Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

lefsk · #1

Υπολογίστε το όριο $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x-\sin(x)+y}{x^{3}+6y}$ (αν υπάρχει)

Η απορία μου είναι η εξής.
Είδα μια λύση με πολικές συντεταγμένες
$\displaystyle{ \lim_{r\rightarrow 0}\frac{r\cos\theta - \sin(r\cos\theta) +r\sin\theta}{r^{3}\cos^{3}\theta +6r\sin\theta} }$ .
Μετά διαίρεσαν αριθμητή παρονομαστή με

και βρήκαν μεμονωμένα τα όρια
$\displaystyle{\lim_{r \rightarrow 0}\frac{\cos\theta }{r^{2}\cos^{3}\theta +6\sin\theta} = \frac{\cos\theta}{6\sin\theta}}$

$\displaystyle{ \lim_{r\rightarrow 0}\frac{ - \frac{\sin(r\cos\theta)}{r} }{r^{2}\cos^{3}\theta +6\sin\theta} }$
Για αυτό πήραν $\lim_{r\rightarrow 0} - \frac{\sin(r\cos\theta)}{r}$ , πολλαπλασίασαν αριθμητή παρονομαστή με $\cos\theta$ και έδειξαν ότι $\lim_{r\rightarrow 0} - \frac{\sin(r\cos\theta)}{r} = - \cos\theta$ . Έπειτα πήραν ότι $\lim_{r\rightarrow 0}(r^{2}\cos^{3}\theta +6\sin\theta) = 6\sin\theta$ . Άρα $\lim_{r\rightarrow 0}\frac{ - \frac{\sin(r\cos\theta)}{r} }{r^{2}\cos^{3}\theta +6\sin\theta} = \frac{-\cos\theta}{6\sin\theta}$

και $\displaystyle{\lim_{r \rightarrow 0}\frac{\sin\theta }{r^{2}\cos^{3}\theta +6\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{6\sin\theta}= \frac{1}{6} }$
και από αυτά τα 3 όρια προκύπτει, άμα τα αθροίσουμε, ότι το αρχικό όριο κάνει $\frac{1}{6}$ .

Εγώ πιστεύω πως δεν είναι σωστή λύση. Ποια είναι η γνώμη σας; Αν υπάρχουν λάθη, μπορείτε να μου δείξετε που; Η διαδικασία που ακολούθησε δεν πιστεύω πως ανταποκρίνεται στις ιδιότητες των ορίων.

Στην προσπάθειά μου να την λύσω έκανα το εξής:
Καθώς $x \rightarrow 0, \sin(x)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!} + o(x^{5})$ και δοκίμασα το μονοπάτι $y=\frac{−x^{3}}{6}+ax^{5}, a\neq 0$ .
Το όριο εξαρτιόταν από το

.

Ευχαριστώ!

#2

Έχεις απόλυτο δίκαιο ότι η λύση δεν είναι σωστή.

Με τον μετασχηματισμό $x=r\cos{\vartheta},y=r\sin{\vartheta}$ προσεγγίζουμε την αρχή των αξόνων σε ευθείες γραμμές. Όπως βλέπουμε σε αυτό το παράδειγμα, τα όρια σε όλες τις ευθείες γραμμές μπορεί να υπάρχουν και να είναι ίσα, αλλά γενικά το όριο μπορεί να μην υπάρχει.

Ένα άλλο κλασικό παράδειγμα είναι το όριο: $\displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}$

Σε κάθε ευθεία το όριο ισούται με

αλλά στην παραβολή y=x^2

το όριο ισούται με 1/2

.

lefsk · #3

Δηλαδή αν εγώ χρησιμοποιήσω πολικές συντεταγμένες για να βρω ένα όριο και αυτό ισούται με έναν αριθμό, δεν μπορώ να πω ότι το όριο της συνάρτησης είναι ο αριθμός αυτός; Είναι απλά σαν να έχω πάρει μονοπάτια;

Άρα η επίλυση του ορίου είναι σωστή αλλά δεν είναι αρκετή για να δεχτούμε αν το $\frac{1}{6}$ είναι λύση;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

lefsk έγραψε: ↑
Τρί Απρ 16, 2019 4:27 pm
Δηλαδή αν εγώ χρησιμοποιήσω πολικές συντεταγμένες για να βρω ένα όριο και αυτό ισούται με έναν αριθμό, δεν μπορώ να πω ότι το όριο της συνάρτησης είναι ο αριθμός αυτός; Είναι απλά σαν να έχω πάρει μονοπάτια;

Άρα η επίλυση του ορίου είναι σωστή αλλά δεν είναι αρκετή για να δεχτούμε αν το $\frac{1}{6}$ είναι λύση;

Δηλαδή αν εγώ χρησιμοποιήσω πολικές συντεταγμένες για να βρω ένα όριο και αυτό ισούται με έναν αριθμό, δεν μπορώ να πω ότι το όριο της συνάρτησης είναι ο αριθμός αυτός;

Δεν μπορείς να πεις τίποτα ως προς την ύπαρξη του ορίου. Μπορεί να υπάρχει μπορεί και όχι. Αν υπάρχει τότε είναι αυτός ο αριθμός

Άρα η επίλυση του ορίου είναι σωστή αλλά δεν είναι αρκετή για να δεχτούμε αν το $\frac{1}{6}$ είναι λύση;

Όχι η επίλυση είναι ΛΑΘΟΣ γιατί το όριο δεν υπάρχει.

Για να δούμε ότι δεν υπάρχει ο απλούστερος τρόπος είναι:

Να πάρουμε το όριο πάνω στην y=x^3

και μετά στην y=0

lefsk · #5

Δηλαδή τις πολικές τις χρησιμοποιούμε μόνο για να δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει;
Αν π.χ. έχω $\displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }$ με πολικές θα γίνει $r\cos^{2}\theta \rightarrow 0$ , αφού $r\rightarrow 0^{+}$ και $\cos^{2}\theta$ φραγμένο. Δε θα πω τότε ότι το όριο κάνει

;
Θα πω ότι δεν ξέρω αν υπάρχει αλλά αν υπάρχει θα κάνει

;
Συγγνώμη για τις πολλές ερωτήσεις!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

lefsk έγραψε: ↑
Τρί Απρ 16, 2019 8:26 pm
Δηλαδή τις πολικές τις χρησιμοποιούμε μόνο για να δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει;
Αν π.χ. έχω $\displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }$ με πολικές θα γίνει $r\cos^{2}\theta \rightarrow 0$ , αφού $r\rightarrow 0^{+}$ και $\cos^{2}\theta$ φραγμένο. Δε θα πω τότε ότι το όριο κάνει ;
Θα πω ότι δεν ξέρω αν υπάρχει αλλά αν υπάρχει θα κάνει ;
Συγγνώμη για τις πολλές ερωτήσεις!

Βγάζεις αυθαίρετα συμπεράσματα.
Στο προηγούμενο οι πολικές δεν λένε τίποτα για την ύπαρξη η μη του ορίου
ενω σε αυτό αποδεικνύουν ότι το όριο υπάρχει.
Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις.

lefsk · #7

Ναι ναι τα κατάλαβα! Ευχαριστώ πολύ για το χρόνο σας, καλό βράδυ!

kharga · #8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Απρ 16, 2019 8:52 pm

lefsk έγραψε: ↑
Τρί Απρ 16, 2019 8:26 pm
Δηλαδή τις πολικές τις χρησιμοποιούμε μόνο για να δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει;
Αν π.χ. έχω $\displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }$ με πολικές θα γίνει $r\cos^{2}\theta \rightarrow 0$ , αφού $r\rightarrow 0^{+}$ και $\cos^{2}\theta$ φραγμένο. Δε θα πω τότε ότι το όριο κάνει ;
Θα πω ότι δεν ξέρω αν υπάρχει αλλά αν υπάρχει θα κάνει ;
Συγγνώμη για τις πολλές ερωτήσεις!
Βγάζεις αυθαίρετα συμπεράσματα.
Στο προηγούμενο οι πολικές δεν λένε τίποτα για την ύπαρξη η μη του ορίου
ενω σε αυτό αποδεικνύουν ότι το όριο υπάρχει.
Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις.

Έχει δίκιο ο lefsk. Το όριο υπάρχει επειδή
$\displaystyle{0\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}}}= | x|\to 0$
Όπως έγραψε ο Δημήτρης και φαίνεται και εδώ: https://math.stackexchange.com/q/753381/128787 ,
ΔΕΝ αποδεικνύεται όριο με πολικές συντεταγμένες. Αφήνω ασχολιαστο το "Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις."

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

kharga έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 19, 2020 2:23 am

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Απρ 16, 2019 8:52 pm

lefsk έγραψε: ↑
Τρί Απρ 16, 2019 8:26 pm
Δηλαδή τις πολικές τις χρησιμοποιούμε μόνο για να δείξουμε ότι το όριο δεν υπάρχει;
Αν π.χ. έχω $\displaystyle{ \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }$ με πολικές θα γίνει $r\cos^{2}\theta \rightarrow 0$ , αφού $r\rightarrow 0^{+}$ και $\cos^{2}\theta$ φραγμένο. Δε θα πω τότε ότι το όριο κάνει ;
Θα πω ότι δεν ξέρω αν υπάρχει αλλά αν υπάρχει θα κάνει ;
Συγγνώμη για τις πολλές ερωτήσεις!
Βγάζεις αυθαίρετα συμπεράσματα.
Στο προηγούμενο οι πολικές δεν λένε τίποτα για την ύπαρξη η μη του ορίου
ενω σε αυτό αποδεικνύουν ότι το όριο υπάρχει.
Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις.
Έχει δίκιο ο lefsk. Το όριο υπάρχει επειδή
$\displaystyle{0\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}}}= | x|\to 0$
Όπως έγραψε ο Δημήτρης και φαίνεται και εδώ: https://math.stackexchange.com/q/753381/128787 ,
ΔΕΝ αποδεικνύεται όριο με πολικές συντεταγμένες. Αφήνω ασχολιαστο το "Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις."

kharga έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 19, 2020 2:23 am
$\displaystyle{0\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}}}= | x|\to 0$

Υπάρχει πρόβλημα.
Η ανισότητα
$\displaystyle{0\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}}}$
δεν έχει νόημα για x=0

Αν όμως γραφεί
$\displaystyle{0\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }\leq | x|\to 0$
τότε έχουμε το όριο.

kharga έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 19, 2020 2:23 am
ΔΕΝ αποδεικνύεται όριο με πολικές συντεταγμένες

Θα απαντήσω με το παρακάτω που η απόδειξη του είναι τετριμμένη.

Εστω $f:\mathbb{R}^{2}-\left \{ (0,0) \right \}\rightarrow \mathbb{R}$
και υπάρχει $g:(0,\epsilon )\rightarrow \mathbb{R}$
συνάρτηση ώστε για κάθε $0<r<\epsilon$ , $\theta \in [0,2\pi )$
είναι
$|f(r\cos \theta ,r\sin \theta)|\leq g(r)$

Αν
$\lim_{r\rightarrow 0^{+}}g(r)=0$
τότε
$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=0$

kharga · #10

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 20, 2020 9:49 pm
Υπάρχει πρόβλημα.
Η ανισότητα
$\displaystyle{0\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}}}$
δεν έχει νόημα για

Όταν λέμε όριο συνάρτησης για $(x,y)\to (0,0)$ ζητάμε ένα $\delta>0$ και μελετάμε για $0<\|(x,y)\|<\delta$ δηλαδή $(x,y)\neq (0,0)$ . Αυτό είναι στάνταρ για όλα τα όρια όλων των απειροστικών, μην το συζητήσουμε.- αυτό είναι λάθος, έπρεπε πράγματι να γράψω
$\displaystyle{0\leq \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} }\leq |x|$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 20, 2020 9:49 pm
Θα απαντήσω με το παρακάτω που η απόδειξη του είναι τετριμμένη.

Εστω $f:\mathbb{R}^{2}-\left \{ (0,0) \right \}\rightarrow \mathbb{R}$
και υπάρχει $g:(0,\epsilon )\rightarrow \mathbb{R}$
συνάρτηση ώστε για κάθε $0<r<\epsilon$ , $\theta \in [0,2\pi )$
είναι
$|f(r\cos \theta ,r\sin \theta)|\leq g(r)$

Αν
$\lim_{r\rightarrow 0^{+}}g(r)=0$
τότε
$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=0$

Αυτό είναι σωστό, παρότι δεν μας εξήγησες τι ισχύει για το $\epsilon$ ή αν η

πρέπει να είναι ανεξάρτητη του $\theta$ . Ένα reference σε κάποια πηγή θα ήταν χρήσιμο...

Τέλος δεν ήταν καθόλου σαφές ότι εννοούσες αυτό όταν έγραφες:
"Βγάζεις αυθαίρετα συμπεράσματα.
Στο προηγούμενο οι πολικές δεν λένε τίποτα για την ύπαρξη η μη του ορίου
ενω σε αυτό αποδεικνύουν ότι το όριο υπάρχει.
Πιστεύω ότι είσαι σε θέση να καταλάβεις."

#11

kharga έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 21, 2020 9:43 am

Αυτό είναι σωστό, παρότι δεν μας εξήγησες τι ισχύει για το $\epsilon$ ή αν η πρέπει να είναι ανεξάρτητη του $\theta$ .

Μάλλον κάτι άλλο θα εννοείς γιατί δεν έχει νόημα να ρωτάς για ανεξαρτησία της παρακάτω

από το $\theta$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 20, 2020 9:49 pm
... υπάρχει $g:(0,\epsilon )\rightarrow \mathbb{R}$
συνάρτηση ώστε ...

Η

είναι συνάρτηση σε κάποιο διάστημα και αφού (ορθά) δεν έχει γραφεί τύπος, όλα τα άλλα περιττεύουν. Άντε ας δεχθώ ότι έπρεπε
να διευκρινιστεί ότι $\epsilon>0$ , αλλά και αυτό ουσιαστικά περιττεύει αφού εξηπακούεται από την μορφή $(0, \epsilon)$ του πεδίου ορισμού της.

Λάμπρος Κατσάπας · #12

kharga έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 21, 2020 9:43 am

Όταν λέμε όριο συνάρτησης για $(x,y)\to (0,0)$ ζητάμε ένα $\delta>0$ και μελετάμε για $0<\|(x,y)\|<\delta$ δηλαδή $(x,y)\neq (0,0)$ . Αυτό είναι στάνταρ για όλα τα όρια όλων των απειροστικών, μην το συζητήσουμε.

To $(x,y)\neq (0,0)$ δεν συνεπάγεται $x\neq 0.$

kharga · #13

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 21, 2020 10:51 am
To $(x,y)\neq (0,0)$ δεν συνεπάγεται $x\neq 0.$

Ναι, σωστά, είχε δίκιο ο Σταύρος Παπαδόπουλος ως προς αυτό, το έκανα edit και στο αρχικό

kharga · #14

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 21, 2020 10:48 am
Μάλλον κάτι άλλο θα εννοείς γιατί δεν έχει νόημα να ρωτάς για ανεξαρτησία της παρακάτω από το $\theta$

όχι, αυτό ήθελα να πω. Μπορώ πχ να πάρω $g:(0,\epsilon)\to\mathbb{R}$ , $g(r)=\frac{1}{r^2(cos\theta)^2}$ βλέποντας το $\theta$ σαν σταθερά; Η απάντηση είναι οχι αλλά αυτό πρέπει να διευκρινιστεί.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 21, 2020 10:48 am
Η είναι συνάρτηση σε κάποιο διάστημα και αφού (ορθά) δεν έχει γραφεί τύπος, όλα τα άλλα περιττεύουν. Άντε ας δεχθώ ότι έπρεπε
να διευκρινιστεί ότι $\epsilon>0$ , αλλά και αυτό ουσιαστικά περιττεύει αφού εξηπακούεται από την μορφή $(0, \epsilon)$ του πεδίου ορισμού της.

Νομίζω είναι γνωστό ότι όταν γράφουμε $\epsilon$ κάπου, όλοι περιμένουμε ότι έχει ειπωθεί κάπου πιο πριν το "έστω $\epsilon>0$ ". Αν ήθελε να γράψει τυχαίο διάστημα το βιβλίο από το οποίο έγινε το copy-paste θα έγραφε (0,a)

. Ακόμα περιμένω αυτό το reference...

Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Re: Όριο συνάρτησης 2 μεταβλητών

Μέλη σε σύνδεση