Maclaurin

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 416
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Maclaurin

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Κυρ Ιουν 02, 2019 11:17 pm

Να βρεθεί η σειρά Maclaurin της f(x)=e^{e^x}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3862
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη , Παρίσι
Επικοινωνία:

Re: Maclaurin

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Ιουν 03, 2019 6:40 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Κυρ Ιουν 02, 2019 11:17 pm
Να βρεθεί η σειρά Maclaurin της f(x)=e^{e^x}.

Καλημέρα Λάμπρο,

\displaystyle{\begin{aligned} 
\exp(\exp(x)) &= \exp\left(1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \mathcal{O}(x^3)\right) \\ 
&= e \cdot \exp\left(x + \frac{1}{2} x^2 + \mathcal{O}(x^3)\right) \\ 
&= e\left(1 + \left(x + \frac{1}{2}x^2 + \mathcal{O}(x^3)\right) + \frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{2}x^2 + \mathcal{O}(x^3)\right)^2 + \mathcal{O}(x^3) \right) \\ 
&=e\left(1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^2 + O(x^3) \right) \\ 
&=e(1 + x + x^2 + \mathcal{O}(x^3)) 
\end{aligned}}
Αν το παραπάνω δε κάνει, τότε παίρνοντας παραγώγους έχουμε:

\displaystyle{f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n{n\brace k}\exp(e^x+kx)}
όπου f(x)=\exp(\exp(x)) και n\brace k οι αριθμοί Stirling δεύτερου είδους. Παρατηρούμε ότι

\displaystyle{f^{(n)}(0)=e\sum_{k=0}^n{n\brace k}=e\mathcal{B}_n}
όπου \mathcal{B}_n οι αριθμοί Bell. Συνεπώς, \displaystyle{\exp(\exp(x))=e\sum_{n=0}^\infty\frac{\mathcal{B}_n}{n!}x^n}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11149
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Maclaurin

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιουν 03, 2019 9:29 am

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Κυρ Ιουν 02, 2019 11:17 pm
Να βρεθεί η σειρά Maclaurin της f(x)=e^{e^x}.
Πιο απλά, από την σειρά της e^x έχουμε

\displaystyle{e^{e^x} = \sum _0^{\infty} \dfrac {e^{kx}}{k!} }. Τώρα, από το κάθε e^{kx} μαζεύουμε τον όρο που έχει το x^m, που είναι βέβαια ο \displaystyle{\frac {k^m}{m!}}. Όλοι μαζί οι συντελεστές του x^m είναι \displaystyle{\frac {1}{m!}\left ( \sum _{k=1} ^ {\infty }\frac {k^m}{k!}\right ) }. Με άλλα λόγια, κάνοντας και την επιτρεπτή αλλαγή σειράς άθροισης, είναι

\displaystyle{e^{e^x} =  \sum _{m=0} ^ {\infty }\left ( \sum _{k=1} ^ {\infty }\frac {k^m}{k!}\right )\frac {x^m}{m!} }


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες