Ἀκολουθία συγκλίνουσα σὲ σταθερὸ σημεῖο

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω $f:[0,1]\to[0,1]$ συνεχής. Ὁρίζομε τὴν ἀναδρομικὴ ἀκολουθία $x_{n+1}=f(x_n)$ , ὅπου $x_0\in [0,1]$ , αὐθαιρέτως ἐπιλεγέν. Ἂν $x_{n+1}-x_n\to 0$ , τότε δείξατε ὅτι ἡ $\{x_n\}$ συγκλίνει.

#2

Υποθέτουμε προς άτοπο ότι αυτό δεν ισχύει. Αφού η ακολουθία είναι φραγμένη θα έχει τουλάχιστον δύο διαφορετικά υπακολουθιακά όρια, έστω τα x < y

.

Από την συνέχεια της

κάθε υπακολουθιακό όριο είναι σταθερό σημείο. [Αν $(x_{n_i}) \to z$ , τότε $(x_{n_i+1}) = (f(x_{n_i})) \to f(z)$ . Αν όμως $f(z) \neq z$ , έστω $|f(z) - z| = 2\ell > 0$ , τότε $|x_{n_i+1} - x_{n_i}| > \ell$ για κάθε αρκετά μεγάλο

, άτοπο.]

Ισχυρίζομαι ότι κάθε $z \in (x,y)$ είναι επίσης υπακολουθιακό όριο της

: Θα δείξω ότι για κάθε

και κάθε $\varepsilon > 0$ υπάρχει n > N

ώστε $|x_n - z| < \varepsilon$ . Αν δεν ισχύει αυτό τότε για κάθε n > N

θα έχουμε $x_n \leqslant z -\varepsilon < y - \varepsilon$ ή $x_n \geqslant z + \varepsilon > x+ \varepsilon$ . Επίσης παίρνοντας N' > N

ώστε $|x_{n+1} - x_n| < 2\varepsilon$ για κάθε n > N'

, βλέπουμε ότι για κάθε n > N'

θα έχουμε $x_n \leqslant z -\varepsilon < y - \varepsilon$ ή για κάθε n > N'

θα έχουμε $x_n \geqslant z + \varepsilon > x+ \varepsilon$ . Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε άτοπο αφού τα x,y

είναι υπακολουθιακά όρια.

Έχω λοιπόν ότι f(z) = z

για κάθε $z \in [x,y]$ . Αυτό όμως είναι άτοπο: Παίρνω $z \in (x,y)$ και αφού το

είναι υπακολουθιακό όριο θα υπάρχει $w \in [x,y]$ και $n \in \mathbb{N}$ ώστε x_n = w

. Τότε όμως x_m = w

για κάθε $m \geqslant n$ και άρα η ακολουθία από ένα σημείο και μετά είναι σταθερή και δεν έχει τα x,y

ως υπακολουθιακά όρια.

$\rule{300pt}{0.5pt}$

Κάπου την έχω δει πρόσφατα αλλά δεν θυμάμαι που.

Ἀκολουθία συγκλίνουσα σὲ σταθερὸ σημεῖο

Ἀκολουθία συγκλίνουσα σὲ σταθερὸ σημεῖο

Re: Ἀκολουθία συγκλίνουσα σὲ σταθερὸ σημεῖο

Μέλη σε σύνδεση