Γενικευμένο Θεώρημα Διχοτόμων

#1

Η άσκηση αυτή προέκυψε από τη συζήτηση εδώ και τη χρήση της στην απόδειξη της τριγωνομετρικής μορφής του θεωρήματος Ceva που ζήτησε ο Γιώργος Ρίζος. Είναι αρκετά χρήσιμο λήμμα για όσους ασχολούνται με διαγωνισμούς και την παραθέτω παρακάτω.

Αν ABC

τυχαίο τρίγωνο και

ένα σημείο πάνω στην πλευρά

(εσωτερικά ή εξωτερικά), να δείξετε ότι:

$\displaystyle\frac{BK}{KC} =\displaystyle\frac{BA\sin{\widehat{BAK}}}{CA\sin{\widehat{CAK}}}.$

Αλέξανδρος

#2

cretanman έγραψε:Η άσκηση αυτή προέκυψε από τη συζήτηση εδώ και τη χρήση της στην απόδειξη της τριγωνομετρικής μορφής του θεωρήματος Ceva που ζήτησε ο Γιώργος Ρίζος. Είναι αρκετά χρήσιμο λήμμα για όσους ασχολούνται με διαγωνισμούς και την παραθέτω παρακάτω.

Αν τυχαίο τρίγωνο και ένα σημείο πάνω στην πλευρά (εσωτερικά ή εξωτερικά), να δείξετε ότι:

$\displaystyle\frac{BK}{KC} =\displaystyle\frac{BA\sin{\widehat{BAK}}}{CA\sin{\widehat{CAK}}}.$

Αλέξανδρος

Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο για την προθυμία του να απαντήσει άμεσα στο ερώτημά μου!
Αν κάποτε διδαχθεί η τριγ. μορφή του Ceva με απόδειξη με Ν. Ημιτόνων, θα παρακαλούσα να ονομαστεί Θεώρημα CevRizo... (Σε βρίζω: αυτό που θα κάνουν οι μαθητές...)

Μια απόδειξη στο Λήμμα του Αλέξανδρου:

: Lhmma.png (4.11 KiB) Προβλήθηκε 2731 φορές

Για Κ εσωτερικό της ΒC

Από Ν. Ημιτόνων στο ΑΒΚ είναι $\displaystyle \frac{{{\rm B}{\rm K}}}{{\eta \mu \left( {BAK} \right)}} = \frac{{{\rm B}{\rm A}}}{{\eta \mu {\rm K}_1 }}$

και στο AΚC είναι $\displaystyle \frac{{{\rm K}C}}{{\eta \mu \left( {CAK} \right)}} = \frac{{C{\rm A}}}{{\eta \mu {\rm K}_2 }}$ αντίστοιχα.
Επειδή $\displaystyle \widehat{K_1} + \widehat{K_2 } = 180^\circ \;\; \Rightarrow \;\;\eta \mu {\rm K}_1 = \eta \mu {\rm K}_2$ ,
οπότε: $\displaystyle \frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{BA\;\eta \mu \left( {BAK} \right)}}{{CA\;\eta \mu \left( {CAK} \right)}}$

Για L εξωτερικό της BC (στην προέκταση της BC)

Από Ν. Ημιτόνων
στο ΑΒL είναι $\displaystyle \frac{{{\rm B}L}}{{\eta \mu \left( {BAL} \right)}} = \frac{{{\rm B}{\rm A}}}{{\eta \mu L_1 }}$

και στο ALC είναι $\displaystyle \frac{{LC}}{{\eta \mu \left( {CAL} \right)}} = \frac{{C{\rm A}}}{{\eta \mu L_1 }}$
αντίστοιχα,
οπότε: $\displaystyle \frac{{BL}}{{LC}} = \frac{{BA\;\eta \mu \left( {BAL} \right)}}{{CA\;\eta \mu \left( {CAL} \right)}}$

Το ίδιο για L εξωτερικό της BC (στην προέκταση της CΒ)

Γιώργος Ρίζος

dimitris pap · #3

Μια άλλη απόδειξη είναι η εξής (με εμβαδά):
$\displaystyle\frac{BK}{KC}=\frac{(ABK)}{(ACK)}=\frac{1/2\cdot AB\cdot AK\cdot\sin{(BAK)}}{1/2\cdot AC\cdot AK\cdot\sin{(CAK)}}=...$

#4

dimitris pap έγραψε:Μια άλλη απόδειξη είναι η εξής (με εμβαδά):
$\displaystyle\frac{BK}{KC}=\frac{(ABK)}{(ACK)}=\frac{1/2\cdot AB\cdot AK\cdot\sin{(BAK)}}{1/2\cdot AC\cdot AK\cdot\sin{(CAK)}}=...$

Ο συντομότατος δρόμος που ακολούθησε ο Δημήτρης μου δίνει την αφορμή για μια αναφορά στην "οριζόντια" γραμμή που συνδέει το Θεώρημα των Διχοτόμων με το Νόμο Ημιτόνων και το θεώρημα σύγκρισης εμβαδών τριγώνων με δύο γωνίες ίσες ή παραπληρωματικές.

Τέτοια θέματα νομίζω ότι έχει διδακτικό ενδιαφέρον να δίνονται ως ερευνητικές εργασίες στους μαθητές (που ενδιαφέρονται...).

Στο σχολικό βιβλίο η απόδειξη των θεωρημάτων Διχοτόμου γινόταν και γίνεται (σωστά βεβαίως) με τη βοήθεια του Θεωρήματος του Θαλή.
Παρακάτω δίνονται δύο αποδείξεις με το θεώρημα σύγκρισης εμβαδών τριγώνων με δύο γωνίες ίσες ή παραπληρωματικές και με το Νόμο Ημιτόνων.

: Dihotomos.png (2.73 KiB) Προβλήθηκε 2646 φορές

Απόδειξη Θεωρήματος Εσωτερικής και Εξωτερικής Διχοτόμου
(με χρήση θεωρημάτων στα εμβαδά τριγώνου)

Έστω ΑΔ η εσωτερική και ΑΕ η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle \widehat{\rm A}$
αντίστοιχα σε τρίγωνο ΑΒΓ.
Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουν $\displaystyle \widehat A_1 = \widehat A_2$ , οπότε $\displaystyle \frac{{\left( {AB\Delta } \right)}}{{\left( {{\rm A}\Gamma \Delta } \right)}} = \frac{{{\rm A}{\rm B} \cdot {\rm A}\Delta }}{{{\rm A}\Gamma \cdot {\rm A}\Delta }}$ (1).
Επίσης έχουν $\displaystyle \widehat\Delta _1 + \widehat\Delta _2 = 180^\circ$ , οπότε $\displaystyle \frac{{\left( {AB\Delta } \right)}}{{\left( {{\rm A}\Gamma \Delta } \right)}} = \frac{{{\rm B}\Delta \cdot {\rm A}\Delta }}{{\Gamma \Delta \cdot {\rm A}\Delta }}$ (2).
Από, από (1) και (2) είναι $\displaystyle \frac{{{\rm B}\Delta }}{{\Delta \Gamma }} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Gamma }}$ Θεώρημα Εσωτερικής Διχοτόμου.

Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΕ έχουν $\displaystyle \widehat{{\rm B}{\rm A}{\rm E}} + \widehat{\Gamma {\rm A}{\rm E}} = \left( {\widehat{\rm A}_1 + \widehat{\rm A}_2 + \widehat{\rm A}_3 } \right) + \widehat{\rm A}_4 = 180^\circ$ , οπότε $\displaystyle \frac{{\left( {AB{\rm E}} \right)}}{{\left( {{\rm A}\Gamma {\rm E}} \right)}} = \frac{{{\rm A}{\rm B} \cdot {\rm A}{\rm E}}}{{{\rm A}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm E}}}$ .
Επίσης έχουν κοινή την $\displaystyle \widehat{\rm E}_1$ , οπότε $\displaystyle \frac{{\left( {AB{\rm E}} \right)}}{{\left( {{\rm A}\Gamma {\rm E}} \right)}} = \frac{{{\rm B}{\rm E} \cdot {\rm A}{\rm E}}}{{\Gamma {\rm E} \cdot {\rm A}{\rm E}}}$ (2).
Από, από (1) και (2) είναι $\displaystyle \frac{{{\rm B}{\rm E}}}{{{\rm E}\Gamma }} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Gamma }}$ Θεώρημα Εξωτερικής Διχοτόμου.

Απόδειξη Θεωρήματος Εσωτερικής και Εξωτερικής Διχοτόμου
(με χρήση νόμου Ημιτόνων)

Από Ν. Ημιτόνων στο ΑΒΔ είναι: $\displaystyle \frac{{{\rm B}\Delta }}{{\eta \mu {\rm A}_1 }} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\eta \mu \Delta _1 }}$ (1) και στο ΑΓΔ είναι $\displaystyle \frac{{\Delta \Gamma }}{{\eta \mu {\rm A}_2 }} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\eta \mu \Delta _2 }}$ (2)

Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουν $\displaystyle \widehat A_1 = \widehat A_2$
και $\displaystyle \widehat\Delta _1 + \widehat\Delta _2 = 180^\circ$ , οπότε $\displaystyle \eta \mu {\rm A}_1 = \eta \mu {\rm A}_2 \;\;\kappa \alpha \iota \;\;\eta \mu \Delta _1 = \eta \mu \Delta _2$

Από, από (1) και (2) είναι $\displaystyle \frac{{{\rm B}\Delta }}{{\Delta \Gamma }} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Gamma }}$ Θεώρημα Εσωτερικής Διχοτόμου.

Από Ν. Ημιτόνων στο ΑΒΕ είναι: $\displaystyle \frac{{{\rm B}\Delta }}{{\eta \mu \left( {{\rm B}{\rm A}{\rm E}} \right)}} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\eta \mu {\rm E}_1 }}$ (1) και στο ΑΓΕ είναι $\displaystyle \frac{{{\rm E}\Gamma }}{{\eta \mu {\rm A}_3 }} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\eta \mu {\rm E}_1 }}$ (2)
Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΕ έχουν $\displaystyle \widehat{{\rm B}A{\rm E}} + \widehat A_3 = 180^\circ$
και κοινή την $\displaystyle \widehat{\rm E}_1$ , οπότε $\displaystyle \eta \mu \left( {{\rm B}{\rm A}{\rm E}} \right) = \eta \mu {\rm A}_3$

Από, από (1) και (2) είναι $\displaystyle \frac{{{\rm B}{\rm E}}}{{{\rm E}\Gamma }} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Gamma }}$ Θεώρημα Εξωτερικής Διχοτόμου.

Επίσης, το Θεώρημα σύγκρισης Εμβαδών τριγώνων με δύο γωνίες ίσες ή παραπληρωματικές αποδεικνύεται (και) με τη χρήση Ν. Ημιτόνων. (Στο τελευταίο σχολικό βιβλίο δίνεται αυτή η απόδειξη, ενώ στα δύο προηγούμενα δινόταν άλλες αποδείξεις).

Γιώργος Ρίζος

Γενικευμένο Θεώρημα Διχοτόμων

Γενικευμένο Θεώρημα Διχοτόμων

Re: Γενικευμένο Θεώρημα Διχοτόμων

Re: Γενικευμένο Θεώρημα Διχοτόμων

Re: Γενικευμένο Θεώρημα Διχοτόμων

Μέλη σε σύνδεση