Συνεχής επέκταση

AlexandrosG · #1

Έστω

κλειστό υποσύνολο του $\mathbb{R}$ και $f:A\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής τέτοια ώστε g(x)=f(x)

για κάθε $x \in A$ .

#2

AlexandrosG έγραψε:Έστω κλειστό υποσύνολο του $\mathbb{R}$ και $f:A\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής τέτοια ώστε για κάθε $x \in A$ .

Πρόκειται για ένα πάρα πολύ ενδιαφέρον θεώρημα της Ανάλυσης με όνομα Tietze Εxtension Theorem. Ισχύει και σε γενικότερους τοπολογικούς χώρους που συμπεριλαβάνουν τους Μετρικούς και τους συμπαγείς Hausdorff. Μπορεί να το βρει κανείς στις προχωρημένες Αναλύσεις ή σε βιβλία Τοπολογίας. Ειδικά για το $\mathbb R$ , τα πράγματα είναι "κάπως πιο απλά" αλλά όχι απλά. Στο ιντερνέτ μπορεί κανείς να βρει διάφορες αποδείξεις (π.χ. με χρήση του Λήμματος Uryshon) αλλά αξίζει να ασχοληθεί κανείς μόνος του, αν δεν το έχει ήδη δει.

Φιλικά,

Μιχάλης

Συνεχής επέκταση

Συνεχής επέκταση

Re: Συνεχής επέκταση

Μέλη σε σύνδεση