απορία αντικατάστασης

mixalis_i · #1

Καλημέρα, έχω μια απορία για μια αντικατάσταση σε ολοκλήρωμα. Γιατί όταν θέτουμε $x=\eta \mu t, x=\sigma \upsilon \nu t$ το $t\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)$ ; Γιατί να μην πούμε ότι ανήκει από $\left[0,2\pi \right]$ ;

#2

Καλησπέρα.
Η απάντηση που μπορώ εγώ να σου δώσω για τo ερωτημά σου είναι:
Τα δύο διαστήματα που αναφέρεις είναι τελείως διαφορετικά μεταξύ τους
και σε αυτά τα ημίτονα και τα συνημίτονα συμπεριφέρονται με διαφορετικό
τρόπο. Κάτι άλλο θέλεις να πεις και ίσως μπερδεύεσαι στη διατύπωση. Επιπλέον
ποιά είναι η εφαρμογή που μελετάς;

parmenides51 · #3

Mε την επιφύλαξη να μην κατάλαβα ακριβώς τι ρωτάς ...

Συνηθίζεται να επιλέγεται διάστημα στο οποίο η αλλαγή μεταβλητής είναι $\displaystyle{1-1}$ συνάρτηση,
πχ. η συνάρτηση $\displaystyle{\eta \mu t}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle{\left[-\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2}\right], \left[\frac{\pi }{2}, \frac{3\pi }{2}\right]}$ ,
κι αντίστοιχα η συνάρτηση $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu t}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle{[0, \pi],[\pi, 2\pi]}$ .

Στο διάστημα $\displaystyle{[0, 2\pi]}$ κάθε μια από τις συναρτήσεις $\displaystyle{\eta \mu t,\sigma \upsilon \nu t}$ παίρνει σχεδόν όλες τις τιμές της από δυο φορές,
ενώ στα παραπάνω διαστήματα από μια φορά σαν $\displaystyle{1-1}$ (φαίνεται κι από τον τριγωνομετρικό κύκλο).

edit
Μερικές παραπομπές σχετικές με την αντικατάσταση στα ολοκληρώματα: εδώ , εδώ και ο Δάσκαλος εδώ

mixalis_i · #4

Ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις και συγνώμη που η ερώτησή μου δεν ήταν σαφής...Στο βιβλίο που μελετάω (και που κάνουμε ασκήσεις στο φροντιστήριο) κόλλησα σε ένα παράδειγμα στη μεθοδολογία, όπου γράφει ακριβώς:
"Για να υπολογίσουμε ολοκλήρωμα της μορφής $\int_{k}^{l}{f\left(x,\sqrt{b^{2}-a^{2}x^{2}} \right)}$ θέτουμε $x=\frac{b}{a}\eta \mu u$ με $u\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]$ " και εδώ ήταν η απορία μου. Το ίδιο διάστημα (αλλά σε ανοιχτό) δίνει και όταν θέτει σε μια άλλη περίπτωση όπου $x=\frac{b}{a}\epsilon \varphi u$ . Οπότε, απ' ότι κατάλαβα ο λόγος είναι επειδή οι συναρτήσεις αυτές στο συγκεκριμένο διάστημα είναι 1-1

;

#5

Τα k,l τι είναι;
Δε βγάζω άκρη γιατί το κάνει έτσι, ειλικρινά.
Μπορεί να είμαι κουρασμένος και να μη βλέπω καλά, αλλά κάτι δε μου αρέσει.

mixalis_i · #6

κ.Χρήστο απ' ότι καταλαβαίνω εγώ τα k,l είναι τα όρια ολοκλήρωσης..

#7

Δεν αμφιβάλλω γι'αυτό που λες. Εγώ εννοούσα πως η αλλαγή που κάνει με το σύνολο ορισμού που δίνει δεν στέκουν.
Μπορεί να κάνω και λάθος όμως. Καλό βράδυ.

απορία αντικατάστασης

απορία αντικατάστασης

Re: απορία αντικατάστασης

Re: απορία αντικατάστασης

Re: απορία αντικατάστασης

Re: απορία αντικατάστασης

Re: απορία αντικατάστασης

Re: απορία αντικατάστασης

Μέλη σε σύνδεση