Μία ακριβώς ρίζα

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

ann79
Δημοσιεύσεις: 258
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Μία ακριβώς ρίζα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 » Πέμ Απρ 25, 2019 3:42 pm

Για την f(x)=e^{x}+e^{2x}-2, να δείξετε ότι η εξίσωση f^{3}(x)=f(1)f(2)f(3) έχει μία ακριβώς ρίζα στο (1,3).



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11490
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μία ακριβώς ρίζα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Απρ 25, 2019 5:21 pm

ann79 έγραψε:
Πέμ Απρ 25, 2019 3:42 pm
Για την f(x)=e^{x}+e^{2x}-2, να δείξετε ότι η εξίσωση f^{3}(x)=f(1)f(2)f(3) έχει μία ακριβώς ρίζα στο (1,3).
Ισοδύναμα f(x)=\sqrt [3]{f(1)f(2)f(3)}. Αφού η f είναι γνήσια αύξουσα (άμεσο), έχει το πολύ μία ρίζα. Όμως έχει τουλάχιστον μία ρίζα αφού, για τον ίδιο λόγο,  f(1) < \sqrt [3]{f(1)f(2)f(3)} < f(3). Και λοιπά.


Βαγγέλης Κωστούλας
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Παρ Απρ 06, 2018 4:22 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μία ακριβώς ρίζα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βαγγέλης Κωστούλας » Πέμ Απρ 25, 2019 5:23 pm

Mία σχετικά απλή λύση που έχω να προτείνω, είναι η εξής:

Ζητάμε ρίζα (μοναδική) της εξίσωσης f\left ( x \right )^{3}=f\left ( 1 \right ) f\left ( 2 \right ) f\left ( 3 \right ) (1) στο διάστημα \left ( 1,3 \right ).

Αρχικά βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της f, η οποία είναι η f'\left ( x \right )=e^x+2e^{2x}>0, που σημαίνει ότι η συνάρτησή μας είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο \mathbb{R}.
Για x=0 είναι f\left ( 0 \right )=0, οπότε στο \left ( 0,+\infty \right ), άρα και στο ζητούμενο διάστημα, είναι f\left ( x \right )> 0, λόγω της μονοτονίας.

Ισχύει 1<2<3 \Leftrightarrow f\left ( 1 \right )< f\left ( 2 \right )<f\left ( 3 \right ). Τα f\left ( 1 \right ),f\left ( 2 \right ),f\left ( 3 \right ) είναι θετικοί αριθμοί, οπότε με απλές πράξεις διάταξης προκύπτει ότι f\left ( 1 \right )\cdot f\left ( 1 \right )\cdot f\left ( 1 \right )<f\left ( 1 \right )\cdot f\left ( 2 \right )\cdot f\left ( 3 \right )< f\left ( 3 \right )\cdot f\left ( 3 \right )\cdot f\left ( 3 \right ) ή αλλιώς f\left ( 1 \right )^{3}<f\left ( 1 \right )f\left ( 2 \right )f\left ( 3 \right )<f\left ( 3 \right )^{3} \left ( 2 \right ).

Αν τώρα θεωρήσουμε τη συνάρτηση g\left ( x \right )=f\left ( x \right )^{3}, παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο διάστημα \left [ 1,3 \right ] που μας ενδιαφέρει και επιπλέον g\left ( 1 \right )\neq g\left ( 3 \right ), όπως προκύπτει από τα παραπάνω. Η g, δηλαδή, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα \left [ 1,3 \right ]. Έτσι, για τον αριθμό f\left ( 1 \right ) f\left ( 2 \right ) f\left ( 3 \right ) που, σύμφωνα με την \left ( 2 \right ), βρίσκεται μεταξύ των g\left ( 1 \right ) και g\left ( 3 \right ), υπάρχει τουλάχιστον ένας x_{0}\epsilon \left ( 1,3 \right ) τέτοιος, ώστε g\left ( x_{0} \right )=f\left ( 1 \right ) f\left ( 2 \right ) f\left ( 3 \right ) ή f\left ( x_{0} \right )^{3}= f\left ( 1 \right ) f\left ( 2 \right ) f\left ( 3 \right )

Για να δείξουμε ότι η ρίζα αυτή είναι μοναδική, θα βρούμε τη μονοτονία της συνάρτησης g. Είναι g'\left ( x \right )=3f\left ( x \right )^{2}f'\left ( x \right )>0 στο συγκεκριμένο διάστημα, δηλαδή η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1-1, οπότε η εξίσωση g\left ( x \right )=f\left ( 1 \right )f\left ( 2 \right )f\left ( 3 \right ), που είναι η (1), έχει μόνο μία ρίζα, την  x=x_{0} και αυτή βρίσκεται στο διάστημα  (1,3) .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11490
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μία ακριβώς ρίζα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Απρ 25, 2019 5:31 pm

Βαγγέλης Κωστούλας έγραψε:
Πέμ Απρ 25, 2019 5:23 pm
Αρχικά βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της f, η οποία είναι η f'\left ( x \right )=e^x+2e^{2x}>0, που σημαίνει ότι η συνάρτησή μας είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο \mathbb{R}.
Μπορούμε και χωρίς παραγώγους, απλά παρατηρώντας ότι οι e^x, e^{2x} είναι γνήσια αύξουσες (π.χ. διότι η βάση είναι >1). Όμοια η x^3, και λοιπά. Ούτως ή άλλως είναι ευκολότερο να εργαστούμε με την f αντί της f^3, οπότε γλιτώνουμε την μισή δουλειά.


Βαγγέλης Κωστούλας
Δημοσιεύσεις: 15
Εγγραφή: Παρ Απρ 06, 2018 4:22 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μία ακριβώς ρίζα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Βαγγέλης Κωστούλας » Πέμ Απρ 25, 2019 5:50 pm

Πράγματι, ίσως είναι μια πιο γρήγορη πορεία. Προσπάθησα να κάνω μια προσομοίωση των εξετάσεων, μιας και πλησιάζει ο καιρός, και έτσι έδωσα την απάντηση που πρώτη μου ήρθε στο νου. Ίσως να ήμουν λιγάκι υπεραναλυτικός. Ευχαριστώ πάντως για την παρατήρηση.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4002
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Μία ακριβώς ρίζα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Απρ 25, 2019 8:39 pm

Δείτε και εδώ... πριν 3 χρόνια. Πώς περνάν τα χρόνια!!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες