Frobenius-Fuchs

MANOLISMATHS · #1

Καταφεύγω στην τελευταία μου ελπίδα.
Έχοντας λύσει πολλές διαφορικές γύρω από κανονικό ανώμαλο σημείο.
Υπέθεσα ότι και η παρακάτω θα ήταν παρόποια, δυστυχώς έκανα λάθος.

Δεν ξέρω αν κάνω κάπου επαναλαμβανόμενα το ίδιο λάθος αλλά δεν βγαινει
$x\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}-\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+4x^2y=0$

Παρακαλώ οποιαδήποτε βοήθεια ευπρόσδεκτη

Να βρεθεί η γενική λύση της y(x)

#2

Αφού το σημείο είναι κανονικό ανώμαλο, αναζητούμε τη λύση (στην περιοχή του

) στη μορφή $\displaystyle{x^{a}\sum_{n\geq0}a_{n}x^n}$ με $a_{0}\neq0$ .

Αντικαθιστώντας στη διαφορική θα πάρουμε

$\displaystyle{(a^2-2a)a_{0}x^{a-2}+(a^2-1)a_{1}x^{a-1}+(\color{red}a^2+2a\color{black})a_{2}x^a+\sum_{n\geq0}\left[\left(n^2+(4+2a)n+a^2+4a+3\right)a_{n+3}+4a_{n}\right]x^{n+a+1}=0}$

Εξισώνοντας τον πρώτο συντελεστή με το

και αφού $a_{0}\neq0$ , παίρνουμε a=0

ή

.

Η πρώτη περίπτωση θα δώσει $a_{3n+1}=a_{3n+2}=0$ για $n\geq0$ και $\displaystyle{a_{3n}=(-4)^n a_{0}\prod_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(3k)^2+4(3k)+3}=a_{0}\left(-\frac{4}{9}\right)^n\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(n+1/3)\Gamma(n+1)}}$ για $n\geq1$ .

Άρα η μια λύση θα είναι η $\displaystyle{\color{red}a_{0}\sum_{n\geq1}\left(-\frac{4}{9}\right)^n\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(n+1/3)\Gamma(n+1)}x^{3n}}$

Για a=2

θα κάνεις τα αντίστοιχα για να πάρεις τη δεύτερη λύση.

Ένα ωραίο βιβλίο με κάμποσα παραδείγματα για αυτά είναι το Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers (Asymptotic Methods and Perturbation Theory) των C.M.Bender και S.A.Orszag. Υπάρχει στο δίκτυο.

Διόρθωσα τυπογραφικό. Το αποτέλεσμα όμως παραμένει το ίδιο.

MANOLISMATHS · #3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Αφού το σημείο είναι κανονικό ανώμαλο, αναζητούμε τη λύση (στην περιοχή του ) στη μορφή $\displaystyle{x^{a}\sum_{n\geq0}a_{n}x^n}$ με $a_{0}\neq0$ .

Αντικαθιστώντας στη διαφορική θα πάρουμε

$\displaystyle{(a^2-2a)a_{0}x^{a-2}+(a^2-1)a_{1}x^{a-1}+(a^2+3a-2)a_{2}x^a+\sum_{n\geq0}\left[\left(n^2+(4+2a)n+a^2+4a+3\right)a_{n+3}+4a_{n}\right]x^{n+a+1}=0}$

Εξισώνοντας τον πρώτο συντελεστή με το και αφού $a_{0}\neq0$ , παίρνουμε ή .

Η πρώτη περίπτωση θα δώσει $a_{3n+1}=a_{3n+2}=0$ για $n\geq0$ και $\displaystyle{a_{3n}=(-4)^n a_{0}\prod_{k=0}^{n-1}\frac{1}{(3k)^2+4(3k)+3}=a_{0}\left(-\frac{4}{9}\right)^n\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(n+1/3)\Gamma(n+1)}}$ για $n\geq1$ .

Για θα κάνεις τα αντίστοιχα για να πάρεις τη δεύτερη λύση.

Ένα ωραίο βιβλίο με κάμποσα παραδείγματα για αυτά είναι το Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers (Asymptotic Methods and Perturbation Theory) των C.M.Bender και S.A.Orszag. Υπάρχει στο δίκτυο.

Ευχαριστώ πολύ.Ναι έσπαγα το κεφάλι μου τι να έκανα με το a_1

και το

.Όταν λέτε στο δίκτυο υποθέτω εννοείται στο γνωστό άγνωστο site με τα πολλά βιβλία.

Απλά το θέμα είναι ότι στο σύγγραμμα που μελετούσα θέτει ως ειδική περίπτωση όταν οι όροι του a_0

δηλαδή

διαφέρουν κατά ακέραιο τρόπο ότι προκύπτει με ειδική παραγώγιση.
Θα την ξαναδώ .Ευχαριστώ και πάλι πάντως ,με ξεκολλήσατε

MANOLISMATHS · #4

Λοιπόν για να δούμε τι βγάζω εγώ
$\\\displaystyle x\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}-\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+4x^2y&=0\Rightarrow\\ \displaystyle x\sum_{n=0}^{+\infty}(a_nx^{n+r})^{\prime\prime}-\sum_{n=0}^{+\infty}(a_nx^{n+r})^{\prime}+4x^2\sum_{n=0}^{+\infty}(a_nx^{n+r})&=0\Rightarrow\\ \displaystyle x\sum_{n=0}^{+\infty}((n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-2})-\sum_{n=0}^{+\infty}((n+r)a_nx^{n+r-1})+\sum_{n=0}^{+\infty}(4a_nx^{n+r+2})&=0\Rightarrow\\ \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}((n+r)(n+r-1)a_nx^{n+r-1})-\sum_{n=0}^{+\infty}((n+r)a_nx^{n+r-1})+\sum_{n=0}^{+\infty}(4a_nx^{n+r+2})&=0\Rightarrow\\ \displaystyle r(r-2)a_ox^{r-1}+(r+1)(r-1)a_1x^{r}+r(r+2)a_2x^{r+1}+\sum_{n=3}^{+\infty}((n+r)(n+r-2)a_{n+3}x^{n+r-1})+\sum_{n=0}^{+\infty}(4a_nx^{n+r+2})&=0\Rightarrow\\\\$

$\displaystyle r(r-2)a_ox^{r-1}+(r+1)(r-1)a_1x^{r}+r(r+2)a_2x^{r+1}+\sum_{n=0}^{+\infty}((n+r+3)(n+r+1)a_{n+3}x^{n+r+2})+\sum_{n=0}^{+\infty}(4a_nx^{n+r+2})=0\Rightarrow\\$

Και καταλήγω στην
$a_{n+3}=\dfrac{-4a_{n}}{(n+r+3)(n+r+1)},\ a_1=a_2=0\xrightarrow[r=0]{n+3=3k}\\ a_{3k}=\dfrac{-4a_{3(k-1)}}{(3k)(3k-2)}$

Πρώτον μπορει κάποιος να το κάνει να μην κατεβαίνει γραμμή και δεύτερον είναι ιδέα μου ή δεν βγάλαμε το ίδιο και να γιατί

#5

MANOLISMATHS έγραψε:Απλά το θέμα είναι ότι στο σύγγραμμα που μελετούσα θέτει ως ειδική περίπτωση όταν οι όροι του δηλαδή διαφέρουν κατά ακέραιο τρόπο ότι...

Ναι, αυτό που λες ισχύει. Δεν έκατσα να δω και την άλλη περίπτωση. Δες άμα σε βοηθάει το βιβλίο που αναφέρω στη σελίδα 72 και μετά. Το βιβλίο υπάρχει στο library.nu

Frobenius-Fuchs

Frobenius-Fuchs

Re: Frobenious-Fuchs

Re: Frobenious-Fuchs

Re: Frobenious-Fuchs

Re: Frobenious-Fuchs

Μέλη σε σύνδεση