Σειρά με coth

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4119
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σειρά με coth

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μάιος 29, 2017 1:15 pm

Δείξατε ότι:
\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\coth n \pi}{n^7} = \frac{19\pi^7}{56700}} (Cornel Ioan Valean)


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Σειρά με coth

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Μάιος 30, 2017 10:40 am

Χρησιμοποιούμε τα:

1. \coth x = i \cot (ix)

2. \displaystyle \cot z = \frac{1}{z} - \frac{z}{3} - \frac{z^3}{45} - \frac{2z^5}{945} - \frac{z^7}{4725} + O(z^9) (σειρά Laurent γύρω από το 0)

3. Το γνωστό λήμμα ότι οι συναρτήσεις \cot (\pi z), \mathrm{cosec}(\pi z), ορισμένες στο μιγαδικό επίπεδο στα τετράγωνα S(N) πλευράς 2N+1, N \in \mathbb{N} με κέντρο το 0 και πλευρές παράλληλες προς τους άξονες είναι ομοιόμορφα φραγμένες. Προφανώς, λόγω περιστροφικής συμμετρίας, ισχύει το ίδιο και για τις \cot (i \pi z), \mathrm{cosec}(i \pi z). Έστω C το φράγμα.

Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle f(z) \equiv \frac{i \pi \cot(i \pi z) \cot (\pi z)}{z^7} η οποία έχει απλό πόλο σε κάθε σημείο n και ni \ (n \in \mathbb{Z}, n \neq 0) με υπόλοιπο \displaystyle \frac{\coth(\pi n)}{n^7}.

Η f έχει επίσης πόλο τάξης 9 στο 0 με υπόλοιπο \displaystyle - \frac{19 \pi^7}{14175} (προκύπτει με χρήση της σειράς Laurent). Έτσι, με χρήση του θεωρήματος Cauchy:

\displaystyle I_N \equiv \frac{1}{2 \pi i} \oint_{S(N)} f(z) \mathrm{d}z = - \frac{19 \pi^7}{14175} + 4 \sum_{n=1}^{N-1} \frac{\coth(\pi n)}{n^7}

αλλά \displaystyle \left| I_N \right| \leqslant \frac{C^2}{2N^7} \times (8N + 4) \implies \lim_{N \to \infty} I_N = 0

Οπότε, τελικά \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\coth(\pi n)}{n^7} = \frac{19 \pi^7}{56700}


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4119
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρά με coth

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μάιος 30, 2017 11:30 am

Α... Δημήτρη μπράβο.. Προσωπικά δε θα τολμούσα μιγαδική ανάλυση εδώ , ίσως , επειδή δεν έχω καθόλου εμπιστοσύνη στους υπολογισμούς μου αν και ο πυρήνας που πρέπει να επιλεχθεί είναι υπόθεση εύκολη. Η δική μου προσέγγιση είναι με Fourier.

Συνοπτικά, έχω κάνει τα εξής. Ξεκινάμε από το ανάπτυγμα Fourier
\displaystyle{\pi \coth \pi a = \frac{1}{a} + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{2a}{m^2+a^2}} οπότε έχουμε
\displaystyle{\begin{aligned} 
 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\coth n \pi}{n^7} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^7} \left [ \frac{1}{n \pi} + \frac{1}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{2n}{m^2+n^2} \right ] \\ &= \frac{1}{\pi} \zeta(8) + \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{n^6 \left ( m^2+n^2 \right )}\\ &= \frac{\pi^7}{9450} + \frac{2}{\pi}\frac{13 \pi^8}{113400} \\ &= \frac{19 \pi^7}{56700}  
\end{aligned}} Μένει βέβαια ο υπολογισμός του διπλού αθροίσματος Euler \displaystyle{\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^6 \left ( m^2+n^2 \right )}} αλλά δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
pprime
Δημοσιεύσεις: 39
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 16, 2014 1:54 am

Re: Σειρά με coth

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pprime » Τρί Μάιος 30, 2017 11:42 pm

\displaystyle{\coth k\pi =\frac{1}{k\pi }+2k\pi \sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^{2}\pi ^{2}+k^{2}\pi ^{2}}}=\frac{1}{k\pi }+\frac{2k}{\pi }\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^{2}+k^{2}}}}
\displaystyle{\frac{\coth k\pi }{k^{7}}=\frac{1}{k^{8}\pi }+\frac{2}{\pi k^{6}}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^{2}+k^{2}}}}
\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\frac{\coth k\pi }{k^{7}}}=\frac{1}{\pi }\cdot \zeta \left( 8 \right)+\frac{2}{\pi }\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\frac{1}{k^{6}}}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^{2}+k^{2}}}}

\displaystyle{S=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\frac{1}{k^{6}}}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^{2}+k^{2}}}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{k^{6}}\cdot \frac{1}{n^{2}+k^{2}}}}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{n^{2}+k^{2}-k^{2}}{k^{6}n^{2}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}}

\displaystyle{=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{2}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{n^{2}+k^{2}-k^{2}}{k^{4}n^{4}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}}

\displaystyle{=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{4}}+\frac{1}{k^{2}n^{4}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{4}}+\frac{n^{2}+k^{2}-k^{2}}{k^{2}n^{6}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}}

\displaystyle{=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{4}}+\frac{1}{k^{2}n^{6}}-\frac{1}{n^{6}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{4}}+\frac{1}{k^{2}n^{6}} \right)}}}

\displaystyle{=\frac{1}{2}\zeta \left( 2 \right)\zeta \left( 6 \right)-\frac{1}{2}\zeta ^{2}\left( 4 \right)+\frac{1}{2}\zeta \left( 2 \right)\zeta \left( 6 \right)=\zeta \left( 2 \right)\zeta \left( 6 \right)-\frac{\zeta ^{2}\left( 4 \right)}{2}=\zeta \left( 2 \right)\zeta \left( 6 \right)-\frac{\zeta ^{2}\left( 4 \right)}{2}}

\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\frac{\coth k\pi }{k^{7}}}=\frac{1}{\pi }\cdot \zeta \left( 8 \right)+\frac{2}{\pi }\left( \zeta \left( 2 \right)\cdot \zeta \left( 6 \right)-\frac{\zeta ^{2}\left( 4 \right)}{2} \right)=\frac{1}{\pi }\cdot \frac{\pi ^{8}}{9450}+\frac{1}{\pi }\left( 2\cdot \frac{\pi ^{2}}{6}\cdot \frac{\pi ^{6}}{945}-\left( \frac{\pi ^{4}}{90} \right)^{2} \right)}
\displaystyle{=\frac{\pi ^{7}}{9450}+\frac{\pi ^{7}}{3}\cdot \frac{1}{945}-\frac{\pi ^{7}}{90^{2}}=\left( \frac{1}{70}+\frac{1}{21}-\frac{1}{60} \right)\frac{\pi ^{7}}{5\cdot 27}=\left( 1-\frac{1}{20} \right)\frac{\pi ^{7}}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 27}=\frac{19\pi ^{7}}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 20\cdot 27}=\frac{19\pi ^{7}}{56700}}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4119
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σειρά με coth

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Μάιος 31, 2017 10:29 am

pprime έγραψε: \displaystyle{S=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\frac{1}{k^{6}}}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^{2}+k^{2}}}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{k^{6}}\cdot \frac{1}{n^{2}+k^{2}}}}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{n^{2}+k^{2}-k^{2}}{k^{6}n^{2}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}}

\displaystyle{=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{2}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{n^{2}+k^{2}-k^{2}}{k^{4}n^{4}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}}

\displaystyle{=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{4}}+\frac{1}{k^{2}n^{4}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{4}}+\frac{n^{2}+k^{2}-k^{2}}{k^{2}n^{6}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}}

\displaystyle{=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{4}}+\frac{1}{k^{2}n^{6}}-\frac{1}{n^{6}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{4}}+\frac{1}{k^{2}n^{6}} \right)}}}

\displaystyle{=\frac{1}{2}\zeta \left( 2 \right)\zeta \left( 6 \right)-\frac{1}{2}\zeta ^{2}\left( 4 \right)+\frac{1}{2}\zeta \left( 2 \right)\zeta \left( 6 \right)=\zeta \left( 2 \right)\zeta \left( 6 \right)-\frac{\zeta ^{2}\left( 4 \right)}{2}=\zeta \left( 2 \right)\zeta \left( 6 \right)-\frac{\zeta ^{2}\left( 4 \right)}{2}}

\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\frac{\coth k\pi }{k^{7}}}=\frac{1}{\pi }\cdot \zeta \left( 8 \right)+\frac{2}{\pi }\left( \zeta \left( 2 \right)\cdot \zeta \left( 6 \right)-\frac{\zeta ^{2}\left( 4 \right)}{2} \right)=\frac{1}{\pi }\cdot \frac{\pi ^{8}}{9450}+\frac{1}{\pi }\left( 2\cdot \frac{\pi ^{2}}{6}\cdot \frac{\pi ^{6}}{945}-\left( \frac{\pi ^{4}}{90} \right)^{2} \right)}
\displaystyle{=\frac{\pi ^{7}}{9450}+\frac{\pi ^{7}}{3}\cdot \frac{1}{945}-\frac{\pi ^{7}}{90^{2}}=\left( \frac{1}{70}+\frac{1}{21}-\frac{1}{60} \right)\frac{\pi ^{7}}{5\cdot 27}=\left( 1-\frac{1}{20} \right)\frac{\pi ^{7}}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 27}=\frac{19\pi ^{7}}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 20\cdot 27}=\frac{19\pi ^{7}}{56700}}
Thank you pprime for filling in the computation of the double series. Your solution is the same as mine.
:clap2: :clap2:

Μετάφραση: Ευχαριστώ pprime που συμπλήρωσες τον υπολογισμό της διπλής σειράς. Η λύση σου είναι ίδια με τη δική μου.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης