Υποθέτουμε προς άτοπο ότι αυτό δεν ισχύει. Αφού η ακολουθία είναι φραγμένη θα έχει τουλάχιστον δύο διαφορετικά υπακολουθιακά όρια, έστω τα

.
Από την συνέχεια της

κάθε υπακολουθιακό όριο είναι σταθερό σημείο. [Αν

, τότε

. Αν όμως

, έστω

, τότε

για κάθε αρκετά μεγάλο

, άτοπο.]
Ισχυρίζομαι ότι κάθε

είναι επίσης υπακολουθιακό όριο της

: Θα δείξω ότι για κάθε

και κάθε

υπάρχει

ώστε

. Αν δεν ισχύει αυτό τότε για κάθε

θα έχουμε

ή

. Επίσης παίρνοντας

ώστε

για κάθε

, βλέπουμε ότι για κάθε

θα έχουμε

ή για κάθε

θα έχουμε

. Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε άτοπο αφού τα

είναι υπακολουθιακά όρια.
Έχω λοιπόν ότι

για κάθε
![z \in [x,y] z \in [x,y]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a5ec2da3e46433ed5c0cbb0ff4e456ed.png)
. Αυτό όμως είναι άτοπο: Παίρνω

και αφού το

είναι υπακολουθιακό όριο θα υπάρχει
![w \in [x,y] w \in [x,y]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/57a14e0098d3a366ed6224fa7bcb83cc.png)
και

ώστε

. Τότε όμως

για κάθε

και άρα η ακολουθία από ένα σημείο και μετά είναι σταθερή και δεν έχει τα

ως υπακολουθιακά όρια.
Κάπου την έχω δει πρόσφατα αλλά δεν θυμάμαι που.