Σειρά με coth

Tolaso J Kos · #1

Δείξατε ότι:
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\coth n \pi}{n^7} = \frac{19\pi^7}{56700}}$ (Cornel Ioan Valean)

dement · #2

Χρησιμοποιούμε τα:

1. $\coth x = i \cot (ix)$

2. $\displaystyle \cot z = \frac{1}{z} - \frac{z}{3} - \frac{z^3}{45} - \frac{2z^5}{945} - \frac{z^7}{4725} + O(z^9)$ (σειρά Laurent γύρω από το

)

3. Το γνωστό λήμμα ότι οι συναρτήσεις $\cot (\pi z), \mathrm{cosec}(\pi z)$ , ορισμένες στο μιγαδικό επίπεδο στα τετράγωνα S(N)

πλευράς $2N+1, N \in \mathbb{N}$ με κέντρο το

και πλευρές παράλληλες προς τους άξονες είναι ομοιόμορφα φραγμένες. Προφανώς, λόγω περιστροφικής συμμετρίας, ισχύει το ίδιο και για τις $\cot (i \pi z), \mathrm{cosec}(i \pi z)$ . Έστω

το φράγμα.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle f(z) \equiv \frac{i \pi \cot(i \pi z) \cot (\pi z)}{z^7}$ η οποία έχει απλό πόλο σε κάθε σημείο

και $ni \ (n \in \mathbb{Z}, n \neq 0)$ με υπόλοιπο $\displaystyle \frac{\coth(\pi n)}{n^7}$ .

Η

έχει επίσης πόλο τάξης

στο

με υπόλοιπο $\displaystyle - \frac{19 \pi^7}{14175}$ (προκύπτει με χρήση της σειράς Laurent). Έτσι, με χρήση του θεωρήματος Cauchy:

$\displaystyle I_N \equiv \frac{1}{2 \pi i} \oint_{S(N)} f(z) \mathrm{d}z = - \frac{19 \pi^7}{14175} + 4 \sum_{n=1}^{N-1} \frac{\coth(\pi n)}{n^7}$

αλλά $\displaystyle \left| I_N \right| \leqslant \frac{C^2}{2N^7} \times (8N + 4) \implies \lim_{N \to \infty} I_N = 0$

Οπότε, τελικά $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\coth(\pi n)}{n^7} = \frac{19 \pi^7}{56700}$

Tolaso J Kos · #3

Α... Δημήτρη μπράβο.. Προσωπικά δε θα τολμούσα μιγαδική ανάλυση εδώ , ίσως , επειδή δεν έχω καθόλου εμπιστοσύνη στους υπολογισμούς μου αν και ο πυρήνας που πρέπει να επιλεχθεί είναι υπόθεση εύκολη. Η δική μου προσέγγιση είναι με Fourier.

Συνοπτικά, έχω κάνει τα εξής. Ξεκινάμε από το ανάπτυγμα Fourier
$\displaystyle{\pi \coth \pi a = \frac{1}{a} + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{2a}{m^2+a^2}}$ οπότε έχουμε
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\coth n \pi}{n^7} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^7} \left [ \frac{1}{n \pi} + \frac{1}{\pi} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{2n}{m^2+n^2} \right ] \\ &= \frac{1}{\pi} \zeta(8) + \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{n^6 \left ( m^2+n^2 \right )}\\ &= \frac{\pi^7}{9450} + \frac{2}{\pi}\frac{13 \pi^8}{113400} \\ &= \frac{19 \pi^7}{56700} \end{aligned}}$ Μένει βέβαια ο υπολογισμός του διπλού αθροίσματος Euler $\displaystyle{\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^6 \left ( m^2+n^2 \right )}}$ αλλά δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολος.

pprime · #4

$\displaystyle{\coth k\pi =\frac{1}{k\pi }+2k\pi \sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^{2}\pi ^{2}+k^{2}\pi ^{2}}}=\frac{1}{k\pi }+\frac{2k}{\pi }\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^{2}+k^{2}}}}$
$\displaystyle{\frac{\coth k\pi }{k^{7}}=\frac{1}{k^{8}\pi }+\frac{2}{\pi k^{6}}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^{2}+k^{2}}}}$
$\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\frac{\coth k\pi }{k^{7}}}=\frac{1}{\pi }\cdot \zeta \left( 8 \right)+\frac{2}{\pi }\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\frac{1}{k^{6}}}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^{2}+k^{2}}}}$

$\displaystyle{S=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\frac{1}{k^{6}}}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^{2}+k^{2}}}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{k^{6}}\cdot \frac{1}{n^{2}+k^{2}}}}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{n^{2}+k^{2}-k^{2}}{k^{6}n^{2}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}}$

$\displaystyle{=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{2}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{n^{2}+k^{2}-k^{2}}{k^{4}n^{4}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}}$

$\displaystyle{=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{4}}+\frac{1}{k^{2}n^{4}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{4}}+\frac{n^{2}+k^{2}-k^{2}}{k^{2}n^{6}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}}$

$\displaystyle{=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{4}}+\frac{1}{k^{2}n^{6}}-\frac{1}{n^{6}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{4}}+\frac{1}{k^{2}n^{6}} \right)}}}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}\zeta \left( 2 \right)\zeta \left( 6 \right)-\frac{1}{2}\zeta ^{2}\left( 4 \right)+\frac{1}{2}\zeta \left( 2 \right)\zeta \left( 6 \right)=\zeta \left( 2 \right)\zeta \left( 6 \right)-\frac{\zeta ^{2}\left( 4 \right)}{2}=\zeta \left( 2 \right)\zeta \left( 6 \right)-\frac{\zeta ^{2}\left( 4 \right)}{2}}$

$\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\frac{\coth k\pi }{k^{7}}}=\frac{1}{\pi }\cdot \zeta \left( 8 \right)+\frac{2}{\pi }\left( \zeta \left( 2 \right)\cdot \zeta \left( 6 \right)-\frac{\zeta ^{2}\left( 4 \right)}{2} \right)=\frac{1}{\pi }\cdot \frac{\pi ^{8}}{9450}+\frac{1}{\pi }\left( 2\cdot \frac{\pi ^{2}}{6}\cdot \frac{\pi ^{6}}{945}-\left( \frac{\pi ^{4}}{90} \right)^{2} \right)}$
$\displaystyle{=\frac{\pi ^{7}}{9450}+\frac{\pi ^{7}}{3}\cdot \frac{1}{945}-\frac{\pi ^{7}}{90^{2}}=\left( \frac{1}{70}+\frac{1}{21}-\frac{1}{60} \right)\frac{\pi ^{7}}{5\cdot 27}=\left( 1-\frac{1}{20} \right)\frac{\pi ^{7}}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 27}=\frac{19\pi ^{7}}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 20\cdot 27}=\frac{19\pi ^{7}}{56700}}$

Tolaso J Kos · #5

pprime έγραψε: $\displaystyle{S=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\frac{1}{k^{6}}}\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{n^{2}+k^{2}}}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\frac{1}{k^{6}}\cdot \frac{1}{n^{2}+k^{2}}}}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{n^{2}+k^{2}-k^{2}}{k^{6}n^{2}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}}$

$\displaystyle{=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{2}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{n^{2}+k^{2}-k^{2}}{k^{4}n^{4}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}}$

$\displaystyle{=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{4}}+\frac{1}{k^{2}n^{4}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{4}}+\frac{n^{2}+k^{2}-k^{2}}{k^{2}n^{6}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}}$

$\displaystyle{=\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{4}}+\frac{1}{k^{2}n^{6}}-\frac{1}{n^{6}\left( n^{2}+k^{2} \right)} \right)}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( \frac{1}{k^{6}n^{2}}-\frac{1}{k^{4}n^{4}}+\frac{1}{k^{2}n^{6}} \right)}}}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}\zeta \left( 2 \right)\zeta \left( 6 \right)-\frac{1}{2}\zeta ^{2}\left( 4 \right)+\frac{1}{2}\zeta \left( 2 \right)\zeta \left( 6 \right)=\zeta \left( 2 \right)\zeta \left( 6 \right)-\frac{\zeta ^{2}\left( 4 \right)}{2}=\zeta \left( 2 \right)\zeta \left( 6 \right)-\frac{\zeta ^{2}\left( 4 \right)}{2}}$

$\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{+\infty }{\frac{\coth k\pi }{k^{7}}}=\frac{1}{\pi }\cdot \zeta \left( 8 \right)+\frac{2}{\pi }\left( \zeta \left( 2 \right)\cdot \zeta \left( 6 \right)-\frac{\zeta ^{2}\left( 4 \right)}{2} \right)=\frac{1}{\pi }\cdot \frac{\pi ^{8}}{9450}+\frac{1}{\pi }\left( 2\cdot \frac{\pi ^{2}}{6}\cdot \frac{\pi ^{6}}{945}-\left( \frac{\pi ^{4}}{90} \right)^{2} \right)}$
$\displaystyle{=\frac{\pi ^{7}}{9450}+\frac{\pi ^{7}}{3}\cdot \frac{1}{945}-\frac{\pi ^{7}}{90^{2}}=\left( \frac{1}{70}+\frac{1}{21}-\frac{1}{60} \right)\frac{\pi ^{7}}{5\cdot 27}=\left( 1-\frac{1}{20} \right)\frac{\pi ^{7}}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 27}=\frac{19\pi ^{7}}{3\cdot 5\cdot 7\cdot 20\cdot 27}=\frac{19\pi ^{7}}{56700}}$

Thank you pprime for filling in the computation of the double series. Your solution is the same as mine.

Μετάφραση: Ευχαριστώ pprime που συμπλήρωσες τον υπολογισμό της διπλής σειράς. Η λύση σου είναι ίδια με τη δική μου.

Σειρά με coth

Σειρά με coth

Re: Σειρά με coth

Re: Σειρά με coth

Re: Σειρά με coth

Re: Σειρά με coth

Μέλη σε σύνδεση