Θεωρία Αριθμών με αφορμή άλλη

#1

Με αφορμή την άσκηση του ΔΗΜΗΤΡΗ εδώ (η οποία απευθύνεται σε μαθητές Λυκείου που γνωρίζουν τα βασικά στη θεωρία αριθμών) προτείνω την παρακάτω άσκηση η οποία όμως δε νομίζω ότι μπορεί να χαρακτηριστεί ως βασική για να μπει στο παραπάνω post:

Έστω πρώτος αριθμός p > 2

και

φυσικός με $n \not\equiv 0 \pmod {(p-1)}$ .

Να αποδείξετε ότι $1^n+2^n+\cdots + (p-1)^n\equiv 0\pmod{p}$ .

Αλέξανδρος

#2

cretanman έγραψε:Με αφορμή την άσκηση του ΔΗΜΗΤΡΗ εδώ (η οποία απευθύνεται σε μαθητές Λυκείου που γνωρίζουν τα βασικά στη θεωρία αριθμών) προτείνω την παρακάτω άσκηση η οποία όμως δε νομίζω ότι μπορεί να χαρακτηριστεί ως βασική για να μπει στο παραπάνω post:

Έστω πρώτος αριθμός και φυσικός με $n \not\equiv 0 \pmod {(p-1)}$ .

Να αποδείξετε ότι $1^n+2^n+\cdots + (p-1)^n\equiv 0\pmod{p}$ .

Αλέξανδρος

Υπάρχει (τουλάχιστον) ένας αριθμός $1\leq k\leq p-1$ τέτοιος ώστε $k^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$ , αλλά $k^r\not\equiv 1\pmod{p}$ για $r=1,2,\dots,p-2$ .

Τότε τα σύνολα $\{1 \pmod{p}, 2\pmod{p}, \dots, p-1\pmod{p}\}$ και $\{k\pmod{p}, 2k\pmod{p}, \dots, (p-1)k\pmod{p}\}$ είναι ίσα.

Συνεπώς,

$\displaystyle{k^n(1^n+2^n+\cdots + (p-1)^n)=k^n+(2k)^n+\cdots ((p-1)k)^n\equiv (1^n+2^n+\cdots + (p-1)^n) \pmod{p}}$ ,

δηλαδή

$(k^n-1)(1^n+2^n+\cdots + (p-1)^n)\equiv 0\pmod{p}$ (*).

Αφού όμως $n \not\equiv 0 \pmod {(p-1)}$ , από την επιλογή του

έπεται ότι $k^n-1\not \equiv 0\pmod{p}$ , που σε συνδυασμό με τη (*) αποδεικνύει ότι

$1^n+2^n+\cdots + (p-1)^n\equiv 0\pmod{p}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Γιώτα · #3

Διαγράφω την λύση γιατι ήταν λάθος
Ευχαριστώ πολυ τον κύριο Αλέξανδρο για τη διόρθωση.

#4

Αχιλλέα σ' ευχαριστώ πολύ για την απάντηση! Αυτή ακριβώς είναι η πιο κομψή λύση που έχω στο μυαλό μου και η οποία στηρίζεται ακριβώς στη θεώρηση του k που όρισες. Ουσιαστικά πρόκειται για μία αρχική ρίζα $\mod{p}$ η οποία γνωρίζουμε ότι υπάρχει λόγω του ότι

πρώτος.

Για την άσκηση αυτή είχα αναρρωτηθεί πριν από 6 περίπου χρόνια στο http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... +7#p637509 με αφορμή την ειδική περίπτωση για p=7

που είχα θέσει στο εν λόγω post. Ο Στέλιος Δεσποτάκης (stedes) είχε δώσει τότε μία εξαιρετική απάντηση (από την οποία λείπουν οι πολλές λεπτομέρειες) για το πρόβλημα που έλυσε ο Αχιλλέας λίγα post πιο κάτω από τη συγκεκριμένη δημοσίευση.

Τη συγκεκριμένη άσκηση την είχα βάλει για να τονίσω μία μεθοδολογία για τις συγκεκριμένες ασκήσεις. Τελικά αυτή και κάποιες παρόμοιες ασκήσεις στάθηκαν αφορμή για να γράψω την εργασία «Μικρό Θεώρημα του Fermat, συνάρτηση του Euler και Μαθηματικοί Διαγωνισμοί» που υπάρχει στη σελίδα μου (και που είχα διδάξει στο 2ο Καλοκαιρινό Μαθηματικό Σχολείο της Νάουσας) και δημοσιεύθηκε στο περιοδικό "Απολλώνιος" του παραρτήματος Ημαθίας της ΕΜΕ, τεύχος 5 σελίδα 100. Αυτά τα αναφέρω διότι στη δημοσίευση http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 54#p638154 έγραψα ότι έχω 2 προσεγγίσεις στο μυαλό μου τις οποίες δεν τις έχω γράψει στο mathlinks αλλά στην παραπάνω εργασία.

Αργότερα έμαθα ότι η συγκεκριμένη άσκηση αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως θεώρημα Chevalley-Warning.

Αλέξανδρος

Θεωρία Αριθμών με αφορμή άλλη

Θεωρία Αριθμών με αφορμή άλλη

Re: Θεωρία Αριθμών με αφορμή άλλη

Re: Θεωρία Αριθμών με αφορμή άλλη

Re: Θεωρία Αριθμών με αφορμή άλλη

Μέλη σε σύνδεση