Άσκηση με ανισότητα

Nazgul · #1

Καλησπέρα σας. Αν μπορεί κάποιος ας με βοηθήσει με την παρακάτω άσκηση. Μάλλον χρειάζεται ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού-αρμονικού μέσων, αλλά δεν μπορώ να βγάλω άκρη. Ευχαριστώ.

Αν $a_n=\sqrt[n]{a}$ με $a\epsilon\Re$ , a>0

, $n \epsilon \mathbb{N}$ , να δείξετε ότι:

$\frac{an}{1+an}< a_n<1+\frac{a}{n}$

#2

Μας κάνει ο Bernoulli:

$\displaystyle{\Big(\frac{1+an}{an}\Big)^n=\Big(1+\frac{1}{an}\Big)^n\geq 1+\frac{1}{an}n=1+\frac{1}{a}>\frac{1}{a},}$

οπότε προκύπτει η αριστερή.

Ακόμα είναι

$\displaystyle{\Big(1+\frac{a}{n}\Big)^n\geq 1+\frac{a}{n}n=1+a>a,}$ οπότε προκύπτει η δεξιά.

Nazgul · #3

Όντως

... Ευχαριστώ πάρα πολύ για το χρόνο σας

Καληνύχτα.

Nazgul · #4

Έχω πρόβλημα με άλλη μία ανίσωση. ( να διευκρινίσω ότι δεν πρόκειται για ασκήσεις προς παράδοση σε κάποιον καθηγητή, απλά διαβάζω από ένα βιβλίο για το οποίο δεν υπάρχουν απαντήσεις-υποδείξεις και γενικά δεν έχω κάποιον να με βοηθήσει)
Αν $a_n=\sqrt[n]{n}$ , με $n \epsilon \mathbb{N-}$ $\left\{1\right\}$ , να δείξουμε ότι: $a_n<1-\frac{2}{n} +\frac{2}{\sqrt{n}}$

Βρίσκω ότι ισοδύναμα πρέπει να ισχύει: $\left( 1 + \frac{2(\sqrt{n}-1)}{n} \right)^n > n$

Όμως από Bernoulli προκύπτει ότι: $\left( 1 + \frac{2(\sqrt{n}-1)}{n} \right)^n > 2\sqrt{n}-1$ και δεν μπορώ να συνεχίσω γιατί δεν ισχύει ότι $2\sqrt{n}-1 > n$

#5

Nazgul έγραψε:Έχω πρόβλημα με άλλη μία ανίσωση. ( να διευκρινίσω ότι δεν πρόκειται για ασκήσεις προς παράδοση σε κάποιον καθηγητή, απλά διαβάζω από ένα βιβλίο για το οποίο δεν υπάρχουν απαντήσεις-υποδείξεις και γενικά δεν έχω κάποιον να με βοηθήσει)
Αν $a_n=\sqrt[n]{n}$ , με $n \epsilon \mathbb{N-}$ $\left\{1\right\}$ , να δείξουμε ότι: $a_n<1-\frac{2}{n} +\frac{2}{\sqrt{n}}$

Βρίσκω ότι ισοδύναμα πρέπει να ισχύει: $\left( 1 + \frac{2(\sqrt{n}-1)}{n} \right)^n > n$

Όμως από Bernoulli προκύπτει ότι: $\left( 1 + \frac{2(\sqrt{n}-1)}{n} \right)^n > 2\sqrt{n}-1$ και δεν μπορώ να συνεχίσω γιατί δεν ισχύει ότι $2\sqrt{n}-1 > n$

Εδώ θα χρησιμοποιήσω ανισότητα ΑΜ-ΓΜ:

Είναι

$\displaystyle{1-\frac{2}{n}+\frac{2}{\sqrt{n}}=\frac{n-2+2\sqrt{n}}{n}=\frac{1+1+1+\cdots +1+\sqrt{n}+\sqrt{n}}{n}>\sqrt[n]{1\cdot 1\cdots 1\cdot \sqrt{n}\sqrt{n}}=\sqrt[n]{n}.}$

#6

Ας σημειώσουμε, ότι από τις ανισότητες που αποδείχθηκαν παραπάνω, προκύπτει

$\displaystyle{\lim \sqrt[n]{a}=1}$ και $\displaystyle{\lim \sqrt[n]{n}=1.}$

Nazgul · #7

Ευχαριστώ πάρα πολύ και πάλι.

Άσκηση με ανισότητα

Άσκηση με ανισότητα

Re: Άσκηση με ανισότητα

Re: Άσκηση με ανισότητα

Re: Άσκηση με ανισότητα

Re: Άσκηση με ανισότητα

Re: Άσκηση με ανισότητα

Re: Άσκηση με ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση