Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

[achilleas]

....
3. Οι θετικοί ακέραιοι με ικανοποιούν τη σχέση .
(α) Να δείξετε ότι ο διαιρεί το .
....[/tex] .
....

Το πρόβλημα αυτό είναι "γνωστό".

Yπάρχει στο βιβλίο του P.Zeitz, The Art and Craft of problem solving, 1st edition, σελ. 278, ως πρόβλημα 7.5.13 (Ρωσία 1995), αλλά κυκλοφορεί και στο διαδίκτυο σε φυλλάδιο του Zeitz με πρoβλήματα από τη Bay Area Math Olympiad...

Επίσης το δίδαξα πέρυσι το καλοκαίρι στo καλοκαιρινό σχολείο της ΕΜΕ Ημαθίας στον Άγιο Νικόλαο Νάουσας...

Φιλικά,

Αχιλλέας

[mathfinder]

Αποσύρω τη λύση στο 1ο θέμα των "Μεγάλων", επειδή δεν είναι πλήρως αιτιολογημένη.
Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο για την υπόδειξη .

Αθ. Μπεληγιάννης

[ΛΕΩΝΙΔΑΣ]

Η βράβευση αύριο είναι στις 10 ή στις 11;

[mariosee]

Βγηκαν τα αποτελεσματα;

[ΛΕΩΝΙΔΑΣ]

Βγηκαν τα αποτελεσματα;

Ναι, τώρα παιρνουν τηλέφωνο τους επιτυχόντες.

[mathfinder]

μία λύση για τη γεωμετρία των "ΜΙΚΡΩΝ"

Στο σχήμα το τρίγωνο είναι ισοσκελές , άρα .
Το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο , άρα , και .
Το τρίγωνο είναι ισοσκελές , άρα . Η γωνία όμως είναι εξωτερική στο τρίγωνο , άρα , δηλαδή η διχοτόμος της .

Αθ. Μπεληγιάννης

[K.alexander7]

τα αποτελέσματα συγχαρητήρια στους επιτυχόντες http://www.hms.gr/node/548

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που πέρασαν και την τρίτη φάση του διαγωνισμού. Ειδικά να εκφράσω τα συγχαρητήρια στον Αντώνη Νασιούλα και τον Λώλα Παναγιώτη. και να τους ευχηθώ καλή συνέχεια.

[Eukleidis]

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδια και δη στον συντοπίτη slash.
Καλη τύχη και καλή συνέχεια!

[S.E.Louridas]

Συγχαρητήρια σε όλους τους διαγωνιζόμενους στον διαγωνισμό Αρχιμήδης 2012, στούς γονείς τους και στούς Ανθρώπους που ήταν κοντά τους.
Και από μόνη της η μέχρι εδώ πορεία τους αποτελεί ηχηρή απάντηση.
Πολλά συγχαρητήρια στούς συνεχίζοντες και γιά τους επόμενους Διαγωνισμούς, τον όμορφο αυτό Μαθηματικό και όχι μόνο Αγώνα και Ιδιαίτερα στα παιδιά που μας τιμούν εδώ στο mathematica με την παρουσία τους και πάνω από όλα με την ενεργό συμμετοχή τους, όπως εξ' άλλου ήταν και είναι μαζί μας πολλαπλά και σε διάρκεια οι ενεργοί φάροι πλέον, Μαθηματικοί Ολυμπιονίκες του 2011.
ΚΑΛΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ.

S.E.Louridas

[Μπάμπης Στεργίου]

Πολλά - πολλά συγχαρητήρια στους διακριθέντες και επίσης πολλά μπράβο σε όλα τα παιδιά που διαγωνίστηκαν σε αυτή την κορυφαία μαθηματική πνευματική συνάντηση !

Εύχομαι καλή συνέχεια και να στεφθεί η όλη προσπάθεια με μετάλλια και διακρίσεις !

Μπάμπης

[Μπάμπης Στεργίου]

Από μια πρώτη ματιά, από την Α λυκείου μετάλλιο πήραν 2 μαθητές, ενώ οι μαθητές της Β΄Λυκείου όπως ήταν αναμενόμενο πήραν τα περισσότερα μετάλλια.
Δεν κοίταξα μόνο να δω τι έγινε με τους μαθητές της Β΄γυμνασίου σε σύγκριση με τους μαθητές της Γ΄(γυμν).
Εκεί ο ..αγώνας, είναι όπως καταλαβαίνετε τελείως άνισος.Τόσο άνισος που τολμώ να πω ότι σχεδόν ανώφελο για έναν μαθητής της β γυμνασίου να παίρνει μέρος, πέρα από την εμπειρία και τα παράπλευρα οφέλη.

Τελευταία έκανα μερικές σκέψεις πάνω σε αυτό το θέμα : Θεωρώ ότι στην τρίτη φάση η ολυμπιάδα πρέπει να πάρει την εξής μορφή :

- Β' γυμνασίου : Ξεχωριστά θέματα με δύο θέματα κοινά με την Γ΄ γυμνασίου και 10 βραβεία.

- Γ' γυμνασίου : Ξεχωριστά θέματα με δύο θέματα κοινά με την Β΄ γυμνασίου(ίσως και ένα κοινό με την Α΄Λυκείου) και
15 βραβεία.

- Α Λυκείου : Ξεχωριστά θέματα , ένα θέμα κοινό με την την Γ ΄γυμνασίου , ένα με τη Β΄Λυκείου και 5 βραβεία.

- Β,Γ' Λυκείου : Ξεχωριστά θέματα ,με δύο θέματα κοινά μεταξύ τους και από 10 βραβεία.

Αυτό (διαφορετική ομάδα θεμάτων για κάθε βαθμίδα αλλά με κοινά μερικά θέματα )γίνεται σε πολλές χώρες και έτσι το ενδιαφέρον είναι μεγαλύτερο. Νομίζω ότι δεν είναι δύσκολο να βρεθούν μερικά ακόμα θέματα για τους μεγάλους και πολύ πιο λίγα για τους μικρούς.Θα είναι κάτι που θα αρέσει και θα δυναμώσει το ενδιαφέρον και την άμιλλα των μαθητών .
Η κατανομή των βραβείων έγινε μόνο ενδεικτικά .

Θα πω την πρόταση και στην επιτροπή διαγωνισμών της ΕΜΕ και ας κάνουν ό,τι νομίζουν .

Μπάμπης

[Ch.Chortis]

Με την σειρά μου να ευχηθώ και εγώ συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που διακρίθηκαν.Εκτός από τους προαναφερθέντες νομίζω και οτι και τα μέλη spyros filippas και Λεωνίδας πήραν μετάλλια.Μπράβο σας παιδιά.

[S.E.Louridas]

Για τη Γεωμετρία των Μεγάλων.
Συμφωνώντας απόλυτα με τη Άποψη-Λύση του Γρηγόρη (Grigiris K.) δίνω την σχηματική απόδοση του θέματος (), από όπου εξάγεται άμεσα και η λύση του, παρατηρώντας:
1) τα ερωτήματα α) και β) δεν μπορεί να είναι διαφορετικά ερωτήματα, προσωπικά θα τα ενσωμάτωνα σε ένα.
2) Θεωρώ ότι καλή πρόθεση για το θέμα αυτό είναι να πιεστούν οι διαγωνιζόμενοι να ασχοληθούν με την θεωρία στην Γεωμετρία, καθότι τα θεωρητικά σημεία της Άσκησης είναι σημαντικά μεν αρκετά δε.
Τελικά ο Αρχιμήδης 2012 είχε σαφή θέματα.


(*)
Χαίρομαι ιδιαίτερα γιά την παρέμβαση (δείτε παραπάνω) του Άριστου Συνάδελφου Αχιλλέα Συνεφακόπουλου (Achilleas) , στο θερινό Σχολείο στην Βέροια, αφού είναι άλλη μία απόδειξη των πολλαπλά αξιόλογων συναδέλφων με πολλά και ποιοτικά δείγματα γραφής που "κυκλοφορούν" στη Πατρίδα.


S.E.Louridas

[ΑΡΣΕΝΟΗ]

Με την σειρά μου να ευχηθώ και εγώ συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που διακρίθηκαν.Εκτός από τους προαναφερθέντες νομίζω και οτι και τα μέλη spyros filippas και Λεωνίδας πήραν μετάλλια.Μπράβο σας παιδιά.

Ναι και οι δύο πήραν μετάλλιο.
Συγχαρητήρια να τους πώ και εγώ και καλή συνέχεια!!!Οι κόποι σας, ανταμείφθηκαν.

Από μια πρώτη ματιά, από την Α λυκείου μετάλλιο πήραν 2 μαθητές, ενώ οι μαθητές της Β΄Λυκείου όπως ήταν αναμενόμενο πήραν τα περισσότερα μετάλλια.
Δεν κοίταξα μόνο να δω τι έγινε με τους μαθητές της Β΄γυμνασίου σε σύγκριση με τους μαθητές της Γ΄(γυμν).
Εκεί ο ..αγώνας, είναι όπως καταλαβαίνετε τελείως άνισος.Τόσο άνισος που τολμώ να πω ότι σχεδόν ανώφελο για έναν μαθητής της β γυμνασίου να παίρνει μέρος, πέρα από την εμπειρία και τα παράπλευρα οφέλη.

Μπάμπης

Να πώ και εγώ μια παρατήρηση...
Στα παιδιά γυμνασίου, απο τα 24 παιδιά που διακρίθηκαν, τα 4 ήταν κορίτσια.
Στα παιδιά λυκείου, το 1 μόνο ήταν κορίτσι

[vittasko]

Αξίζει επίσης να πούμε ότι τα δύο πρώτα ζητούμενα ( και όπως λέει ο Σωτήρης, είναι ουσιαστικά το ίδιο ζητούμενο ) στην Γεωμετρία των μεγάλων, αληθεύουν για τυχόν σημείο επί της πευράς και όχι απαραίτητα το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας

Το τρίτο ζητούμενο ισχύει επίσης, αν αναφερθούμε στην όχι ως της μεσοκάθετης του που ισχύει λόγω του ισοσκελούς τριγώνου αλλά ως της διαμέσου , όπου το μέσον του του τυχόντος πλέον τριγώνου , η οποία διχοτομεί προφανώς το τμήμα , λόγω του τραπεζίου

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Δείτε παρακάτω τη λύση του Θανάση ( KARKAR ) όπου για τις σχετικές παραλληλίες, δεν λαμβάνεται υπόψη ότι το είναι το ίχνος της διχοτόμου της γωνίας Το κέντρο του κύκλου βρίσκεται πάντοτε επί της και έτσι, οι δύο κύκλοι εφάπτονται στο

[Μάκης Χατζόπουλος]

Συγχαρητήρια σε όλους τους συμμετέχοντες!

Καλή συνέχεια σε όσους διακρίθηκαν, τα παιδιά αυτά έχουν ταλέντο και γνώσεις, ίσως πολύ ανώτερο από κάποιων καθηγητών, ιδιαίτερες ευχές στον Αντώνη Νασιούλα , Λώλα Παναγιώτη και Πέττα Αικατερίνη (από το 2ο Γυμνάσιο Ζακύνθου)!

[pana1333]

Θερμά Συγχαρητήρια. Άντε και εις ανώτερα!!!!!

[KARKAR]

Η παρατήρηση , ότι οι δύο κύκλοι έχουν κοινή εφαπτομένη στο , "διαλύει " την άσκηση , αφού τότε είναι ίσες ( μεταξύ τους )

οι πράσινες και οι κόκκινες γωνίες ( χορδής - εφαπτομένης ) , και οι προκύπτουσες παραλληλίες ολοκληρώνουν τη λύση ..

[silouan]

Συγχαρητήρια σε όλους τους διακριθέντες (δε μπορώ για άλλη μια χρονιά να μη συγχαρώ τον πατριώτη μου Παναγιώτη Λώλα για την πρώτη θέση , καθώς και τον επίσης πατριώτη Κωνσταντίνο Τσίνα). Συγχαρητήρια επίσης σε όλους όσους διακρίθηκαν αλλά και γενικά πήραν μέρος στο διαγωνισμό και καλή επιτυχία στη συνέχεια.

Να πώ και εγώ μια παρατήρηση...
Στα παιδιά γυμνασίου, απο τα 24 παιδιά που διακρίθηκαν, τα 4 ήταν κορίτσια.
Στα παιδιά λυκείου, το 1 μόνο ήταν κορίτσι

Αυτό είναι το ποσοστό κάθε χρονιά! Και στις ομάδες είναι συνήθως 1/6 κορίτσια (το πολύ). Ας πούμε τα τελευταία χρόνια, στους μεγάλους μετά το 2008 δεν έχει μπει κοπέλα στην ομάδα.
Σπανιότατο επίσης είναι κοπέλα να έχει το πρώτο χρυσό. Αυτό έγινε φέτος στους μικρούς μετά από πολλά χρόνια (εγώ τουλάχιστον από το 2005 και πέρα δε θυμάμαι πρώτο χρυσό στους μικρούς σε κοπέλα).
Στους μεγάλους επίσης μια από τα ίδια (μιλάω για πρώτο χρυσό). Εκτός από το 2008 όπου το πρώτο χρυσό στους μεγάλους κέρδισε κοπέλα.....
Αυτά για την ιστορία, ξέχασα καμιά περιπτώση ας με συμπαθάει η κοπελιά