Μετάλλαξη

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε:Δίνονται: $\blacktriangle \,\,ABC$ , ο περιγεγραμμένος του κύκλος $\left( O,R \right)$ , η διχοτόμος με

$E\in \left( O,R \right)$ , $EZ\bot BC$ , $BH\bot AE$ και $\widehat{C}={{60}^{0}}$ . Να δειχτεί ότι:

$4\left( B{{H}^{2}}+BZ\cdot HZ \right)=B{{C}^{2}}+4Z{{H}^{2}}$ .

$\displaystyle{ \bullet }$ Έστω (χωρίς βλάβη της γενικότητας) ότι: $\displaystyle{ AB < AC }$ και $\displaystyle{ S \equiv BH \cap AC }$ τότε το τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ABS }$ είναι ισοσκελές $\displaystyle{ \left( {AB = AS} \right) }$ αφού $\displaystyle{ AH }$

είναι ύψος και διχοτόμος οπότε θα είναι και διάμεσός του άρα $\displaystyle{ H }$ το μέσο της $\displaystyle{ BS }$ .

$\displaystyle{ \bullet }$ Επειδή $\displaystyle{ AE }$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{ \hat A \Rightarrow E }$ το μέσο του τόξου $\displaystyle{ BC }$ (που δεν περιέχει το $\displaystyle{ A }$ ) και επειδή $\displaystyle{ EZ \bot BC }$ θα είναι $\displaystyle{ Z }$ το μέσο της $\displaystyle{ BC }$ .

[attachment=0]1.png[/attachment]

Στο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle BCS }$ το τμήμα $\displaystyle{ HZ }$ συνδέει τα μέσα των δύο πλευρών του και επομένως ισχύει: $\displaystyle{ \boxed{HZ = \frac{{SC}} {2}}:\left( 1 \right) }$

$\displaystyle{ \bullet }$ Έστω $\displaystyle{ M }$ το μέσο της $\displaystyle{ SC }$ και $\displaystyle{ BB' \bot AC }$ τότε στο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle BSC }$ από το δεύτερο θεώρημα των διαμέσων θα ισχύει:

$\displaystyle{ BC^2 - BS^2 = 2SC \cdot B'M\mathop \Rightarrow \limits^{BS = 2BH\,\,,\,\,SC = 2HZ,\,\,B'M = B'C - MC} \boxed{BC^2 - \left( {2BH} \right)^2 = 2 \cdot 2HZ \cdot \left( {B'C - MC} \right)}:\left( 2 \right) }$

Όμως στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle BB'C\mathop \Rightarrow \limits^{\hat C = 60^0 } \widehat{CBB'} = 30^0 \Rightarrow \boxed{B'C = \frac{{BC}} {2}}:\left( 3 \right) }$ και $\displaystyle{ \boxed{MC = \frac{{SC}} {2}\mathop = \limits^{\left( 1 \right)} HZ}:\left( 4 \right) }$ .

Από $\displaystyle{ \left( 2 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right),\left( 4 \right)} BC^2 - \left( {2BH} \right)^2 = 4HZ \cdot \left( {\frac{{BC}} {2} - HZ} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{BC = 2BZ \to \frac{{BC}} {2} = BZ} BC^2 - 4BH^2 = 4HZ \cdot \left( {BZ - HZ} \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ BC^2 = 4HZ \cdot BZ - 4ZH^2 + 4BH^2 \Rightarrow \boxed{BC^2 + 4ZH^2 = 4\left( {BH^2 + BZ \cdot HZ} \right)} }$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Μετάλλαξη

Μετάλλαξη

Re: Μετάλλαξη

Μέλη σε σύνδεση