Εύρεση γωνίας

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α=120 μοίρες. Αν ΑΔ,ΒΕ,ΓΖ είναι οι τρείς διχοτόμοι του, να υπολοιστεί η γωνία ΕΔΖ.

[Dreamkiller]

Προεκτείνοντας την ΓΑ προς το μέρος του Α παρατηρούμε ότι η ΑΖ είναι η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας <ΔΑΓ. Η ΓΖ είναι η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας <ΑΓΒ, συνεπώς το Ζ είναι το παράκεντρο του τριγώνου ΔΑΓ ως προς το Γ. Άρα και η ΔΖ θα είναι η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας <ΑΔΓ, ή αλλιώς διχοτόμος τη <ΑΔΒ.
Ομοίως παίρνουμε ότι το Ε είναι παράκεντρο του τριγώνου ΑΔΒ ως προς το Β και άρα η ΔΕ διχοτόμος της <ΑΔΓ. Άρα οι ΔΖ, ΔΕ είναι διχοτόμοι δυο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών και άρα τέμνονται κάθετα, ώστε <ΕΔΖ = 90 μοίρες.

Αρκετά δύσκολη άσκηση πάντως, νομίζω την είχα συναντήσει στην αρχή της χρονιάς και μου είχε πάρει πολύ ώρα να τη λύσω. Πρέπει να είχε μπει σε κάποιον διαγωνισμό της ΕΜΕ τη δεκαετία του '90.

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Μπράβο για τη λύση σου. Πράγματι είναι ένα πρόβλημα που μου άρεσε και μένα. Δεν έχει τεθεί σε κάποιο διαγωνισμό από όσο γνωρίζω, (τουλάχιστον της ΕΜΕ). Το έχω δεί σε τεύχος του περιοδικού QUANTUM που δυστυχώς σταμάτησε να εκδίδεται στην Ελλάδα εδώ και κάμποσα χρόνια
Χαίρομαι ιδιαίτερα που βλέπω μαθητή που ασχολείται (και μάλιστα τις μικρές πρωινές ώρες και σε περίοδο διακοπών!)με τη Γεωμετρία η οποία ελάχιστα πλέον διδάσκεται στα σχολεία μας . Να συνεχίσεις την ενασχόληση σου με τη Γεωμετρία, καθώς είναι ένας τομέας που μεταξύ άλλων σου δίνει τη δυνατότητα να προχωρήσεις και στους μαθηματικούς διαγωνισμούς.

[Μπάμπης Στεργίου]

Είναι όντως θέμα της ΕΜΕ αλλά προηγήθηκε ως θέμα σε ολυμπιάδα της Ρωσίας. Ενδιαφέρον αλλά λίγο δύσκολο θέμα είναι το αντίστροφο :

Αν η γωνία ΕΔΖ είναι ορθή, τότε η γωνία Α είναι 120 μοίρες. Το είχαν θέσει στο αγγλικό φόρουμ πριν δυο τριά χρόνια.
Μπάμπης

[rek2]

Αυτή η άσκηση πρέπει να είχε συζητηθεί στο "παλιό" μathematica, περί το 2005!

[Μπάμπης Στεργίου]

Στη δεκαετία του -80 ο Δ.Κοντογιάννης είχα γράψει άρθρο στον Ευκλείδη Β΄ότι το συμπέρασμα ισχύει και στην ουδέτερη γεωμετρία.
Δεν ασχολήθηκα όμως με αυτή τηνεκδοχή. Ελπίζω κάποια στιγμή να βρω το άρθρο και να το μελετήσω. Κάτι θα ήθελε να πει ο ...ποητής!

Μπάμπης

[Dreamkiller]

Μια προσπάθεια για το αντίστροφο, αν και φαντάζομαι υπάρχει απλούστερη λύση. Η προσέγγιση μου βασίζεται στα δυο παρακάτω λήμματα για τις αρμονικές τετράδες και δέσμες.

Λήμμα 1ο: Έστω οι σεβιανές AΔ, BE, ΓΖ που τέμνονται στο Ρ και έστω Κ η τομή των ΖΔ και ΒΕ. Τότε τα σημεία Β, Κ, Ρ, Ε συνιστούν αρμονική τετράδα.

Λήμμα 2ο: Αν σε μια αρμονική δέσμη δυο από τις ευθείες της είναι κάθετες, τότε αυτές οι ευθείες είναι διχοτόμοι των γωνιών που σχηματίζουν οι δυο άλλες ευθείες της δέσμης.

Στο πρόβλημα τώρα. Έστω Κ τώρα η τομή των ΖΔ και ΒΕ. Σύμφωνα με το πρώτο λήμμα, αφού οι διχοτόμοι συντρέχουν στο έγκεντρο, τα σημεία Κ, Ε είναι αρμονικά συζηγή των Β, Ι. Αφού, εξ υποθέσεως όμως, οι ΚΔ και ΔΕ είναι κάθετες, έχουμε ότι η ΔΚ, άρα η ΔΖ, είναι η διχοτόμος της <ΒΔΑ, σύμφωνα με το δεύτερο λήμμα. Συνεπώς, η ΔΖ εξωτερική διχοτόμος της <ΑΔΓ. Άρα το Ζ παράκεντρο του τριγώνου ΔΑΓ και άρα η ΑΒ εξωτερική διχοτόμος της <ΔΑΓ. Όμως η ΑΔ διχοτόμος της <ΒΑΓ και άρα η <ΒΑΓ 120 μοίρες.

Ελπίζω το πρωινό ξύπνημα να μην κατέστρεψε την άσκηση