Συνθήκη Lipschitz

#1

Νά εξετασθεί άν γιά τήν συνάρτηση $f:\left({0,\,+\infty}\right)\longrightarrow\mathbb{R} \ ; \ f(x)=\sin\tfrac{1}{x}$ , υπάρχει πραγματικός αριθμός

, τέτοιος ώστε:

$\left|{\sin\tfrac{1}{x}-\sin\tfrac{1}{y}}\right|\leq{K}\,|{x-y}|$ , γιά όλα τά $x,y\in\left({0,\,+\infty}\right)$ .

[Δηλαδή άν ισχύει η συνθήκη $\rm{Lipschitz}$ .]

#2

grigkost έγραψε:Νά εξετασθεί άν γιά τήν συνάρτηση $f:\left({0,\,+\infty}\right)\longrightarrow\mathbb{R} \ ; \ f(x)=\sin\tfrac{1}{x}$ , υπάρχει πραγματικός αριθμός , τέτοιος ώστε:

$\left|{\sin\tfrac{1}{x}-\sin\tfrac{1}{y}}\right|\leq{K}\,|{x-y}|$ , γιά όλα τά $x,y\in\left({0,\,+\infty}\right)$ .

[Δηλαδή άν ισχύει η συνθήκη $\rm{Lipschitz}$ .]

Δεν γίνεται: Πάρε χ =1/(2νπ), ψ =1/(2νπ +π/2).

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε:Δεν γίνεται: Πάρε χ =2νπ, ψ =2νπ +π/2.

Μιχάλη,

επειδή απέδειξα τήν μή-ύπαρξη τού

μέ είς άτοπο απαγωγή [ $\rm{Lipschitz} \ \Rightarrow$ ομοιόμορφα συνεχής στό $\left({0,\,+\infty}\right) \ \Rightarrow \ \exists\!\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{+}}\sin\tfrac{1}{x}$ . Άτοπο ] , άν θέλεις, μπορείς νά γίνεις περισσότερο αναλυτικός?

#4

grigkost έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:Δεν γίνεται: Πάρε χ =2νπ, ψ =2νπ +π/2.
Μιχάλη,

επειδή απέδειξα τήν μή-ύπαρξη τού μέ είς άτοπο απαγωγή [ $\rm{Lipschitz} \ \Rightarrow$ ομοιόμορφα συνεχής στό $\left({0,\,+\infty}\right) \ \Rightarrow \ \exists\!\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow0^{+}}\sin\tfrac{1}{x}$ . Άτοπο ] , άν θέλεις, μπορείς νά γίνεις περισσότερο αναλυτικός?

Γρηγόρη, έχεις δίκιο. Η απάντηση μου έχει τυπογραφικό σφάλμα: Αντί χ =2νπ, ψ = 2νπ+π/2 γράφε χ =1/(2νπ), ψ =1/(2νπ +π/2).
Τώρα η λύση της άσκησης είναι διαφανής καθώς η συνθήκη δίνει
|0 -1| < Κ(κάτι που τείνει στο 0), άτοπο.

Φιλικά,

Μιχάλης

Συνθήκη Lipschitz

Συνθήκη Lipschitz

Re: Συνθήκη Lipschitz

Re: Συνθήκη Lipschitz

Re: Συνθήκη Lipschitz

Μέλη σε σύνδεση