Ευρεση τύπου αντίστροφης

#21

Κώστα καλημέρα
Μη ζητάς συγνώμη Δεν πειράζει
καταλαβαίνω τι δεν σου άρεσε .Όμως βεβαιώθηκα ότι ο τρόπος λύσης είναι σωστός Είδα κάτι σχετικό στον Putnam
Αναφέρομαι στο
Λοιπόν αφού f '(0)=e>0 , f ' συνεχής υπάρχει Δ : f γνήσια αύξουσα. Έστω α το ΠΡΩΤΟ απο τα χ που συναντάμε ώστε f(a)=2 Πριν το α όλα τα f(x) είναι διαφορετικά του 2 σφού το α είναι το πρώτο, ενώ το f(α)=2

Παντως ελπίζω να έγινα σαφής .Όσο για την επισήμανσή σου σου υπενθυμίζω ότι αν $f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}},x\ne 0,f(0)=0$ τότε $f^{(n)}(0)=0,\forall n\in N$ και η f δεν είναι πουθενά τοπικά σταθερή δεν ξέρω αν αυτό σε βοηθά κάπου

k-ser · #22

R BORIS έγραψε:Κώστα καλημέρα
Μη ζητάς συγνώμη Δεν πειράζει
καταλαβαίνω τι δεν σου άρεσε .Όμως βεβαιώθηκα ότι ο τρόπος λύσης είναι σωστός Είδα κάτι σχετικό στον Putnam
Αναφέρομαι στο
Λοιπόν αφού f '(0)=e>0 , f ' συνεχής υπάρχει Δ : f γνήσια αύξουσα. Έστω α το ΠΡΩΤΟ απο τα χ που συναντάμε ώστε f(a)=2 Πριν το α όλα τα f(x) είναι διαφορετικά του 2 σφού το α είναι το πρώτο, ενώ το f(α)=2

Παντως ελπίζω να έγινα σαφής .Όσο για την επισήμανσή σου σου υπενθυμίζω ότι αν $f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}},x\ne 0,f(0)=0$ τότε $f^{(n)}(0)=0,\forall n\in N$ και η f δεν είναι πουθενά τοπικά σταθερή δεν ξέρω αν αυτό σε βοηθά κάπου

Ροδόλφε, η συγνώμη μου είναι απαραίτητη γιατί η σκέψη σου είναι σωστή και η συνέχειά της πολύ καλή και οδηγεί όντως στη λύση.
Αυτό που δε μ' αρέσει είναι μια "ξεκάθαρη" απόδειξή της που να μην αφήνει αμφιβολίες: έγινα μαθηματικός γιατί δε μ' άρεσε να ... πιστεύω!

Αυτό που λέω "ξεκάθαρη" απόδειξη θα προσπαθήσω παρακάτω να το κάνω πράξη.

1. $\bold{f(x) \ne1 \: \forall x \ne0}$
Απόδειξη: Έστω α>0 για το οποίο f(a)=1

. Από Rolle στο [0,α] υπάρχει k ε (0,α) ώστε $f^{\prime}(k)=0$ άρα f(k)=2

. To 2 θα είναι η μέγιστη τιμή της f στο [0,α] γιατί αν υποθέσουμε κάτι διαφορετικό, τότε από Fermat καταλήγουμε σε άτοπο. Άρα $f(x) \leq2$ οπότε $f^{\prime}(x) \geq0$ και συνεπώς η f είναι αύξουσα στο [0,α]. Έτσι k<α $\Rightarrow f(k) \leq f(a) \Rightarrow 2 \leq 1$ άτοπο.

2. Είναι
$f(x)<1 \: \forall x < 0$ και $\displaystyle 1<f(x)<2 \: \forall x \in (0, \frac{1}{e}]$
Απόδειξη: Αφού f συνεχής και $f(x) \ne1 \: \forall x \ne0$ η συνάρτηση f(x)-1 θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στα $(-\infty , 0) \: (0, \+\infty)$ .
Είναι $f^{\prime}(0)=e>0$ και η $f^{\prime}$ συνεχής.
Έτσι "κοντά" στο 0 η f θα είναι γνήσια αύξουσα: Για α<0<β και "κοντά" στο 0 θα είναι: f(α)<1<f(β).
Έτσι έχουμε $f(x)<1 \: \forall x < 0$ και $\displaystyle 1<f(x) \: \forall x \in (0, +\infty)$ και μένει να δείξουμε ότι f(x)<2 στο (0,1/e].
Μελετώντας την g(x)=(2-x)e^x

βλέπουμε ότι έχει μέγιστη τιμή το e και συνεπώς: $f^{\prime}(x) \leq e$ το ίσον ισχύει όταν f(x)=1 δηλαδή μόνο για x=0.
Για $\displaystyle x \in (0, 1/e]$ εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. στο [0,x]:
Υπάρχει k ώστε $\displaystyle f^{\prime}(k) = \frac{f(x)-1}{x}$ . Όμως $\displaystyle f^{\prime}(k) <e \Rightarrow \frac{f(x)-1}{x}<e \Rightarrow f(x)<ex+1 \leq2$ .

3. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν x για τα οποία f(x)=2 και έστω το σύνολο Α= {x ε IR / f(x) $\geq$ 2}. Σύμφωνα με το 2. το σύνολο Α είναι κάτω φραγμένο από τους αριθμούς x για τους οποίους f(x)<2 και έστω α= inf(A). Θα πρέπει: f(α)=2. Διαφορετικά θα ήταν f(α)<2 και λόγω συνέχειας της f στο α θα υπήρχαν x >α ώστε f(x)<2 πράγμα άτοπο γιατί α=inf(A). Ακόμα, λόγω συνέχειας - ενδιάμεσων τιμών, δεν θα μπορούσε f(α)>2.

Έτσι με την υπόθεση ότι υπάρχουν x για τα οποία f(x) = 2 έχουμε ότι:

f(x)<2 για κάθε x<α και f(α)=2.

Ροδόλφε, να σημειώσω ακόμα ότι το αντιπαράδειγμα, που αναφέρεις, βοηθάει αρκετά: Μπορεί μια συνάρτηση να έχει ακρότατο σε κάποιο σημείο ακόμα κι αν όλες οι παράγωγοι στο σημείο αυτό μηδενίζουν!

Κουραστικά ίσως τα παραπάνω, μα ένιωθα ότι δεν είχα άλλη επιλογή!

Καλό βράδυ.

#23

Κώστα σ ευχαριστώ και για τον κόπο αλλά και για τις ιδέες σου
(Ετοιμάζω τώρα μια φοβερή πιστεύω άσκηση διπλάσιας δυσκολίας! μαζί με τον Π Μερτικόπουλο .Φαντάζομαι να την χαρείτε)

mathxl · #24

Ας δώσω κάποιες σκέψεις σε pdf. Ίσως κάποιος συνάδελφος βλέπει κάτι που εγώ δεν βλέπω για ένα εύκολο άτοπο στην περίπτωση μεγίστου διαφορετικού του Ροδόλφου.

Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Re: Ευρεση τύπου αντίστροφης

Μέλη σε σύνδεση