Μιγαδική συνάρτηση f...

S.E.Louridas · #1

Πρόβλημα μιγαδικής συνάρτησης (Σημαντικό):

Θεωρούμε μιγαδική συνάρτηση f πραγματικής μεταβλητής, με την ιδιότητα να είναι κατά τμήματα συνεχής πάνω σε φραγμένο διάστημα και επίσης περιοδική με περίοδο 2π . Θεωρούμε επίσης την σειρά Fourier της συνάρτησης f , $\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {c_n e^{inx} } .$
Θέτοντας $f_m \left( x \right) = \sum\limits_{n = - m}^{ + m} {c_n e^{inx} } ,\forall m \in \mathbb{N},\tau o\tau \varepsilon$ :
Α) Να αποδειχθεί ότι :
$\frac{1} {{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right)} \right|^2 dx - \sum\limits_{n = - m}^m{\left| {c_n } \right|^2 } = \frac{1} {{2\pi }}} \int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right) - f_m \left( x \right)} \right|^2 dx} ,\forall m \in \mathbb{N}.$
Β) Να αποδειχθεί
$\sum\limits_{n = -m}^m {\left| {c_n } \right|^2 } \leqslant \frac{1} {{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right)} \right|^2 dx} ,\forall m \in \mathbb{Z}.$

Υ.Γ. Η σημαντικότητα του προβλήματος απορρέει από το γεγονός ότι μία απόδειξη της ανισότητας του Bessel πραγματοποιείται άν το χρησιμοποιήσουμε σαν λήμμα.

S.E.Louridas

#2

S.E.Louridas έγραψε:Πρόβλημα μιγαδικής συνάρτησης (Σημαντικό):

Θεωρούμε μιγαδική συνάρτηση f πραγματικής μεταβλητής, με την ιδιότητα να είναι κατά τμήματα συνεχής πάνω σε φραγμένο διάστημα και επίσης περιοδική με περίοδο 2π . Θεωρούμε επίσης την σειρά Fourier της συνάρτησης f , $\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {c_n e^{inx} } .$
Θέτοντας $f_m \left( x \right) = \sum\limits_{n = - m}^{ + m} {c_n e^{inx} } ,\forall m \in \mathbb{N},\tau o\tau \varepsilon$ :
Α) Να αποδειχθεί ότι :
$\frac{1} {{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right)} \right|^2 dx - \sum\limits_{n = - m}^{ + \infty } {\left| {c_m } \right|^2 } = \frac{1} {{2\pi }}} \int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right) - f_m \left( x \right)} \right|^2 dx} ,\forall m \in \mathbb{N}.$
Β) Να αποδειχθεί
$\sum\limits_{n = 0}^m {\left| {c_n } \right|^2 } \leqslant \frac{1} {{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right)} \right|^2 dx} ,\forall m \in \mathbb{Z}.$

Υ.Γ. Η σημαντικότητα του προβλήματος απορρέει από το γεγονός ότι μία απόδειξη της ανισότητας του Bessel πραγματοποιείται άν το χρησιμοποιήσουμε σαν λήμμα.

S.E.Louridas

Σωτήρη το επικροτώ: οι ταυτότητες αυτές (τύπου Parceval) είναι πολύ σημαντικές. Ισχύουν γενικότερα σε οποιoδήποτε ορθοκανονικό σύστημα σε χώρους Hilbert.

(προσοχή σε ένα τυπογραφικό λάθος: στα Α) και Β) τα αθροίσματα να αλλάξουν (και τα δύο) σε $\sum\limits_{n = - m}^{m } {\left| {c_m } \right|^2 }$ .

Φιλικά,

Μιχάλης.

S.E.Louridas · #3

Δυστυχώς ο δαίμων του τυπογραφείου έμαθε computer.

Μιχάλη ,σε ευχαριστώ ειλικρινά.
Θα ακολουθήσουν σύντομα οι αποδείξεις .

Σωτήρης

S.E.Louridas · #4

Oι αποδείξεις.

Υπενθυμίζουμε ότι:
Στην περίπτωση που θεωρήσουμε Μιγαδική Συνάρτηση f που είναι ορισμένη επί του R,συνεχής κατά τμήματα σε φραγμένο διάστημα του R, περιοδική με περίοδο 2π, τότε θεωρούμε σειρά Fourier της f, την σειρά
$c_0 + c_1 e^{ix} + c_{ - 1} e^{ix} + ... + c_n e^{inx} + c_{ - n} e^{ - inx} + ...,\mu \varepsilon ,c_n = \frac{1} {{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {f\left( x \right)} e^{ - inx} dx,\left( {\forall n \in \mathbb{Z}} \right).$
Οι c_n

είναι οι συντελεστές του Fourier της f .
Απόδειξη :
Α) Έχουμε ότι:
$\frac{1} {{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right) - f_m \left( x \right)} \right|^2 } dx = ... = \frac{1} {{2\pi }}\left[ {\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right)} \right|^2 } dx - \int\limits_0^{2\pi } {f\left( x \right) \cdot \overline {f_m \left( x \right)} dx} - \int\limits_0^{2\pi } {f_m \left( x \right) \cdot \overline {f\left( x \right)} dx} + \int\limits_0^{2\pi } {\left| {f_m \left( x \right)} \right|^2 dx} } \right],$
Με
$f_m \left( x \right) = \sum\limits_{n = - m}^m {c_n e^{inx} } \Rightarrow \frac{1} {{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {f\left( x \right)\overline {f_m \left( x \right)} dx} = \frac{1} {{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {f\left( x \right)\left( {\sum\limits_{n = - m}^m {\overline {c_n } e^{ - inx} } } \right)dx = } \sum\limits_{n = - m}^m {\left| {c_n } \right|} ^2 .$
Αν εργαστούμε κατά τον ίδιο τρόπο παίρνουμε ότι:
$\frac{1} {{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\overline {f\left( x \right)} f_m \left( x \right)dx = } \frac{1} {{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f_m \left( x \right)} \right|^2 dx = } \sum\limits_{n = - m}^m {\left| {c_n } \right|} ^2 \Rightarrow$
$\frac{1} {{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right) - f_m \left( x \right)} \right|^2 dx} = ... = \frac{1} {{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right)} \right|^2 dx} - \sum\limits_{n = - m}^m {\left| {c_n } \right|} ^2 .$

Β) Άμεση συνέπια του προηγούμενου συμπεράσματος.

Παρατήρηση :
Η ακολουθία
$\sum\limits_{n = - m}^m {\left| {c_n } \right|} ^2 ,m \in \mathbb{Z},$ είναι αύξουσα και φραγμένη άνω .Αυτό σημαίνει ότι συγκλίνει με όριο μικρότερο ή ίσο του άνω φράγματος
$\frac{1} {{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right)} \right|^2 dx} ,$
που σημαίνει ότι η οικογένεια
$\left| {c_n } \right|^2 ,n \in \mathbb{Z},$ είναι αθροίσιμη .Ισχύει δε ότι :
$\sum\limits_{n = - m}^m {\left| {c_n } \right|} ^2 \leqslant \frac{1} {{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\left| {f\left( x \right)} \right|} ^2 dx,m \to \infty ,$ που είναι η ανισότητα του Bessel .

S.E.Louridas

Μιγαδική συνάρτηση f...

Μιγαδική συνάρτηση f...

Re: Μιγαδική συνάρτηση f...

Re: Μιγαδική συνάρτηση f...

Re: Μιγαδική συνάρτηση f...

Μέλη σε σύνδεση