Απορία σε άσκηση ανάλυσης

stelmarg · #1

Καλησπέρα παιδιά!
Θα ήθελα να σας ρωτήσω πως αποδεικνύεται μια άσκηση.
Να αποδείξουμε πως υπάρχει διάστημα $D\subset R$ τέτοιο ώστε για κάθε $x, y\in D$ να ισχύει:

$-\frac{1}{2^{200}}+ysin{\frac{1}{y}<xsin\frac{1}{x}<\frac{1}{2^{200}}+ysin{\frac{1}{y}$

#2

H $f\left( x,y\right) =x\sin \frac{1}{x}-y\sin \frac{1}{y}$ έχει στο (0,0)

όριο

. Και εφαρμόζουμε τον ορισμό του ορίου.
Μαυρογιάννης

#3

stelmarg έγραψε:Καλησπέρα παιδιά!
Θα ήθελα να σας ρωτήσω πως αποδεικνύεται μια άσκηση.
Να αποδείξουμε πως υπάρχει διάστημα $D\subset R$ τέτοιο ώστε για κάθε $x, y\in D$ να ισχύει:

$-\frac{1}{2^{200}}+ysin{\frac{1}{y}<xsin\frac{1}{x}<\frac{1}{2^{200}}+ysin{\frac{1}{y}$

Προκύπτει από το ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=x\sin \frac{1}{x}}$ είναι ομοιόμορφα συνεχής π.χ. σε κάθε κλειστό διάστημα $\displaystyle{[a,b]}$ με $\displaystyle{a>0.}$

stelmarg · #4

Αγαπητέ matha μήπως θα μπορούσες να μου πεις πως αποδεικνύεται ότι η $f(x)=xsin\frac{1}{x}$ είναι ομοιομορφα συνεχής?

#5

Φαντάζομαι πως μου επιτρέπει ο Θάνος:
Κάθε συνάρτηση συνεχής σε κλειστό και φραγμένο διάστημα (συμπαγές σύνολο) είναι ομοιόμορφα συνεχής σε αυτό.
Υπάρχει η απόδειξη της παραπάνω πρότασης σε όλα βιβλία Απειροστικού Λογισμού.

giannis84 · #6

θεωρούμε τις συγκλίνουσες ακολουθίες $(x_{n})$ , $(y_{n})$ του (0,1]

με $x_{n}-y_{n} \to 0$ .

Έστω ότι η συνάρτηση

δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής, τότε υπάρχει $\epsilon>0$ ώστε $|f(x_{n})-f(y_{n})|\ge \epsilon$
n
Έχουμε
$\displaystyle\epsilon\le|f(x_{n})-f(y_{n})|=|x_{n}sin\frac{1}{x_{n}}-y_{n}sin\frac{1}{y_{n}}|=|x_{n}sin\frac{1}{x_{n}}-y_{n}sin\frac{1}{y_{n}}+x_{n}sin\frac{1}{y_{n}}-x_{n}sin\frac{1}{y_{n}}|=|x_{n}(sin\frac{1}{x_{n}}-sin\frac{1}{y_{n}})+(sin\frac{1}{y_{n}})(x_{n}-y_{n})|\le \\ |x_{n}||sin\frac{1}{x_{n}}-sin\frac{1}{y_{n}}|+|sin\frac{1}{y_{n}}||x_{n}-y_{n}|\le|x_{n}||\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{y_{n}}|+|x_{n}-y_{n}|= \\ |x_{n}|\cdot\frac{|y_{n}-x_{n}|}{|x_{n}||y_{n}|}+|x_{n}-y_{n}|=|x_{n}-y_{n}|+\frac{|x_{n}-y_{n}|}{|y_{n}|}$ .
Άρα $\displaystyle\epsilon\le|f(x_{n})-f(y_{n})|\le|x_{n}||sin\frac{1}{x_{n}}-sin\frac{1}{y_{n}}|+|sin\frac{1}{y_{n}}||x_{n}-y_{n}|$ (1)
και $\displaystyle\epsilon\le|f(x_{n})-f(y_{n})|\le|x_{n}-y_{n}|+\frac{|x_{n}-y_{n}|}{|y_{n}|}$ (2)

α) Έστω $y_{n}\to0$ τότε είναι και $x_{n}\to0$ (γιατί $x_{n}-y_{n} \to 0$ ).

Έτσι η (1) δίνει $\epsilon\le|f(x_{n})-f(y_{n})|\to0$ που είναι άτοπο.

β) Έστω $y_{n}\nrightarrow0$ τότε υπάρχει μία συγκλίνουσα υπακολουθία της $({y_n})$ έστω η $(y_{k}_{n})$ με $y_{k}_{n}\rightarrow y_{0}\neq0$ .

Υπάρχει φυσικός $n_{0}$ και $\delta>0$ ώστε $|y_{k}_{n}|\ge y_{0}+\delta$ (3) για κάθε $n\ge n_{0}$

H 2 δίνει

$\displaystyle\epsilon\le|f(x_{k}_{n})-f(y_{k}_{n})|\le|x_{k}_{n}-y_{k}_{n}|+\frac{|x_{k}_{n}-y_{k}_{n}|}{|y_{k}_{n}|}\le \\|x_{k}_{n}-y_{k}_{n}|+\frac{1}{y_{0}+\delta}|x_{k}_{n}-y_{k}_{n}|\to 0$
που είναι άτοπο

Άρα η f είναι ομοιόμορφα συνεχής

ελπίζω να μην έχει καποιο λάθος στους δείκτες γιατί την έγραψα κάπως βιαστικά, όποιος έχει όρεξη ας το ελέγξει

Απορία σε άσκηση ανάλυσης

Απορία σε άσκηση ανάλυσης

Re: Απορία σε άσκηση ανάλυσης

Re: Απορία σε άσκηση ανάλυσης

Re: Απορία σε άσκηση ανάλυσης

Re: Απορία σε άσκηση ανάλυσης

Re: Απορία σε άσκηση ανάλυσης

Μέλη σε σύνδεση