Καραδήμας έγραψε:Να οριστεί παραγωγίσιμη συνάρτηση

τέτοια που για κάθε

να ισχύει

και

.
Από την μέρα που μπήκε αυτή η άσκηση, όλο και ερχόταν στο μυαλό μου κάθε στιγμή ανάπαυλας. Μετά από αρκετό παίδεμα και χίλια αποτυχημένα τεχνάσματα, είμαι τώρα σε θέση να γράψω μία λύση. Ουφ!
α) Ορίζουμε την F στο

ως F(x) = x(1-x)(1+x) για

και την επεκτείνουμε περιοδικά σε όλο το

. Ειδικά F(0) = F(-1) = F(1) και άρα η F μηδενίζεται σε όλους τους ακεραίους.
Παρατηρείστε ότι η F είναι παραγωγίσιμη, με

για

. To μόνο που χρειάζεται να ελέγξουμε είναι η παραγωγισιμότητα στους περιττούς ακεραίους (στους "κόμβους" δηλαδή που γίνεται η περιοδική επέκταση). Αλλά αυτό είναι απλό γιατί

.
Επίσης παρατηρείστε ότι αν q ρητός στο [-1, 1], τότε

(λόγο αρρητότητας του

).
β) τα παραπάνω είναι προεργασία για την ζητούμενη συνάρτηση f, Την οποία ορίζουμε ως
Το άθροισμα αυτό συγκλίνει ομοιόμορφα διότι ο αριθμητής είναι φραγμένος και

.
Επίσης μπορούμε να παραγωγίσουμε όρο προς όρο γιατί και η σειρά της f ' συγκλίνει ομοιόμορφα (κατεβαίνει ένα n! από τον αριθμητή, αλλά μετά την απλοποίηση μένει ένα n! στον παρονομαστή).
γ) Θα δείξουμε ότι η f έχει τις ζητούμενες ιδιότητες, δηλαδή

και

για κάθε ρητό q.
Έστω λοιπόν q ρητός. Για όλα να n που είναι μεγαλύτερα ή ίσα του παρονομαστή του q, ο n!q είναι ακέραιος. Άρα F(n!q) = 0 (βλέπε α)). Δηλαδή το άθροισμα (*) για ρητά q είναι
πεπερασμένο άθροισμα ρητών, άρα ρητός, όπως θέλαμε.
δ) Μένει να δείξουμε ότι

άρρητος. Η απόδειξη είναι μικρή παραλλαγή της γνωστής απόδειξης ότι ο

είναι άρρητος.
Πράγματι, έστω

όπου P, Q ακέραιοι. Χωρίς βλάβη στη γενικότητα είναι θετικοί (στη περίπτωση αρνητικών, η απόδειξη είναι ίδια). Τότε για κατάλληλα μεγάλο φυσικό R > Q είναι

ακέραιος και
To τελευταίο είναι άτοπο γιατί το αριστερό μέλος είναι (για κατάλληλα μεγάλο R) ακέραιος και το δεξί < 1.
Αυτά!
Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου