Καπέλα 1

[Demetres]

Τρεις φυλακισμένοι βρίσκονται σε ίδιο κελί. Θα τοποθετήσουμε στο κεφάλι κάθε ενός από αυτός ένα καπέλο είτε μάυρο είτε άσπρο. Η επιλογή θα γίνει τυχαία με την ρίψη ενός νομίσματος. Οι φυλακισμένοι μπορούν να δουν τι χρώμα καπέλο τοποθετήσαμε στους άλλους δύο αλλά όχι το χρώμα του δικού τους καπέλου. Έπειτα θα τους δώσουμε από ένα χαρτί στο οποίο θα γράψουν ταυτόχρονα και χωρίς απολύτως καμία συνεννόηση είτε άσπρο είτε μάυρο είτε θα το αφήσουν άδειο. Για να κερδίσουν και να απελευθερωθούν (αν χάσουν θα εκτελεστούν) θα πρέπει τουλάχιστον ένας από αυτούς να γράψει κάτι (να μην αφήσουν όλοι άδεια τα χαρτιά τους) και επιπλέον όσοι από αυτούς γράψουν κάτι θα πρέπει να είναι το χρώμα του καπέλου τους. Οι φυλακισμένοι γνωρίζουν πλήρως τους κανόνες του παιχνιδιού και έχουν την τελευταία νύχτα να συννενοηθούν για την στρατηγική που θα ακολουθήσουν. Ένας από αυτούς λέει.

-Λοιπόν παιδιά. Εσείς οι δύο θα αφήσετε άδεια τα χαρτιά σας και εγώ θα γράψω άσπρο. Έτσι έχουμε 50% πιθανότητα να σωθούμε. Σίγουρα δεν μπορούμε να πετύχουμε τίποτα καλύτερο.

Έχει δίκιο ή μήπως μπορούν να πετύχουν κάτι καλύτερο;

[Στέλιος Μαρίνης]

Καλησπέρα
Αυξάνουν σημαντικά τις πιθανότητες σωτηρίας αν ο πρώτος αφήσει κάτω το μολύβι εφόσον δει π.χ. διαφορτεικά χρώματα στους δύο άλλους. Στην περίπτωση αυτοί οι δύο άλλου ξέρουν το χρώμα των καπέλων τους. Υπάρχει καλύερη επιλογή; Σε αντίθετη περίπτωση γράφει το χρώμα που δε φοράνε οι άλλοι δύο για δικό του, χωρίς να βελτιώνει το 50% βέβαια.

[Demetres]

Καλησπέρα
αν ο πρώτος αφήσει κάτω το μολύβι εφόσον

Όχι, αυτό είναι κλεψιά! Αν προτιμάς, αντί να αφήσει το χαρτάκι άδειο πρέπει να γράψει πάσο. Αν οι φρουροί καταλάβουν οποιαδήποτε άλλα νοήματα οι φυλακισμένοι εκτελούνται πάραυτα.

[fmak65]

Να συνενοηθουν να γραψει στο χαρτι του μονο αυτος που βλεπει δυο ιδιου χρωματος καπελα οτι εχει το αλλο χρωμα. Δηλαδη αυτος που βλεπει π.χ. 2 ασπρα καπελα θα γραψει οτι εχει μαυρο καπελο ή το αντιθετο. Ετσι η πιθανοτητα να εχει και αυτος ασπρο καπελο ειναι (1/2)^3 = 12.5% πιθανοτητα να χασει , ενω εχει 87,5% πιθανοτητα να κερδισει αφου θα εχει μαυρο καπελο.

[fmak65]

συμπληρωση
σε περιπτωση που δει και αλλο να γραφει θα γραψει το χρωμα που βλεπει και απελευθερονονται συγουρα.

[Silver]

H σκέψη σου είναι σωστή (ως προς το πρώτο μήνυμα που έστειλες γιατί το δεύτερο δε μπορεί να ισχύει διότι γράφουν και οι τρεις ταυτόχρονα) αλλά έχεις ένα λάθος στην πιθανότητα.Η πιθανότητα σωτηρίας είναι 75% και αυτό διότι οι πιθανοί συνδιασμοί είναι (Α=άσπρο και Μ=μαύρο) :

Α-Α-Α
Μ-Α-Α
Α-Μ-Α
Α-Α-Μ
Α-Μ-Μ
Μ-Α-Μ
Μ-Μ-Α
Μ-Μ-Μ

Λοιπόν η στρατηγική που θα ακολουθήσουν είναι οτι αν κάποιος δει 2 καπέλα ίδιου χρώματος τότε θα γράψει στο χαρτί του το χρώμα του άλλου καπέλου και με τον τρόπο αυτό έχουν 6/8 πιθανότητα να σωθούν, δηλαδή 75%.

[fmak65]

Σωστα ως προς την πιθανοτητα , αλλα στο δευτερο μηνυμα εννοω οτι αν αρχισει να γραφει ο ενας και δει και αλλον αν γραφει τοτε να αλλαξει το χρωμα. Αν αυτο θεωρειται λαθος και χανουν σιγουρα το κεφαλι τους αφου ξερουν τους κανονες προφανως και δεν θα το κανουν και θα περιορισουν τις πιθανοτητες σε 75%.

[Silver]

συμπληρωση
σε περιπτωση που δει και αλλο να γραφει θα γραψει το χρωμα που βλεπει και απελευθερονονται συγουρα.

Ναι όμως και στην περίπτωση που ισχύει αυτό θα έχουν χάσει πάλι...

Έστω ότι έχουν και οι 3 άσπρα...
Ο πρώτος που θα γράψει (συμφωνα με την στρατηγική) θα γράψει μαύρο και ο δεύτερος βλέποντάς τον να γράφει και αυτός θα γράψει άσπρο...άρα πάλι χάσαν γιατί ο ένας το έκανε λάθος...

[Demetres]

Η δεύτερη λύση του fmak65 απαγορεύεται. Έχουμε λοιπόν αυξήσει την πιθανότητα επιτυχίας στο 75%. Μήπως μπορούμε και καλύτερα; Αν όχι γιατι;

[Στέλιος Μαρίνης]

H σκέψη σου είναι σωστή (ως προς το πρώτο μήνυμα που έστειλες γιατί το δεύτερο δε μπορεί να ισχύει διότι γράφουν και οι τρεις ταυτόχρονα) αλλά έχεις ένα λάθος στην πιθανότητα.Η πιθανότητα σωτηρίας είναι 75% και αυτό διότι οι πιθανοί συνδιασμοί είναι (Α=άσπρο και Μ=μαύρο) :

Α-Α-Α
Μ-Α-Α
Α-Μ-Α
Α-Α-Μ
Α-Μ-Μ
Μ-Α-Μ
Μ-Μ-Α
Μ-Μ-Μ

Λοιπόν η στρατηγική που θα ακολουθήσουν είναι οτι αν κάποιος δει 2 καπέλα ίδιου χρώματος τότε θα γράψει στο χαρτί του το χρώμα του άλλου καπέλου και με τον τρόπο αυτό έχουν 6/8 πιθανότητα να σωθούν, δηλαδή 75%.

Χαιρετώ διαφωνώντας
ΑΠό τη στιγμή που τα ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα η πιθανότητα να φοράει κάποιος π.χ. Α όταν οι άλλοι δύο φορούν Μ εξακολουθεί να είναι 50%

[Silver]

Στις 6 από τις 8 περιπτώσεις κερδίζουν Στέλιο...η πιθανότητα δεν είναι 50% αλλά 75%..
Αν ο συνδιασμός που θα τύχει είναι Α-Α-Μ κερδίζουν...
Αν ο συνδιασμός που θα τύχει είναι Α-Μ-Α κερδίζουν...
Αν ο συνδιασμός που θα τύχει είναι Μ-Α-Α κερδίζουν...
Αν ο συνδιασμός που θα τύχει είναι Α-Μ-Μ κερδίζουν...
Αν ο συνδιασμός που θα τύχει είναι Μ-Α-Μ κερδίζουν...
Αν ο συνδιασμός που θα τύχει είναι Μ-Μ-Α κερδίζουν...
και
Αν ο συνδιασμός που θα τύχει είναι Α-Α-Α χανουν...
Αν ο συνδιασμός που θα τύχει είναι Μ-Μ-Μ χάνουν...

Ο δειγματικός χώρος περιλαμβάνει 8 ενδεχόμενα και στα 6 από αυτά κερδίζουν...
Στα υπόλοιπα 2 χάνουν σίγουρα...Άρα η πιθανότητα είναι 75%...
Δε νομίζω πως υπάρχει κάποια άλλη στρατιγική που να καλύπτει και τις περιπτώσεις Α-Α-Α και Μ-Μ-Μ...

[Στέλιος Μαρίνης]

Στις 6 από τις 8 περιπτώσεις κερδίζουν Στέλιο...η πιθανότητα δεν είναι 50% αλλά 75%..
Αν ο συνδιασμός που θα τύχει είναι Α-Α-Μ κερδίζουν...
Αν ο συνδιασμός που θα τύχει είναι Α-Μ-Α κερδίζουν...
Αν ο συνδιασμός που θα τύχει είναι Μ-Α-Α κερδίζουν...
Αν ο συνδιασμός που θα τύχει είναι Α-Μ-Μ κερδίζουν...
Αν ο συνδιασμός που θα τύχει είναι Μ-Α-Μ κερδίζουν...
Αν ο συνδιασμός που θα τύχει είναι Μ-Μ-Α κερδίζουν...
και
Αν ο συνδιασμός που θα τύχει είναι Α-Α-Α χανουν...
Αν ο συνδιασμός που θα τύχει είναι Μ-Μ-Μ χάνουν...

Ο δειγματικός χώρος περιλαμβάνει 8 ενδεχόμενα και στα 6 από αυτά κερδίζουν...
Στα υπόλοιπα 2 χάνουν σίγουρα...Άρα η πιθανότητα είναι 75%...
Δε νομίζω πως υπάρχει κάποια άλλη στρατιγική που να καλύπτει και τις περιπτώσεις Α-Α-Α και Μ-Μ-Μ...

Για να το δούμε λίγο:
Πρέπεινα διατυπώσουμε ποιο πείραμα τύχης εκτελείται, ποιος είναι ο δειγματικός του χώρος, κατά πόσο τα στοιχιεώδη ενδεχόμενά του είναι ισοπίθανα και ποιο είναι το ενδεχόμενο που περιγράφεις. Νομίζω ότι θα διαπιστώσεις ότι πρόκειται για δεσμευμένη πιθανότητα. Για παράδειγμα, αν ο πρώτος βλέπει τους δύο άλλους να φορούν μαύρο, τότε επαληθεύεται το ενδεχόμενο {ΜΜΜ,ΑΜΜ} που έχει πθανότητα 0,25. Αύτός επιλέγει το {ΑΜΜ} δεδομένου ότι επαληθεύεται το {ΜΜΜ,ΑΜΜ}. Η πιθανότητα είναι το πηλίκο της πιθανότητας της τομής που είναι 0,125 προς την πιθανότητα του {ΜΜΜ,ΑΜΜ} που είναι 0,5. Το πηλίκο είναι 50%.

[fmak65]

Το θεμα ειναι οτι δεν ειναι υποχρεωτικο να απαντησει καποιος συγκεκριμενος που θα απαντησει αφου θα εχουν βαλει καπελο στους αλλους δυο και τοτε ειναι ανεξαρτητο γεγονος. Η πιθανοτητα ανεβαινει στο 75% επειδη διαλεγουν λογω της συνεννοησης που τους επιτρεπετε και απανταει οποιος εχει δει 2 ιδια καπελα.

[Demetres]

Είναι σωστή η απάντηση του fmak. Να προσπαθήσω να την γράψω λίγο πιο αναλυτικά. Η στρατηγική είναι η εξής (ίδια και για τους τρεις): Αν δεις ΑΑ γράψε Μ αν δεις ΜΜ γράψε Α, αλλιώς Π (πάσο)

Έτσι έχουμε

ΑΑΑ --------γράφουν-----> ΜΜΜ (χάνουν)
ΑΑΜ --------γράφουν-----> ΠΠΜ (κερδίζουν)
ΑΜΑ --------γράφουν-----> ΠΜΠ (κερδίζουν)
ΑΜΜ --------γράφουν-----> ΑΠΠ (κερδίζουν)
ΜΑΑ --------γράφουν-----> ΜΠΠ (κερδίζουν)
ΜΑΜ --------γράφουν-----> ΠΑΠ (κερδίζουν)
ΜΜΑ --------γράφουν-----> ΠΠΑ (κερδίζουν)
ΜΜΜ --------γράφουν-----> ΑΑΑ (χάνουν)

Κερδίζουν 6 στις 8 φορές και επειδή τα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα κερδίζουν με πιθανότητα 75%

[Στέλιος Μαρίνης]

Είναι σωστή η απάντηση του fmak. Να προσπαθήσω να την γράψω λίγο πιο αναλυτικά. Η στρατηγική είναι η εξής (ίδια και για τους τρεις): Αν δεις ΑΑ γράψε Μ αν δεις ΜΜ γράψε Α, αλλιώς Π (πάσο)

Έτσι έχουμε

ΑΑΑ --------γράφουν-----> ΜΜΜ (χάνουν)
ΑΑΜ --------γράφουν-----> ΠΠΜ (κερδίζουν)
ΑΜΑ --------γράφουν-----> ΠΜΠ (κερδίζουν)
ΑΜΜ --------γράφουν-----> ΑΠΠ (κερδίζουν)
ΜΑΑ --------γράφουν-----> ΜΠΠ (κερδίζουν)
ΜΑΜ --------γράφουν-----> ΠΑΠ (κερδίζουν)
ΜΜΑ --------γράφουν-----> ΠΠΑ (κερδίζουν)
ΜΜΜ --------γράφουν-----> ΑΑΑ (χάνουν)

Κερδίζουν 6 στις 8 φορές και επειδή τα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα κερδίζουν με πιθανότητα 75%

Με τάπωσες!
Καληνύχτα

[Silver]

Άρα δεν υπάρχει μεγαλύτερη πιθανότητα?...το καλύτερο που μπορούν να κάνουν είναι 75%?

[Demetres]

Άρα δεν υπάρχει μεγαλύτερη πιθανότητα?...το καλύτερο που μπορούν να κάνουν είναι 75%?

Δεν το έχω πει, αλλά πράγματι έτσι είναι. Μένει να αποδειχθεί... (Η απόδειξη είναι μεν σύντομη και δεν χρειάζεται εξειδικευμένες γνώσεις αλλά δεν θα την χαρακτήριζα εύκολη.)

[jitter]

Για την περίπτωση που τυχαίνουν σε όλους πχ. μαύρα καπέλα προφανώς η στρατηγική που περιγράφηκε είναι η καλύτερη δυνατή (ο καθένας που θα γράψει, όχι πάσο, το καλύτερο που έχει να κάνει είναι να γράψει το χρώμα που δεν βλέπει στους άλλους). Αν κάποιοι έγραφαν πάσο τότε η πιθανότητα θα παρέμενε η ιδία άρα σε κάθε περίπτωση δεν ξεπερνάμε το 75%.

Στην περίπτωση που υπάρχουν καπέλα του ιδίου χρώματος και διαφορετικό τότε άμα αυτός που βλέπει διαφορετικά γράψει, κάτι διαφορετικό του πάσο, προφανώς έχει πιθανότητες να πετύχει το σωστό χρώμα (λόγω συμμετρίας), άρα η πιθανότητα επιτυχίας δηλ. να πετύχουν όλοι το σωστό χρώμα είναι που είναι μικρότερο του . Προφανώς αν γράψει μονό αυτός που βλέπει διαφορετικά καπέλα, κάτι διαφορετικό του πάσο (δηλ. όλοι οι άλλοι να γράψουν πάσο), τότε η πιθανότητα είναι . Και πάλι δεν ξεπερνάμε το 75%.

[space123]

Καλημέρα,
Το πολύ ωραίο αυτό πρόβλημα,μου έφερε στο μυαλό ένα άλλο σχετικό όπου η πρόβλεψη του χρώματος γίνεται με βεβαιότητα.

Ο διευθυντής των φυλακών προκειμένου να χαρίσει την ζωή σε ένα εκ των τριών καταδίκων τους καλεί στο γραφείο του και τους δείχνει πέντε καπέλα,τρία άσπρα και δύο μαύρα.
Κατόπιν τους κλείνει τα μάτια,τοποθετεί ένα καπέλο στο κεφάλι καθ'ενός και πετά τα άλλα δύο από το παράθυρο.
Στη συνέχεια ενημερώνει τους τρείς ότι από την στιγμή που θα ανοίξουν τα μάτια τους,σώζεται αυτός που θα αναφέρει πρώτος, σωστά και πλήρως αιτιολογημένα το χρώμα του καπέλου που έχει στο κεφάλι του.
Οι κατάδικοι ανοίγουν τα μάτια τους,καθε ένας βλέπει τα καπέλα των άλλων δύο αλλά όχι το δικό του και κανένας δεν βλέπει δύο μαύρα.
Σε λίγα δευτερόλεπτα ένας απ'αυτούς δηλώνει ότι έχει ασπρο καπέλο,η δήλωση είναι σωστή και η αιτιολόγηση-απόδειξη μαθηματικώς άψογη!!!
Πώς τα κατάφερε? (προφανώς ζητείται ο συλλογισμός-απόδειξη του νικητή)
φιλικά
Γιάννης Δ Γεώργας

[dement]

Δινω μια δικη μου αποδειξη για το οτι δεν ξεπερναμε το 75 %.

Αφου οι φυλακισμενοι δρουν ανεξαρτητα ο ενας απο τον αλλο, η πιθανοτητα σωτηριας ειναι γραμμικη συναρτηση των πιθανοτητων δρασης του καθε φυλακισμενου κι ετσι μπορουμε να υποθεσουμε οτι οι φυλακισμενοι, αναλογα με αυτο που βλεπουν, πραττουν ντετερμινιστικα (παραβλεποντας 'στοχαστικες' στρατηγικες τυπου 'Αν δει διαφορετικα καπελα γραφει ΜΑΥΡΟ 4 φορες στις 10, ΑΣΠΡΟ 3 φορες στις 10 και τιποτα 3 φορες στις 10').

Εστω οτι υπαρχει στρατηγικη με την οποια ξεπερναμε το 75 %. Τοτε τουλαχιστον μια απο τις περιπτωσεις ΜΜΜ, ΑΑΑ σωζεται. Αυτο σημαινει οτι τουλαχιστον ενας φυλακισμενος, για τουλαχιστον ενα χρωμα, εχει τη στρατηγικη "Αν δω δυο καπελα αυτου του χρωματος, γραφω αυτο το χρωμα". Εστω οτι ο φυλακισμενος 1 εχει αυτη τη στρατηγικη για το μαυρο χρωμα.

Τοτε η κατασταση ΑΜΜ ειναι χαμενη. Πρεπει οπωσδηποτε να σωθει η κατασταση ΑΑΑ. Αρα καποιος φυλακισμενος θα εχει τη στρατηγικη "Αν δω δυο ασπρα καπελα, γραφω ασπρο".

Αν αυτος ειναι ο 1, χανεται και η κατασταση ΜΑΑ. Αν ειναι ο 2 χανεται η ΑΜΑ. Αν ειναι ο 3 χανεται η ΑΑΜ. Σε καθε περιπτωση χανονται τουλαχιστον 2 καταστασεις απο τις 8 και κατα συνεπεια η πιθανοτητα δε μπορει να ξεπερνα το 75 %.

Δημητρης Σκουτερης