Μονοτονία

Grigoris · #1

Έστω $f\left( x \right)=x{{e}^{x}}-1\, \, \kappa \alpha \iota \, \, h\left( x \right)=\left( x-1 \right){{e}^{x}}-\left( x+1 \right)$ . Να αποδείξετε ότι η

έχει μία ακριβώς ρίζα ${{x}_{0}}\in \left( 0,1 \right)$ και ότι η

έχει ακριβώς 2 ρίζες αντίθετες.

Edit από γενικούς Συντονιστές.

#2

H συνάρτηση

είναι συνεχής στο [0,1]

ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων xe^x

(γινόμενο συνεχών συναρτήσεων) και

(σταθερή) με f(0)f(1)=1-e<0

, οπότε από το θεώρημα Bolzano υπάρχει $x_0 \in (0,1)$ τέτοιο ώστε f(x_0)=0

.

Επίσης η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ ως άθροισμα των παραγωγίσιμων συναρτήσεων xe^x

(γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων) και

(σταθερή) με f'(x)=e^x(x+1)>0

, οπότε η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[-1,+\infty)$ , άρα και στο (0,1)

και
η

έχει το πολύ μια ρίζα.

Συνεπώς το x_0

είναι η μοναδική ρίζα της f(x)=0

.

H συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ ως άθροισμα των παραγωγίσιμων συναρτήσεων (x-1)e^x

(γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων) και -x-1

(πολυωνυμική) με h'(x)=xe^x-1

.

Αποδείξαμε ότι η h'(x)=0

έχει μοναδική ρίζα $x_0 \in (0,1)$ και αφού η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[-1,+\infty)$ ,
η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[x_0,+\infty)$ ,
η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty, x_0]$ και
παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x=x_0

το

.

Αφού το x_0

είναι ρίζα της f(x)=0

, έχουμε ότι $\displaystyle{e^{x_0}=\frac{1}{x_0}}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{h(x_0)=\frac{-1-x_0^2}{x_0}<0}$ .

Τέλος:
* Αν $x\in A_1=(-\infty,x_0]$ , όπου η

είναι γνησίως φθίνουσα έχουμε ότι $h(A_1)=[h(x_0),+\infty)$ , δηλαδή $0 \in h(A_1)$ οπότε υπάρχει μοναδική ρίζα της h(x)=0

στο

.
* Αν $x\in A_2=[x_0,+\infty)$ , όπου η

είναι γνησίως αύξουσα έχουμε ότι $h(A_2)=[h(x_0),+\infty)$ , δηλαδή $0 \in h(A_2)$ οπότε υπάρχει μοναδική ρίζα της h(x)=0

στο

.
Συνεπώς η h(x)=0

έχει δύο ακριβώς ρίζες στο $\mathbb{R}$ .

Υ.Γ. Ευχαριστώ το Ροδόλφο για τις επισημάνσεις στα διαστήματα.

#3

λάθος εκφώνηση για την h

#4

Σωστά Ροδόλφε.

Συμπληρώνω λοιπόν.

Αν a>0

μια ρίζα της h(x)=0

έχουμε ότι: $\displaystyle{(a-1)e^a-(a+1)=0 \Leftrightarrow e^a=\frac{a+1}{a-1} \Leftrightarrow e^{-a}=\frac{a-1}{a+1}}$ .

Τότε:

$\displaystyle{h(-a)=(-a-1)e^{-a}-(-a+1)=-(a+1)\frac{a-1}{a+1}+a-1=-(a-1)+a-1=0}$ ,
οπότε η h(x)=0

έχει δύο ακριβώς αντίθετες ρίζες.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #5

viewtopic.php?f=53&t=4950&p=27851#p27851
viewtopic.php?f=53&t=12902&p=69706#p69706

jjoohhnn · #6

Αποδείξαμε ότι η έχει μοναδική ρίζα $x_0 \in (0,1)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα στο $[-1,+\infty)$ ,
η είναι γνησίως αύξουσα στο $[x_0,+\infty)$ ,
η είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty, x_0]$ και
παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για το .

Μπορούμε να βρούμε το πρόσημο της

στο $(-\infty,-1)$ ;

chris · #7

jjoohhnn έγραψε:
Αποδείξαμε ότι η έχει μοναδική ρίζα $x_0 \in (0,1)$ και αφού η είναι γνησίως αύξουσα στο $[-1,+\infty)$ ,
η είναι γνησίως αύξουσα στο $[x_0,+\infty)$ ,
η είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty, x_0]$ και
παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για το .
Μπορούμε να βρούμε το πρόσημο της στο $(-\infty,-1)$ ;

Για

είναι προφανές αφού για x<0

είναι

και άρα

δηλαδή

...βέβαια το ίδιο πρόσημο ισχύει και γενικά για x<x_0

λόγω μονοτονίας.

parmenides51 · #8

για την

και εδώ

Μονοτονία

Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Μέλη σε σύνδεση