Maclaurin

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Να βρεθεί η σειρά Maclaurin της $f(x)=e^{e^x}.$

Tolaso J Kos · #2

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 02, 2019 11:17 pm
Να βρεθεί η σειρά Maclaurin της $f(x)=e^{e^x}.$

Καλημέρα Λάμπρο,

$\displaystyle{\begin{aligned} \exp(\exp(x)) &= \exp\left(1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \mathcal{O}(x^3)\right) \\ &= e \cdot \exp\left(x + \frac{1}{2} x^2 + \mathcal{O}(x^3)\right) \\ &= e\left(1 + \left(x + \frac{1}{2}x^2 + \mathcal{O}(x^3)\right) + \frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{2}x^2 + \mathcal{O}(x^3)\right)^2 + \mathcal{O}(x^3) \right) \\ &=e\left(1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x^2 + O(x^3) \right) \\ &=e(1 + x + x^2 + \mathcal{O}(x^3)) \end{aligned}}$
Αν το παραπάνω δε κάνει, τότε παίρνοντας παραγώγους έχουμε:

$\displaystyle{f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n{n\brace k}\exp(e^x+kx)}$
όπου $f(x)=\exp(\exp(x))$ και $n\brace k$ οι αριθμοί Stirling δεύτερου είδους. Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{f^{(n)}(0)=e\sum_{k=0}^n{n\brace k}=e\mathcal{B}_n}$
όπου $\mathcal{B}_n$ οι αριθμοί Bell. Συνεπώς, $\displaystyle{\exp(\exp(x))=e\sum_{n=0}^\infty\frac{\mathcal{B}_n}{n!}x^n}$ .

#3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Ιουν 02, 2019 11:17 pm
Να βρεθεί η σειρά Maclaurin της $f(x)=e^{e^x}.$

Πιο απλά, από την σειρά της e^x

έχουμε

$\displaystyle{e^{e^x} = \sum _0^{\infty} \dfrac {e^{kx}}{k!} }$ . Τώρα, από το κάθε $e^{kx}$ μαζεύουμε τον όρο που έχει το x^m

, που είναι βέβαια ο $\displaystyle{\frac {k^m}{m!}}$ . Όλοι μαζί οι συντελεστές του x^m

είναι $\displaystyle{\frac {1}{m!}\left ( \sum _{k=1} ^ {\infty }\frac {k^m}{k!}\right ) }$ . Με άλλα λόγια, κάνοντας και την επιτρεπτή αλλαγή σειράς άθροισης, είναι

$\displaystyle{e^{e^x} = \sum _{m=0} ^ {\infty }\left ( \sum _{k=1} ^ {\infty }\frac {k^m}{k!}\right )\frac {x^m}{m!} }$

Maclaurin

Maclaurin

Re: Maclaurin

Re: Maclaurin

Μέλη σε σύνδεση