Συνθήκη ώστε κύκλος να εφάπτεται σε έλλειψη

[parmenides51]

Με αφορμή μια άλλη άσκηση και την αδυναμίας κατασκευής στο Geogebra, αναζητείται μια γεωμετρική συνθήκη ώστε ένας κύκλος και μια έλλειψη να εφάπτονται.

[parmenides51]

Ένας συνάδελφος μου είπε πως όταν κύκλος κι έλλειψη εφάπτονται τότε δέχονται κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο. Έχει δίκιο;

[vittasko]

Ένας συνάδελφος μου είπε πως όταν κύκλος κι έλλειψη εφάπτονται τότε δέχονται κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο. Έχει δίκιο;

Νομίζω ότι αυτό αληθεύει και ελπίζω ότι δεν θα πω κάποια μπαρούφα.

Έστω δύο κύκλοι εφαπτόμενοι εξωτερικά στο σημείο έστω και σημείο που δεν ανήκει στο επίπεδο των δύο κύκλων.

Αν προβάλουμε το σχήμα το δύο εφαπτόμενων κύκλων από το σημείο σε ένα επίπεδο έστω που δεν περιέχει το και είναι παράλληλο προς το , η εικόνα που θα πάρουμε θα είναι δύο κύκλοι εφαπτόμενοι εξωτερικά στο σημείο έστω το οποίο ταυτίζεται προφανώς με την προβολή του σημείου από το στο επίπεδο .

Είναι το αποτέλεσμα της ομοιοθεσίας στον χώρο, με κέντρο το και λόγο , όπου είναι οι προβολές του σημείου επί των παράλληλων επιπέδων αντιστοίχως.

Αν είναι η κοινή εφαπτομένη των κύκλων στο σημείο η ευθεία αυτή προβάλλεται στην ευθεία έστω , κοινή εφαπτομένη των κύκλων στο σημείο .

Αν το επίπεδο τώρα, δεν είναι παράλληλο προς το , ισχύουν τα ίδια, με τη διαφορά ότι οι εικόνες των εφαπτόμενων κύκλων είναι δύο εφαπτόμενες κωνικές εν γένει και το συνηθέστερο, δύο εφαπτόμενες ελλέιψεις.

Θεωρούμε τώρα τον κύκλο ως την τομή τυχούσας σφαίρας από το επίπεδο και ένα τυχόν σημείο αυτής έστω , που δεν ανήκει στον κύκλο αλλά ούτε και στη διάμετρο της σφαίρας που περνάει το κέντρο του

Αν προβάλουμε τώρα το σχήμα των δύο αρχικών εφαπτόμενων κύκλων από το σημείο στο επίπεδο έστω που εφάπτεται στη σφαίρα στο σημείο έστω αντιδιαμετρικό του η εικόνα που θα πάρουμε θα είναι ένας κύκλος έστω για τον ως το αποτέλεσμα της βασικής ιδιότητας της Στερεογραφικής προβολής (*) και μία έλλειψη ( κωνική εν γένει ) έστω για τον κύκλο που εφάπτεται του κύκλου στο σημείο έστω ως την προβολή του από το σημείο στο επίπεδο .

Είναι φανερό τώρα σύμφωνα με τα προηγούμενα, ότι η κοινή εφαπτομένη των κύκλων στο σημείο επαφής τους προβάλλεται στην ευθεία έστω ως την κοινή εφαπτομένη του κύκλου και της έλλειψης στο σημείο επαφής τους

Κώστας Βήττας.

(*) Στη σελίδα 109, του τεύχους 7, του εξαιρετικού μαθηματικού περιοδικού "το φ", υπάρχει μία εγκυκλοπαιδική αναφορά και σχήμα για την Στερεογραφική προβολή.

Στις σελίδες 54 έως 59 τώρα, του βιβλίου GEOMETRIC TRANSFORMATIONS III του I.M.YAGLOM ( τρίτομη έκδοση της Αμερικάνικης Μαθηματικής Εταιρείας, σε αγγλική μετάφραση από τα ρώσικα ), ο αναγνώστης θα βρει στοιχειώδεις αποδείξεις που αφορούν στην Στερεογραφική προβολή, για το πως δηλαδή ένας κύκλος προβάλλεται σε κύκλο, σε επίπεδο που δεν είναι παράλληλο προς το επίπεδό του.

[KDORTSI]

Κώστα γεια σου. Επειδή με προσωπικό μήνυμα μου ζητήθηκε
να "επενδύσω" τα λεγόμενά σου με 3d σχήμα μετά χαράς το κάνω
χωρίς μάλιστα να ζητήσω από πριν την άδειά σου.
Θα με συγχωρέσεις για τούτη μου τη βιασύνη. Βλέπεις η ώρα πλησιάζει δύο μετά τα
μεσάνυχτα κι απ' το ανοιχτό παράθυρο ακούω τη "σιωπή" της πόλης μου...

Σχήμα 1ο Οι ομοιόθετοι κύκλοι

Επαφή κύκλων 1.PNG (145.88 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

Σχήμα 2ο Ο μετασχηματισμός σε ελλείψεις(ή γενικά σε κωνικές τομές)

Επαφή κύκλων 2.PNG (173.74 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

Σχήμα 3ο Από μιά άλλη θέση η δεύτερη περίπτωση(με κρυμμένους τους κώνους)

Επαφή κύκλων 3.PNG (55.48 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

Σχήμα 4ο Η στερεογραφική προβολή(κόκκινος κύκλος, κίτρινη έλλειψη)

Επαφή κύκλων 4.PNG (156.25 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

Κώστας Δόρτσιος

[vittasko]

Κώστα καλημέρα και σ' ευχαριστώ από καρδιάς για τα όμορφα σχήματα.

Ή αλήθεια είναι ότι η εικόνα είναι πάντοτε πιο θελκτική από το κέιμενο, ιδιαίτερα όταν είσαι "οπτικός" τύπος και όσο για την άδεια που δεν ζήτησες, ουέ και αλίμονο αν εδώ στο χρειαζόμασταν τέτοιες άδειες, και για φιλοφρόνηση ακόμα.

Για την Στερεογραφική προβολή αξίζει να αναφερθεί ότι αν και ο κύκλος προβάλλεται στον κύκλο δεν συμβαίνει το ίδιο με τα κέντρα των δύο κύκλων.

Το κέντρο του κυκλου είναι η προβολή της κορυφής του κώνου που εφάπτεται στην σφαίρα και έχει ως βάση του τον κύκλο και αυτό, όσο περίεργο κι' αν φαίνεται, αποδεικνύεται με στοιχειώδη μέσα.

Μία από τις πολλές οφειλές μου στο αγαπημένο μας , είναι όλα τα σχετικά με τις αποδείξεις των αποτελεσμάτων που αφορούν στην Στερεογραφική προβολή που έχω βρει στο βιβλίο του I.M.YAGLOM που αναφέρω πιο πάνω και αναδεικνύουν την ομορφιά της λύσης που μας έδωσε ο φίλτατος Κώστας Ρεκούμης (rek2) Εδώ.

Και πάλι σ' ευχαριστώ, Κώστας Βήττας.

[KDORTSI]

Κώστα καλημέρα.

Ναι, έχεις δίκιο ότι το κέντρο δεν απεικονίζεται στο κέντρο της εικόνας αλλά στο σημείο
Χθές δεν είχα χρόνο να το παρουσιάσω στο σχήμα. Το κάνω σήμερα.

Επαφή κύκλων.PNG (176.72 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές

Εξάλλου αυτό δεν συμβαίνει μόνο στο μετασχηματισμό αυτό.

Αντιστροή κέντρου κύκλου.PNG (7.47 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές

Αν θυμηθούμε την αντιστροφή ενός κύκλου και την περίπτωση που η
εικόνα αυτή είναι κύκλος, τότε το αντίστροφο του κέντρου του αρχικού κύκλου
είναι διαφορετικό σημείο γενικά από το κέντρο της εικόνας.

Στο σχήμα έχουμε την αντιστροφή του γαλάζιου(έντονα) κύκλου που είναι ο κόκκινος ως προς κέντρο το σημείο
και κύκλο αντιστροφής τον κύκλο .

Πράγματι το του κύκλου είναι διαφορετικό της εικόνας του κέντρου .

Κώστας Δόρτσιος

[parmenides51]

Σε προσωπικό μήνυμα ο Σεραφείμ μου απάντησε

Ένας συνάδελφος μου είπε πως όταν κύκλος κι έλλειψη εφάπτονται τότε δέχονται κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο. Έχει δίκιο;

Ορισμός: Οι λείες καμπύλες και εφάπτονται, αν-ν σε κοινό τους σημείο έχουν κοινή εφαπτομένη.

μας έφαγε η άλγεβρα την ζωή και δεν ξέρουμε τους σωστούς ορισμούς