Κι άλλες ανισοτικές σχέσεις

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Απάντηση
JimVerman

Κι άλλες ανισοτικές σχέσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimVerman » Κυρ Δεκ 18, 2011 5:24 pm

1) Δίνεται τρίγωνο ABC με AB<AC και η διχοτόμος του AD. Στην πλευρά του AC, έστω σημείο E ώστε να είναι AE=AB. Να δειχθεί ότι:
i) Το τετράπλευρο ABDE έχει κάθετες διαγωνίους,
ii) Η AD διχοτομεί και την γωνία B\hat{D}E,
iii) DC>DB,
iv) Δεν υπάρχει τρίγωνο με πλευρές AB, AC, EC.

2) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC και σημείο D εσωτερικό της πλευράς BC. Από το σημείο D φέρουμε τμήμα DE κάθετο στην AB και τμήμα DZ κάθετο στην AC. Να δειχθεί ότι:
i) \frac{b+c-a}{2} < AD < \tau, όπου \tau η ημιπερίμετρος του τριγώνου,
ii) EZ < BC.

edit: στο ερώτημα 2).ii) Είναι όντως EZ<BC αντί για KL<BC.
τελευταία επεξεργασία από JimVerman σε Δευ Δεκ 19, 2011 11:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κορυφή
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4830
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Κι άλλες ανισοτικές σχέσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Δευ Δεκ 19, 2011 9:36 pm

JimVerman έγραψε:
2) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC και σημείο D εσωτερικό της πλευράς BC. Από το σημείο D φέρουμε τμήμα DE κάθετο στην AB και τμήμα DZ κάθετο στην AC. Να δειχθεί ότι:
i) \frac{b+c-a}{2} < AD < \tau, όπου \tau η ημιπερίμετρος του τριγώνου,
ii) KL < BC.


Μάλλον θέλει EZ<BC αντί KL<BC


Κορυφή
JimVerman

Re: Κι άλλες ανισοτικές σχέσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimVerman » Δευ Δεκ 19, 2011 11:19 pm

Όντως, σας ευχαριστώ για τη διόρθωση και συγγνώμη για την αναστάτωση!
τελευταία επεξεργασία από JimVerman σε Παρ Ιαν 06, 2012 7:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
ΑΡΣΕΝΟΗ
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 5:23 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Εύβοιας

Re: Κι άλλες ανισοτικές σχέσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΑΡΣΕΝΟΗ » Τετ Δεκ 21, 2011 3:48 pm

JimVerman έγραψε:
2) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC και σημείο D εσωτερικό της πλευράς BC. Από το σημείο D φέρουμε τμήμα DE κάθετο στην AB και τμήμα DZ κάθετο στην AC. Να δειχθεί ότι:
i) \frac{b+c-a}{2} < AD < \tau, όπου \tau η ημιπερίμετρος του τριγώνου,
ii) EZ < BC.
Καλησπέρα.

για το i): απο τριγωνική ανισότητα έχουμε:
b-DC<ADκαιc-BD<AD
μα πρόσθεση των δύο σχέσεων έχουμε:
b+c-(DC+BD)<AD \Leftrightarrow b+c-a<2AD \Leftrightarrow \frac{b+c-a}{2}<AD

πάλι απο τριγωνικη ανισότητα έχουμε:
AD<DC+b καιAD<BD+c
με πρόσθεση έχουμε:
2AD<a+b+DC+BD \Leftrightarrow AD<\frac{a+b+c}{2}=\tau

για το ii)
δε ξέρω όμως άμα είναι σωστός ο τρόπος που το ''πάω''...(περιμένω διόρθωση απο τους μεγαλύτερους του :santalogo: :) )

τα τρίγωνα BED και DZC είναι ορθογώνια.Ετσι:
ZD<DC και ED<BD
με πρόσθεση των δύο σχέσεων έχουμε:
ZD+ED<BC. Όμως EZ<ZD+ED και άρα( μπορώ να βγάλω τέτοιο συμπέρασμα? ) EZ<BC

edit: σε ευχαριστώ για τη λύση της απορίας...και εγω αυτό έλεγα αλλά δεν ήμουν σίγουρη :shock:
τελευταία επεξεργασία από ΑΡΣΕΝΟΗ σε Τετ Δεκ 21, 2011 8:03 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μερικές φορές είναι τα μικρότερα πράγματα αυτά,
που γεμιζουν το μεγαλύτερο κομμάτι της καρδιάς μας...
Κορυφή
JimVerman

Re: Κι άλλες ανισοτικές σχέσεις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimVerman » Τετ Δεκ 21, 2011 6:05 pm

Βεβαίως και ισχύει! Είναι η μεταβατικη ιδιότητα: \alpha \nu \, \alpha \prec \beta \, \kappa \alpha \iota \, \beta \prec \gamma \, \tau \acute{o}\tau \varepsilon \, \alpha \prec \gamma.


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης