εύρεση παραγωγίσιμης συνάρτησης

Καραδήμας · #1

Να οριστεί παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:{\mathbb R}\to {\mathbb R}$ τέτοια που για κάθε $x\in {\mathbb Q}$ να ισχύει $f(x)\in {\mathbb Q}$ και $f^{\prime }(x)\notin {\mathbb Q}$ .

#2

Καραδήμας έγραψε:Να οριστεί παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:{\mathbb R}\to {\mathbb R}$ τέτοια που για κάθε $x\in {\mathbb Q}$ να ισχύει $f(x)\in {\mathbb Q}$ και $f^{\prime }(x)\notin {\mathbb Q}$ .

Από την μέρα που μπήκε αυτή η άσκηση, όλο και ερχόταν στο μυαλό μου κάθε στιγμή ανάπαυλας. Μετά από αρκετό παίδεμα και χίλια αποτυχημένα τεχνάσματα, είμαι τώρα σε θέση να γράψω μία λύση. Ουφ!

α) Ορίζουμε την F στο $\mathbb R \,$ ως F(x) = x(1-x)(1+x) για $-1 \le x \le 1 \,$ και την επεκτείνουμε περιοδικά σε όλο το $\mathbb R \,$ . Ειδικά F(0) = F(-1) = F(1) και άρα η F μηδενίζεται σε όλους τους ακεραίους.

Παρατηρείστε ότι η F είναι παραγωγίσιμη, με $F^{\prime}(x) = 1 - 3x^2$ για $-1 \le x \le 1 \,$ . To μόνο που χρειάζεται να ελέγξουμε είναι η παραγωγισιμότητα στους περιττούς ακεραίους (στους "κόμβους" δηλαδή που γίνεται η περιοδική επέκταση). Αλλά αυτό είναι απλό γιατί $\lim_{x \rightarrow 1^-}F^{\prime}(x) = -2 = \lim_{x \rightarrow -1^+}F^{\prime}(x)$ .

Επίσης παρατηρείστε ότι αν q ρητός στο [-1, 1], τότε $F^{\prime}(q) = 1 - 3q^2 \ne 0\,$ (λόγο αρρητότητας του $\sqrt 3$ ).

β) τα παραπάνω είναι προεργασία για την ζητούμενη συνάρτηση f, Την οποία ορίζουμε ως

$\displaystyle { \sum_0^{\infty} \frac {F(n!x)}{(n!)^2} \,\,(*)$

Το άθροισμα αυτό συγκλίνει ομοιόμορφα διότι ο αριθμητής είναι φραγμένος και $\sum_0^{\infty} \frac {1}{(n!)^2} < \infty$ .

Επίσης μπορούμε να παραγωγίσουμε όρο προς όρο γιατί και η σειρά της f ' συγκλίνει ομοιόμορφα (κατεβαίνει ένα n! από τον αριθμητή, αλλά μετά την απλοποίηση μένει ένα n! στον παρονομαστή).

γ) Θα δείξουμε ότι η f έχει τις ζητούμενες ιδιότητες, δηλαδή $f(q)\in {\mathbb Q}$ και $f^{\prime }(q)\notin {\mathbb Q}\,$ για κάθε ρητό q.

Έστω λοιπόν q ρητός. Για όλα να n που είναι μεγαλύτερα ή ίσα του παρονομαστή του q, ο n!q είναι ακέραιος. Άρα F(n!q) = 0 (βλέπε α)). Δηλαδή το άθροισμα (*) για ρητά q είναι πεπερασμένο άθροισμα ρητών, άρα ρητός, όπως θέλαμε.

δ) Μένει να δείξουμε ότι $f^{\prime }(q)\,$ άρρητος. Η απόδειξη είναι μικρή παραλλαγή της γνωστής απόδειξης ότι ο $e = \sum_0^{\infty} \frac {1}{n!}\,$ είναι άρρητος.

Πράγματι, έστω $f(q) = P/Q\,$ όπου P, Q ακέραιοι. Χωρίς βλάβη στη γενικότητα είναι θετικοί (στη περίπτωση αρνητικών, η απόδειξη είναι ίδια). Τότε για κατάλληλα μεγάλο φυσικό R > Q είναι

R! f(q) =

ακέραιος και

$0< R!( f(q) - \sum_0^{R} \frac {F ^{\prime}(n!x)}{(n!)^2} ) < \sum_{R+1}^{\infty} \frac {R!}{n!} = \\ =\frac{1}{R+1} +\frac{1}{(R+1)(R+2)} + \frac{1}{(R+1)(R+2)(R+3)} + ... < \frac{1}{R+1} +\frac{1}{(R+1)^2} + \frac{1}{(R+1)^3} + ... = \frac{1}{R} < 1}$

To τελευταίο είναι άτοπο γιατί το αριστερό μέλος είναι (για κατάλληλα μεγάλο R) ακέραιος και το δεξί < 1.

Αυτά!

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#3

Αυτό είναι το πρόβλημα 5955 του F. D. Hammer με λύση από τον William Knight
στο The American Mathematical Monthly, Vol. 82, No. 4 (Apr., 1975), pp. 415-416.

Πιο γενικά, δείτε το εμπευσμένο από το παραπάνω πρόβλημα και τη γενίκευση (χωρίς λύση) του Dan Simchoni:

Restrictions on the Values of Derivatives, Walter Rudin, The American Mathematical Monthly, Vol. 84, No. 9 (Nov., 1977), pp. 722-723.

Μετά τη λύση του Kinght παρατίθενται ενδιαφέρουσες παραπομπές στη βιβλιογραφία.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Καραδήμας · #4

Η άσκηση περιέχεται στο Problems in Mathematical Analysis, των P. Biler και A. Witkowski.

#5

Καραδήμας έγραψε:Η άσκηση περιέχεται στο Problems in Mathematical Analysis, των P. Biler και A. Witkowski.

Ναι, εκεί την είχα δει κι εγώ πριν καμμιά δεκαριά χρόνια και τη θυμήθηκα μόλις είδα την ξανάδα.

Δημοσιεύεται χωρις λύση, όπως όλες άλλωστε του παραπάνω βιβλίου, το οποίο παραπέμπει στο παραπάνω πρόβλημα του Monthly.

Φιλικά,

Αχιλλέας

εύρεση παραγωγίσιμης συνάρτησης

εύρεση παραγωγίσιμης συνάρτησης

Re: εύρεση παραγωγίσιμης συνάρτησης

Re: εύρεση παραγωγίσιμης συνάρτησης

Re: εύρεση παραγωγίσιμης συνάρτησης

Re: εύρεση παραγωγίσιμης συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση