαθήστε το. Αξίζει τον κόπο!

#6

k-ser έγραψε:Πολύ ωραία άσκηση και πολύ καλή η λύση της Φωτεινής.
Αυτό που διαπίστωσα, προσπαθώντας να κάνω το σχήμα στο Sketchpad,
είναι ότι έχει και "ζόρικη" διαδικασία κατασκευής του σχήματος....
Προσπαθήστε το. Αξίζει τον κόπο!

Πράγματι, έχει ενδιαφέρον σαν άσκηση, η κατασκευή του σχήματος όπως ορίζεται στο πρόβλημα που τέθηκε.

$\bullet$ Έστω ότι είναι δοσμένοι οι κύκλοι $(A),\ (\Gamma),$ ακτίνων $r_{1},\ r_{3}$ αντιστοίχως, με την ευθεία

ως κοινή εξωτερική εφαπτομένη τους και ζητάμε να κατασκευάσουμε τον κύκλο $(\Lambda)$ ακτίνας $r_{2},$ ώστε να εφάπτεται των κύκλων $(A),\ (\Gamma)$ και της ευθείας NE.

Επειδή το ριζικό κέντρο των τριών κύκλων κείται επί του ριζικού άξονα των κύκλων $(A),\ (\Gamma)$ που είναι η σταθερή ευθεία (x),

δια του σημείου επαφής των έστω

και κάθετης επί την $A\Gamma,$ είναι εύκολο να κατασκευάσουμε έναν κύκλο ο οποίος να εφάπτεται των δύο αυτών κύκλων ( αναφέρομαι στο σχήμα που εμφανίζεται στην όμορφη λύση της Φωτεινής πιο πάνω ).

Αρκεί να φέρουμε τις εφαπτόμενες των κύκλων $(A),\ (\Gamma),$ από τυχαίο σημείο

της ευθείας (x).

Πράγματι, αν $Y,\ Z,$ είναι τα σημεία επαφής των εφαπτομένων από το

στους κύκλους $(A),\ (\Gamma)$ αντιστοίχως, εύκολα αποδεικνύεται ότι $\Lambda Y = \Lambda Z,$ όπου $\Lambda\equiv AY\cap \Gamma Z$ , αφού RY = RX = RZ

και $\angle \Lambda YR = 90^{o} = \angle \Lambda ZR.$

Θα πρέπει όμως να είναι και $\Lambda \Delta = \Lambda Y,$ όπου $\Delta$ είναι η προβολή του $\Lambda$ επί την NE,

ώστε ο κύκλος $(\Lambda)$ να εφάπτεται ταυτόχρονα και της ευθείας NE.

$\bullet$ Από τις σχέσεις $x = 2\sqrt{r_{1}\cdot r_{2}}$ ,(1)

και $y = 2\sqrt{r_{2}\cdot r_{3}}$ ,(2)

παίρνουμε τη σχέση $\displaystyle\frac{x}{y} = \frac{\Delta N}{\Delta E} = \frac{\sqrt{r_{1}}}{\sqrt{r_{3}}}$ ,(3)

από την οποία συμπεραίνουμε ότι το $\Delta,$ είναι σταθερό σημείο μεταξύ των $N,\ E$ και αν μπορεί να προσδιοριστεί γεωμετρικά, το πρόβλημα θα έχει λυθεί.

Θα βάλλω αργότερα τις λεπτομέρειες για την κατασκευή του σημείου $\Delta$ μεταξύ των $N,\ E,$ έτσι ώστε να ισχύει η (3).

Κώστας Βήττας.

k-ser · #7

Δίνω μια αναλυτική περιγραφή της κατασκευής, με επιμέρους - χρήσιμες, ίσως, κατασκευές.

Κώστα, δεν κατάλαβα αν με την προσέγγισή σου μπορούμε να έχουμε τη ζητούμενη κατασκευή.
Ακόμα και να βρούμε το Δ, το οποίο κατασκευάζεται εύκολα, με τον τρόπο που περιγράφω στην πρώτη μου κατασκευή, πως θα προχωρήσουμε;

Φιλικά

3 κύκλων.pdf: (172.29 KiB) Μεταφορτώθηκε 179 φορές

#8

Κώστα, όπως και εσύ αναφέρεις, αν προσδιοριστεί το σημείο $\Delta$ μεταξύ των $N,\ E,$ έτσι ώστε να ισχύει $\displaystyle\frac{\Delta N}{\Delta E} = \frac{\sqrt{r_{1}}}{\sqrt{r_{3}}}$ ,(3)

όπου $r_{1},\ r_{3}$ είναι αντιστοίχως οι ακτίνες των κύκλων $(A),\ (\Gamma),$ θεωρουμένων ως δοσμένων, είναι κατασκευάσιμος ο ζητούμενος κύκλος $(\Lambda)$ , εφαπτόμενος των $(A),\ (\Gamma),$ και ταυτόχρονα της ευθείας NE,

αφού έχει βρεθεί η ακτίνα του $\displaystyle r_{2} = \frac{r_{1}\cdot r_{3}}{(\sqrt{r_{1}} + \sqrt{r_{3}})^{2}}$ ,(4)

Προσπάθησα για μία απλούστερη κατασκευή του κύκλου $(\Lambda),$ χωρίς να είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί η ακτίνα του ( χρησιμοποιώ όπως και προηγουμένως, την ίδια ονοματολογία που εμφανίζεται στο σχήμα της Φωτεινής πιο πάνω ), βασιζόμενος στο παρακάτω Λήμμα :

ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται κύκλος εφαπτόμενος δοσμένης ευθείας $(\epsilon)$ στο σημείο έστω και έστω $\Delta$ τυχαίο σημείο της $(\epsilon).$ Ζητείται να κατασκευαστεί κύκλος $(\Lambda)$ εφαπτόμενος του και της ευθείας $(\epsilon)$ στο $\Delta.$

Η κατασκευή του ως άνω κύκλου $(\Lambda)$ είναι απλή ( σχήμα f=22_t=330(a) ), όπως και η απόδειξη.

Γράφουμε τον κύκλο με διάμετρο το σταθερό τμήμα $N\Delta,$ ο οποίος τέμνει τον (A)

στο σημείο έστω

Η ευθεία

τέμνει την κάθετη ευθεία επί την $(\epsilon)$ δια του $\Delta$ , στο σημείο έστω $\Lambda,$ που είναι το κέντρο του ζητούμενου κύκλου και αξίζει να σημειωθεί ότι ο κύκλος αυτός είναι μοναδικός. Δηλαδή δεν υπάρχει άλλος κύκλος που να εφάπτεται του (A)

και της ευθείας $(\epsilon)$ στο σημείο $\Delta$ αυτής.

$\bullet$ Στο πρόβλημά μας τώρα, ο κύκλος που εφάπτεται των $(A),\ (\Gamma)$ και ταυτόχρονα της ευθείας $(\epsilon)\equiv NE$ στο σημείο $\Delta$ αυτής και για το οποίο αληθεύει η (3),

είναι σύφωνα με τα προηγούμενα, μοναδικός σε σχέση με τον κύκλο (A),

αλλά και σε σχέση με τον $(\Gamma).$

Αν λοιπόν, κατασκευάσουμε τον κύκλο που εφάπτεται στον (A)

και στην ευθεία

στο $\Delta$ , αυτός ο κύκλος θα εφάπτεται επίσης και στον κυκλο $(\Gamma)$ και ο ισχυρισμός αυτός τεκμηριώνεται εύκολα, με την απαγωγή σε άτοπο.

$\bullet$ Ας δούμε τώρα μία άλλη προσέγγιση, για την κατασκευή του σημείου $\Delta$ μεταξύ των $N,\ E,$ ώστε να ισχύει η (3)

( σχήμα f=22_t=330(b) ).

(1) - Ορίζουμε το σημείο

μεταξύ των $N,\ E,$ ώστε να είναι $\displaystyle\frac{FN}{FE} = \frac{r_{1}}{r_{3}}$ και γράφουμε τυχαίο κύκλο (K),

χορδής

στο σχήμα το κέντρο

του κύκλου (K)

ανήκει στην ευθεία $A \Gamma$ , αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο

.

(2) - Οι εφαπτόμενες του κύκλου (K),

στα σημεία $N,\ E,$ τέμνονται στο σημείο έστω

επί της μεσοκάθετης του NE.

(3) - Φέρνουμε την ευθεία SF,

η οποία τέμνει τον κύκλο (K),

στο σημείο έστω

προς το άλλο μέρος της ευθείας NE,

ως προς το σημείο

(4) - Είναι γνωστό ότι η ευθεία QFS,

είναι η συμμετροδίαμεσος του τριγώνου $\bigtriangleup QNE,$ που αντιστοιχεί στην κορυφή

και άρα έχουμε $\displaystyle\frac{(QN)^{2}}{(QE)^{2}} = \frac{FN}{FE}$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle\frac{(QN)^{2}}{(QE)^{2}} = \frac{r_{1}}{r_{3}}$ ,(5)

(5) - Η διχοτόμος της γωνίας $\angle Q$ του $\bigtriangleup QNE,$ τέμνει την πλευρά του NE,

στο σημείο έστω $\Delta,$ το οποίο εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι το ζητούμενο, αφού $\displaystyle\frac{\Delta N}{\Delta E} = \frac{QN}{QE}$ και άρα λόγω της (5),

ισχύει $\displaystyle\frac{\Delta N}{\Delta E} = \frac{\sqrt{r_{1}}}{\sqrt{r_{3}}}.$

Κώστας Βήττας.

#9

vittasko έγραψε:ΛΗΜΜΑ. - Δίνεται κύκλος εφαπτόμενος δοσμένης ευθείας $(\epsilon)$ στο σημείο έστω και έστω $\Delta$ τυχαίο σημείο της $(\epsilon).$ Ζητείται να κατασκευαστεί κύκλος εφαπτόμενος του και της ευθείας $(\epsilon)$ στο $\Delta.$

$\bullet$ Έστω $(\Lambda)$ ο ζητούμενος κύκλος και ότι έχει κατασκευαστεί εφαπτόμενος του δοσμένου κύκλου (A)

στο σημείο

και της ευθείας $(\epsilon),$ στο σημείο $\Delta$ αυτής.

Η διάκεντρος $A\Lambda$ των κύκλων $(A),\ (\Lambda),$ περνάει ως γνωστό, από το σημείο

και έστω

το σημείο τομής της ευθείας $(\epsilon),$ από την κάθετη ευθεία στη διάκεντρο $A\Lambda,$ δια του σημείου

( = Ριζικός άξονας των κύκλων (A)

και $(\Lambda)$ ).

Από $KN = KY = K\Delta,$ συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο $\triangle YN\Delta$ είναι ορθογώνιο, με $\angle NY\Delta = 90^{o}$ και άρα το σημείο

ανήκει στον κυκλο (K)

με διάμετρο το σταθερό τμήμα $N\Delta$ και επομένως μπορεί εύκολα να κατσκευαστεί, ως το δεύτερο ( εκτός του

) σημείο τομής των δύο γνωστών κύκλων (A)

και

$\bullet$ Επειδή το σημείο $Y\equiv (A)\cap (K)$ ύπάρχει πάντοτε και είναι μοναδικό, το πρόβλημα έχει ως μοναδική λύση τον κύκλο $(\Lambda),$ που αντιστοιχεί στο τυχαίο σημείο $\Delta$ επί της ευθείας $(\epsilon).$

Κώστας Βήττας.

Επισης γιαπωνεζικο

Επισης γιαπωνεζικο

Re: Επισης γιαπωνεζικο

Re: Επισης γιαπωνεζικο

Re: Επισης γιαπωνεζικο

Re: Επισης γιαπωνεζικο

Re: Επισης γιαπωνεζικο

Re: Επισης γιαπωνεζικο

Re: Επισης γιαπωνεζικο

Re: Επισης γιαπωνεζικο

Μέλη σε σύνδεση