Άθροισμα και διαιρέτες

Nazgul · #1

Καλησπέρα σε όλους. Θα εκτιμούσα τη βοήθεια σας στο παρακάτω θέμα.

Να βρεθούν όλοι οι διαιρέτες του αριθμού A_n=1+2^2+3^3+...+ n^n

, για κάποιο δοθέν $n\epsilon N$ καθώς και το άθροισμα αυτών.

Επίσης υπάρχει τρόπος να υπολογιστεί ο αριθμός αυτός, δηλαδή το άθροισμα $\sum_{i=1}^{n}{i^i}$ ?

caley-hamilton · #2

Βασικά αν βρούμε το άθροισμα: $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} {i^i}$ νομίζω είμαστε οκ για τους διαιρέτες και για το άθροισμά τους.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αρχιμήδης 6 · #3

Nικόλα έκανα μια έρευνα μόνος μου αφού δεν μπόρεσα να βρω κάποια πηγή και πείσμωσα....
Προσπάθησα να βρώ ένα φράγμα και εικάζω πως το βρήκα...( Aν κάποιος έχει κάτι χρήσιμο για το θέμα να το πει παρακαλώ .)
για i>3

και

βρίσκω ότι
$\displaystyle{[\frac{(i+1)^{i+1}}{S_i}]-[\frac{i^i}{S_{i-1}}]=3}$
Αν i>3

και

τότε
$\displaystyle{[\frac{(i+1)^{i+1}}{S_i}]-[\frac{i^i}{S_{i-1}}]=2}$
Aν αυτό ισχύει (δύσκολο κάπως...επαληθεύομαι μέχρι και i=14

.Για πιο μεγάλα

δεν έχω ελέγξει. ) τότε έχω βρεί το άθροισμα....

Φιλικά ,
Δημήτρης

Αρχιμήδης 6 · #4

(Βλέπε παρακάτω τα κόκκινα έγινε διόρθωση.) Η παράγραφος διαγράφηκε.

Παρακάτω δίνω τις ακριβή τιμές της συνάρτησης $\displaystyle{[\frac{(i+1)^{i+1}}{S_i}]$ .
$\displaystyle{[\frac{2^2}{S_1}]=4$ .
$\displaystyle{[\frac{3^3}{S_2}]=5$ (Εδώ έγινε διόρθωση και βγαίνει μια λογική..
$\displaystyle{[\frac{4^4}{S_3}]=8$
$\displaystyle{[\frac{5^5}{S_4}]=10$ .
$\displaystyle{[\frac{6^6}{S_5}]=13$
$\displaystyle{[\frac{7^7}{S_6}]=16$
$\displaystyle{[\frac{8^8}{S_7}]=19$ .
$\displaystyle{[\frac{9^9}{S_8}]=21$
$\displaystyle{[\frac{10^{10}}{S_9}]=24$
$\displaystyle{[\frac{11^{11}}{S_{10}}]=27$ .
$\displaystyle{[\frac{12^{12}}{S_{11}}]=30$
$\displaystyle{[\frac{13^{13}}{S_{12}}]=32$
$\displaystyle{[\frac{14^{14}}{S_{13}}]=35$ .
Φιλικά,
Δημήτρης

Αρχιμήδης 6 · #5

Σύμφωνα με την λογική μου με απλά λόγια αν S_i=1+2^2+3^3+....i^i

τότε..
Aν i>1

$\displaystyle{[\frac{(i+1)^{i+1}}{S_i}]=3i-1-[\frac{i}{4}]}$

caley-hamilton · #6

Αρχιμήδης 6 έγραψε: Αν και τότε
$\displaystyle{[\frac{(i+1)^{i+1}}{S_i}]-[\frac{i^i}{S_{i-1}}]=2}$
Aν αυτό ισχύει (δύσκολο κάπως...επαληθεύομαι μέχρι και .Για πιο μεγάλα δεν έχω ελέγξει. ) τότε έχω βρεί το άθροισμα....

Μισό λεπτό!!!
Για i=4

αν δε κάνω λάθος βγαίνει $\displaystyle{[\frac{(5)^{5}}{S_4}]-[\frac{4^4}{S_{3}}]=\displaystyle{[\frac{5^{5}}{288}]-[\frac{4^4}{32}]=8\neq 2$

Ωραία,όλα αυτά που λές.Ένα άλλο ερώτημα που μπορεί να διευκολύνει την κατάσταση(δε ξέρω κατά πόσο) είναι:
$\star$ )Nα βρεθεί το πλήθος των διαιρετών του και έπειτα καθένας απ'αυτούς.

Εγώ σκεφτόμουν επαγωγή στο πλήθος των διαιρετών του καθενός προσθετέου.Δλδ,τι θέλω να πω μ'αυτό;

Aς πούμε για n=3

,είναι

,έχει

διαιρέτες.Όμως οι 1,2^2,3^3

έχουν αντοίστιχα 1,3,4

διαιρέτες.
Άρα ο αριθμός A_3=1+2^2+3^3

έχει $1\cdot 3\cdot 4=12$ διαιρέτες.Άτοπο!!! αφού έχει 6 διαιρέτες.
Αυτό που λέω κάπου κολλάει όμως.
Άρα σκεπτόμενος έτσι ο A_n

έχει $\frac{(n+1)!}{2}$ διαιρέτες.
To ξέρω ότι το επιχείρημα δε δουλεύει,όμως το γιατί είναι το θέμα????

Αρχιμήδης 6 · #7

Φίλε Νίκο καταρχήν ευχαριστώ που κοίταξες όσα έγραψα...Αλλά...
Για i=4

η τιμή της συνάρτησης είναι 10-8=2

όπως ακριβώς ισχυρίζομαι...Θα το δεις αρκεί να ξανακάνεις τις διαιρέσεις...
Όσο για αυτό που ψάχνεις με τους διαιρέτες έχω την εντύπωση ότι ο ισχυρισμός σου δεν λειτουργεί γιατι η συνάρτηση που δίνει το πλήθος των διαιρετών δεν είναι προσθετική συνάρτηση...Έτσι πιστεύω τουλάχιστον εκ πρώτης όψεως....Θα το κοιτάξω πιο προσεχτικά όταν είμαι σε ένα πιο ήρεμο μέρος...

Φιλικά,
Δημήτρης

Αρχιμήδης 6 · #8

Ίσως και οι Γεννήτριες συναρτήσεις βοηθήσουνε για την εύρεση ενός κλειστού τύπου του αθροίσματος...Τις μελετάω..

Άθροισμα και διαιρέτες

Άθροισμα και διαιρέτες

Re: Άθροισμα και διαιρέτες

Re: Άθροισμα και διαιρέτες

Re: Άθροισμα και διαιρέτες

Re: Άθροισμα και διαιρέτες

Re: Άθροισμα και διαιρέτες

Re: Άθροισμα και διαιρέτες

Re: Άθροισμα και διαιρέτες

Μέλη σε σύνδεση