Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#1181

xr.tsif έγραψε:ΕΠΙΣΗΣ ΛΕΙΠΟΥΝ
118 , 141 , 146 , 169 , 171 , 173 , 181 , 182 , 186 , 187 , 188.
Από την δεύτερη κατοστάδα

Για αυτές που λείπουν...

-- Υπάρχουν θετικοί ακέραιοι x,y,z

και πρώτος

έτσι ώστε

;

viewtopic.php?f=109&t=18516

-- Έστω d(k)

το πλήθος των (θετικών) διαιρετών του θετικού ακεραίου

.

Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι

οι οποίοι δε μπορούν να γραφούν στη μορφή

$\displaystyle{M=\left(\frac{2\sqrt{n}}{d(n)}\right)^2,}$ για κάποιο θετικό ακέραιο $\displaystyle{n.}$

viewtopic.php?f=109&t=19680

-- Δείξτε ότι υπάρχουν άπειροι φυσικοί

τέτοιοι ώστε οι αριθμοί $\sqrt{n+1+\sqrt{n}}$ και $\sqrt{n+\sqrt{n+1}}$ να έχουν διαφορετικό ακέραιο μέρος.

viewtopic.php?f=109&t=19848

-- Έστω

και

ακέραιοι τέτοιοι ώστε η εξίσωση x^3 - ax^2 - b = 0

να έχει τρεις ακέραιες ρίζες.

Να δείξετε ότι ο

μπορεί να γραφεί ως b = dk^2

, όπου

και

ακέραιοι με d | a.

viewtopic.php?f=109&t=19677

-- Αν $\displaystyle{p\geq 3}$ πρώτος, να βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης

$\displaystyle{x^3+y^3=x^2y+xy^2+p^{2011},}$ με $\displaystyle{x,y\in \mathbb{Z}.}$

viewtopic.php?f=109&t=20750

-- Πόσοι εξαψήφιοι αριθμοί έχουν γινόμενο ψηφίων ίσο με 24;

viewtopic.php?f=109&t=27816

#1182

AΣΚΗΣΗ 559: Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{ax^2 +bx +c=0}$ , όπου $\displaystyle{a , b , c \epsilon R}$ , και $\displaystyle{a\neq 0}$ .

Aν $\displaystyle{\xi}$ είναι μια πραγματική ρίζα της εξίσωσης, δείξτε ότι: $\displaystyle{|\xi|\leq \frac{2|ac|+b^2}{|ab|}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#1183

ΑΣΚΗΣΗ 560: Θεωρούμε δύο ομόκεντρους κύκλους $\displaystyle{(O , R)}$ και $\displaystyle{(O , 2R)}$ . Φέρνουμε την χορδή $\displaystyle{AB}$ του μεγαλύτερου κύκλου, ώστε να είναι εφαπτόμενη στον μικρότερο κύκλο, και ονομάζουμε

, το σημείο επαφής. Από το σημείο

, φέρνουμε την εφαπτομένη $\displaystyle{AN}$ στον μικρό κύκλο.
Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της περιοχής που περικλείεται από τα "ελάσσονα" τόξα $\displaystyle{BA}$ , και $\displaystyle{NM}$ , και από τα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle{AN}$ και $\displaystyle{MB}$ , είναι ίσο με το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου.

#1184

ΑΣΚΗΣΗ 561
Η πράξη $*:\Bbb{R}\times \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ είναι τέτοια ώστε $\displaystyle{\frac{x+1}{2}*x=1}$ και (x*y)z=(xz)*(yz)

για κάθε $x,y,z\in \Bbb{R}.$
Βρείτε τον αριθμό 3*4

και παράδειγμα τέτοιας πράξης.

#1185

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 559: Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{ax^2 +bx +c=0}$ , όπου $\displaystyle{a , b , c \epsilon R}$ , και $\displaystyle{a\neq 0}$ .

Aν $\displaystyle{\xi}$ είναι μια πραγματική ρίζα της εξίσωσης, δείξτε ότι: $\displaystyle|\xi|\leq \frac{2|ac|+b^2}{|ab|}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Δίνεται μια ιδιότητα των απολύτων τιμών: $|a+b|\leq |a|+|b|$ , $|a-b|\leq |a|+|b|$

Ας είναι $\displaystyle{m,n}$ οι (ενδεχομένως ίσες) πραγματικές ρίζες της εξίσωσης.

Τότε, είναι

$\displaystyle{m+n=-\frac{b}{a},~ mn=\frac{c}{a},}$

οπότε

$\displaystyle{\frac{mn}{m+n}=-\frac{c}{b}.}$

Η προς απόδειξη σχέση γράφεται

$\displaystyle{|m|\leq 2\left|\frac{c}{b} \right|+\left|\frac{b}{a} \right|,}$

δηλαδή, λόγω των παραπάνω σχέσεων

$\displaystyle{|m|\leq 2\left|\frac{mn}{m+n} \right|+|m+n|}$

ή αλλιώς

$\displaystyle{(m+n)^2+2|mn|\geq |m||m+n|.}$

Αν $\displaystyle{m=0}$ αυτή ισχύει.

Αν $\displaystyle{m\ne 0}$ αυτή γράφεται

$\displaystyle{\boxed{(1+t)^2+2|t|\geq |1+t|},}$ ( $\displaystyle{\bigstar}$ )

όπου τέθηκε $\displaystyle{t=\frac{n}{m}.}$

Απομένει να αποδειχθεί η ( $\displaystyle{\bigstar}$ ).

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{|1+t|\geq 1}$ είναι

$\displaystyle{(1+t)^2+2|t|=|1+t|^2+2|t|\geq |1+t|,}$ αφού τότε $\displaystyle{|1+t|^2\geq |1+t|}$ και $\displaystyle{2|t|\geq 0.}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{|1+t|< 1}$ είναι

$\displaystyle{(1+t)^2+2|t|=t^2+1+2(|t|+t)\geq 1>|1+t|.}$

nikoszan · #1186

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 561
Η πράξη $*:\Bbb{R}\times \Bbb{R} \to \Bbb{R}$ είναι τέτοια ώστε $\displaystyle{\frac{x+1}{2}*x=1}$ και για κάθε $x,y,z\in \Bbb{R}.$
Βρείτε τον αριθμό και παράδειγμα τέτοιας πράξης.

... $\dfrac{{x + 1}}{2} * x = 1:\left( 1 \right)$

$\left( {x * y} \right)z = \left( {xz} \right) * \left( {yz} \right):\left( 2 \right)$ .

Απο την $\left( 1 \right)$ για x = 2

έχουμε $\dfrac{{2 + 1}}{2} * 2 = 1 \Rightarrow \dfrac{3}{2} * 2 = 1:\left( 3 \right)$ .

Απο την $\left( 2 \right)$ για $x = \dfrac{3}{2},y = z = 2$ έχουμε

$\left( {\dfrac{3}{2} * 2} \right) \cdot 2 = \left( {\dfrac{3}{2} \cdot 2} \right) * \left( {2 \cdot 2} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} 1 \cdot 2 = 3 * 4 \Rightarrow 3 * 4 = 2.$

π.χ. x * y = 2x - y

.
Ν.Ζ.

KARKAR · #1187

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 560: Θεωρούμε δύο ομόκεντρους κύκλους $\displaystyle{(O , R)}$ και $\displaystyle{(O , 2R)}$ . Φέρνουμε την χορδή $\displaystyle{AB}$ του μεγαλύτερου κύκλου, ώστε να είναι εφαπτόμενη στον μικρότερο κύκλο, και ονομάζουμε , το σημείο επαφής. Από το σημείο , φέρνουμε την εφαπτομένη $\displaystyle{AN}$ στον μικρό κύκλο.
Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της περιοχής που περικλείεται από τα "ελάσσονα" τόξα $\displaystyle{BA}$ , και $\displaystyle{NM}$ , και από τα ευθύγραμμα τμήματα $\displaystyle{AN}$ και $\displaystyle{MB}$ , είναι ίσο με το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου.

Τα τρίγωνα OAM , OBM , OAN

είναι ίσα και (90^0,60^0,30^0)

, αφού

, άρα $\widehat{AOB} = \widehat{NOM}=120^0$ .

Η ζητούμενη περιοχή έχει εμβαδόν : $(\tau o\mu OAB)-(OAB)+(OMAN)-(\tau o\mu OMN)$ και επειδή

(OMAN)=(OAB)

, γίνεται : $\displaystyle(\tau o\mu OAB)-(\tau o\mu OMN)=\frac{1}{3}\pi (2R)^2-\frac{1}{3}\pi R^2=\pi R^2 , o.\varepsilon .\delta$

#1188

ΑΣΚΗΣΗ 562: Αν $\displaystyle{x_1 ,x_2}$ , είναι ρίζες των εξισώσεων $\displaystyle{x^2 -ax+b=0}$ , και

$\displaystyle{x^{2n}-a^{n}x^{n}+b^{n}=0}$ , όπου $\displaystyle{n\epsilon N^{*}}$ και $\displaystyle{b\neq 0}$ , τότε: $\displaystyle{(x_{1}+x_{2})^{n}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n}}$

#1189

socrates έγραψε:

-- Αν $\displaystyle{p\geq 3}$ πρώτος, να βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης

$\displaystyle{x^3+y^3=x^2y+xy^2+p^{2011},}$ με $\displaystyle{x,y\in \mathbb{Z}.}$

viewtopic.php?f=109&t=20750

Στη θέση της 386 έβαλα αυτήν

parmenides51 · #1190

Πέτυχα δυο άλυτες (σύμφωνα με τα συμφραζόμενα) που λύθηκαν πρόσφατα στο

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 169 :
Στο τέλος του Β Παγκοσμίου πολέμου σε ένα στρατόπεδο βρίσκονται 1997 αιχμάλωτοι: Οι 998 είναι Ιταλοί και οι 999 είναι Γερμανοί. Ο Διοικητής του στρατοπαίδου αποφασίζει να απελευθερώσει σταδιακά τους κρατούμενους, εκτός από έναν τον οποίο θα κρατήσει για λίγο καιρό ακόμα στο στρατόπεδο.
Η διαδικασία απόλυσης των κρατουμένων είναι η εξής:
Επιλέγονται τυχαία τρεις κρατούμενοι και φεύγουν οι δύο.
Αν και οι τρεις είναι της ίδιας εθνικότητας, ο ένας από αυτούς επιστρέφει, ενώ αν είναι διαφορετικής εθνικότητας επιστρέφει αυτός που έχει διαφορετική εθνικότητα από τους άλλους δύο.
Ποιας εθνικότητας θα είναι ο "άτυχος" κρατούμενος;

(Από διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ Γυμνασίου)

εδώ (άσκηση 4)

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 188:
Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να βάλουμε έναν κόκκινο, δύο μπλέ και τρείς πράσινους βώλους σε έξι τρύπες που βρίσκονται σε ευθεία γραμμή και ισαπέχουν;

(Από διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ΄Γυμνασίου)

εδώ (άσκηση 3)

#1191

socrates έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 245
Σε ένα διαγωνισμό τοξοβολίας συμμετέχουν αθλητές.
Ο στόχος χωρίζεται σε δύο ζώνες, τις Α και Β. Αν το βέλος χτυπήσει στη ζώνη Α, ο αθλητής κερδίζει βαθμούς ενώ αν χτυπήσει στη ζώνη Β, κερδίζει βαθμούς.
Δε δίνονται βαθμοί για τα βέλη που δεν βρίσκουν το στόχο.
Κάθε αθλητής ρίχνει βέλη.
Στο τέλος του διαγωνισμού, παρατηρήθηκε ότι πάνω από το $50 \%$ των βελών χτύπησαν στη ζώνη Β, ενώ ο αριθμός των βελών που χτύπησαν στη ζώνη Α είναι ίσος με τον αριθμό αυτών που δεν βρήκαν το στόχο.

Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο αθλητές με την ίδια βαθμολογία.

Eπαναφορά.
(Έχει μείνει άλυτη για πολύ καιρό)

KARKAR · #1192

Άσκηση 563 : Η πάνω και η κάτω πλευρές είναι παράλληλες . Βρείτε το

#1193

Επειδή $\displaystyle\frac{{50}}{8} = \displaystyle\frac{{25}}{4} = {(\displaystyle\frac{5}{2})^2}$ , τα παράλληλα τμήματα θα έχουν λόγο (μεγάλου προς μικρού) $\displaystyle\frac{5}{2}$ . Τον ίδιο όμως λόγο θα έχουν τα εμβαδά του μεγάλου τριγώνου προς το

συνεπώς $\displaystyle\frac{{50}}{E} = \displaystyle\frac{5}{2} \Rightarrow E = 20$

Φιλικά Νίκος

#1194

Είναι μια ιδιότητα του τραπεζίου:

$\displaystyle{E^2=8\cdot 50\implies E=20.}$

parmenides51 · #1195

Πέτυχα άλλες δυο άλυτες (σύμφωνα με τα συμφραζόμενα) που λύθηκαν πρόσφατα στο

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 79: Δίνονται οι αριθμοί $A=2^{41},B=8^{13},C=4^{21},D=32^{8}$

(α) Να βρείτε ποιος είναι ο μεγαλύτερος

(β) Να εκφράσετε το άθροισμα ως γινόμενο πρώτων παραγόντων

εδώ (άσκηση 4)

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΑΣΚΗΣΗ 119 :
Να βρείτε την τιμή της παράστασης:
$K=a^{3}-(1+a)^{-2}+4(\frac{b}{a}+\frac{1}{2})^{-1}+\left[(\frac{b}{a}-2004)^{2004} \right]^{0}$

αν είναι $a=-\frac{3}{2}$ και b=3

εδώ (άσκηση 1)

#1196

Ένα αυτοκίνητο που κινείται σε ευθύ δρόμο με μία λωρίδα κυκλοφορίας ανά κατεύθυνση, θέλει να προσπεράσει ένα φορτηγό που βρίσκεται 5m μπροστά του.
Μπαίνει στο αντίθετο ρεύμα κυκλοφορίας και μόλις το προσπεράσει κατά 5m επανέρχεται στο ρεύμα κυκλοφορίας του.
Αν το αυτοκίνητο κινείται με 100km/h και το φορτηγό με 90km/h βρείτε το διάστημα που θα διανύσει το αυτοκίνητο στο αντίθετο ρεύμα κυκλοφορίας.
Δίνεται ότι το μήκος του φορτηγού είναι 15m.

freyia · #1197

socrates έγραψε:Ένα αυτοκίνητο που κινείται σε ευθύ δρόμο με μία λωρίδα κυκλοφορίας ανά κατεύθυνση, θέλει να προσπεράσει ένα φορτηγό που βρίσκεται 5m μπροστά του.
Μπαίνει στο αντίθετο ρεύμα κυκλοφορίας και μόλις το προσπεράσει κατά 5m επανέρχεται στο ρεύμα κυκλοφορίας του.
Αν το αυτοκίνητο κινείται με 100km/h και το φορτηγό με 90km/h βρείτε το διάστημα που θα διανύσει το αυτοκίνητο στο αντίθετο ρεύμα κυκλοφορίας.
Δίνεται ότι το μήκος του φορτηγού είναι 15m.

Άμα ονομάσω

το μήκος που θα έχει διανύσει το Ι.Χ , και

το μήκος που θα έχει διανύσει το πίσω μέρος του φορτηγού μέσα στον ίδιο χρόνο $\displaystyle{t}$ , τότε θα ισχύει ότι $\displaystyle{y+5+15+5=x}$

Αλλά $\displaystyle{y=90\frac{Km}{h}t=90\frac{1000m}{3600sec}t=25\frac{m}{sec}t}$

Και $\displaystyle{x=100\frac{km}{h}t=100\frac{1000m}{3600sec}t=\frac{250}{9}\frac{m}{sec}t}$

Eπομένως: $\displaystyle{25t+5+15+5=\frac{250}{9}t\Rightarrow t=9 sec}$

Eπομένως, $\displaystyle{x=\frac{250}{9}.9=250 m}$

#1198

Στον πίνακα είναι γραμμένος ο αριθμός 1000.

Δύο μαθητές παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι:
Εναλλάξ, επιλέγουν ένα γνήσιο διαιρέτη (διάφορο του ίδιου του αριθμού) του αριθμού που υπάρχει στον πίνακα και αντικαθιστούν τον αριθμό που είναι γραμμένος στον πίνακα με τη (θετική) διαφορά του αριθμού αυτού από τον διαιρέτη που επέλεξαν.
Χάνει όποιος δεν μπορεί να παίξει.
Ποιος έχει στρατηγική νίκης;

#1199

AΣΚΗΣΗ 566 Nα αποδείξετε ότι ο αριθμός:

$\displaystyle{A=6^3 +13^3 +20^3 + . . . +(7n-1)^3 +22n}$ , είναι πολλαπλάσιο του

, για κάθε $\displaystyle{n\epsilon N^{*}}$

S.E.Louridas · #1200

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 566 Nα αποδείξετε ότι ο αριθμός:
$\displaystyle{A=6^3 +13^3 +20^3 + . . . +(7n-1)^3 +22n}$ , είναι πολλαπλάσιο του , για κάθε $\displaystyle{n\epsilon N^{*}}$

Γνωρίζουμε ότι για θετικό ακέραιο

ισχύει:
$\left( {a - 1} \right)^{2r + 1} = at - 1 \Rightarrow A \equiv 7s - n + 22n = 7p.$

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση