βρείτε τα τελευταία ψηφία!

algal · #1

Να βρείτε τα τελευταία έξι ψηφία του αριθμου

, γνωρίζοντας ότι ο κύβος του λήγει σε 777.777

.

#2

Για τα τρία τελευταία ψηφία χρειαζόμαστε διαδοχικά -- παρατηρώντας ότι το τελευταίο ψηφίο είναι το

-- τις

$((10x+y)\cdot 10+3)^3=......777,$

$3\cdot 3\cdot 3\cdot (10x+y)^2\cdot 10^2+3\cdot 3^2\cdot (10x+y)\cdot 10+27=......777,$

90(100x^2+20xy+y^2)+27(10x+y)=......75,

Η τελευταία σχέση μετασχηματίζεται, λόγω της προκύπτουσας y=5

, στην

άρα

.

Πράγματι, βρίσκουμε (με το χέρι) ότι 753^2=567009

και

Αναζητούμε τώρα τα επόμενα τρία ψηφία μέσω των

$((100p+10q+r)\cdot 10^3+753)^3=......777777,$

$3\cdot (100p+10q+r)\cdot 10^3\cdot 753^2+753^3=......777777,$

1701027(10^5p+10^4q+10^3r)+426957777=......777777.

Λόγω του 'τέταρτου'

στο αριστερό σκέλος γίνεται φανερό ότι r=0

, οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται

1701027(10^5p+10^4q)+426957777=......777777,

από την οποία προκύπτει αρχικά η q=6

(καθώς οφείλει να ισχύει η 7q+5=10q'+7

), και ακολούθως, λόγω της προκύπτουσας

170102700000p+102488577777=......777777,

η

(καθώς οφείλει να ισχύει η 7p+5=10p'+7

).

Είναι λοιπόν τα τελευταία έξι ψηφία τα 660753

.

Γιώργος Μπαλόγλου

βρείτε τα τελευταία ψηφία!

βρείτε τα τελευταία ψηφία!

Re: βρείτε τα τελευταία ψηφία!

Μέλη σε σύνδεση