Μία ακριβώς ρίζα

ann79 · #1

Για την $f(x)=e^{x}+e^{2x}-2$ , να δείξετε ότι η εξίσωση $f^{3}(x)=f(1)f(2)f(3)$ έχει μία ακριβώς ρίζα στο (1,3)

.

#2

ann79 έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 25, 2019 3:42 pm
Για την $f(x)=e^{x}+e^{2x}-2$ , να δείξετε ότι η εξίσωση $f^{3}(x)=f(1)f(2)f(3)$ έχει μία ακριβώς ρίζα στο .

Ισοδύναμα $f(x)=\sqrt [3]{f(1)f(2)f(3)}$ . Αφού η

είναι γνήσια αύξουσα (άμεσο), έχει το πολύ μία ρίζα. Όμως έχει τουλάχιστον μία ρίζα αφού, για τον ίδιο λόγο, $f(1) < \sqrt [3]{f(1)f(2)f(3)} < f(3)$ . Και λοιπά.

Βαγγέλης Κωστούλας · #3

Mία σχετικά απλή λύση που έχω να προτείνω, είναι η εξής:

Ζητάμε ρίζα (μοναδική) της εξίσωσης $f\left ( x \right )^{3}=f\left ( 1 \right ) f\left ( 2 \right ) f\left ( 3 \right ) (1)$ στο διάστημα $\left ( 1,3 \right )$ .

Αρχικά βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της

, η οποία είναι η $f'\left ( x \right )=e^x+2e^{2x}>0$ , που σημαίνει ότι η συνάρτησή μας είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο $\mathbb{R}$ .
Για x=0

είναι $f\left ( 0 \right )=0$ , οπότε στο $\left ( 0,+\infty \right )$ , άρα και στο ζητούμενο διάστημα, είναι $f\left ( x \right )> 0$ , λόγω της μονοτονίας.

Ισχύει $1<2<3 \Leftrightarrow f\left ( 1 \right )< f\left ( 2 \right )<f\left ( 3 \right )$ . Τα $f\left ( 1 \right ),f\left ( 2 \right ),f\left ( 3 \right )$ είναι θετικοί αριθμοί, οπότε με απλές πράξεις διάταξης προκύπτει ότι $f\left ( 1 \right )\cdot f\left ( 1 \right )\cdot f\left ( 1 \right )<f\left ( 1 \right )\cdot f\left ( 2 \right )\cdot f\left ( 3 \right )< f\left ( 3 \right )\cdot f\left ( 3 \right )\cdot f\left ( 3 \right )$ ή αλλιώς $f\left ( 1 \right )^{3}<f\left ( 1 \right )f\left ( 2 \right )f\left ( 3 \right )<f\left ( 3 \right )^{3} \left ( 2 \right )$ .

Αν τώρα θεωρήσουμε τη συνάρτηση $g\left ( x \right )=f\left ( x \right )^{3}$ , παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο διάστημα $\left [ 1,3 \right ]$ που μας ενδιαφέρει και επιπλέον $g\left ( 1 \right )\neq g\left ( 3 \right )$ , όπως προκύπτει από τα παραπάνω. Η

, δηλαδή, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα $\left [ 1,3 \right ]$ . Έτσι, για τον αριθμό $f\left ( 1 \right ) f\left ( 2 \right ) f\left ( 3 \right )$ που, σύμφωνα με την $\left ( 2 \right )$ , βρίσκεται μεταξύ των $g\left ( 1 \right )$ και $g\left ( 3 \right )$ , υπάρχει τουλάχιστον ένας $x_{0}\epsilon \left ( 1,3 \right )$ τέτοιος, ώστε $g\left ( x_{0} \right )=f\left ( 1 \right ) f\left ( 2 \right ) f\left ( 3 \right )$ ή $f\left ( x_{0} \right )^{3}= f\left ( 1 \right ) f\left ( 2 \right ) f\left ( 3 \right )$

Για να δείξουμε ότι η ρίζα αυτή είναι μοναδική, θα βρούμε τη μονοτονία της συνάρτησης

. Είναι $g'\left ( x \right )=3f\left ( x \right )^{2}f'\left ( x \right )>0$ στο συγκεκριμένο διάστημα, δηλαδή η

είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1-1

, οπότε η εξίσωση $g\left ( x \right )=f\left ( 1 \right )f\left ( 2 \right )f\left ( 3 \right )$ , που είναι η (1)

, έχει μόνο μία ρίζα, την $x=x_{0}$ και αυτή βρίσκεται στο διάστημα (1,3)

.

#4

Βαγγέλης Κωστούλας έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 25, 2019 5:23 pm
Αρχικά βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της , η οποία είναι η $f'\left ( x \right )=e^x+2e^{2x}>0$ , που σημαίνει ότι η συνάρτησή μας είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο $\mathbb{R}$ .

Μπορούμε και χωρίς παραγώγους, απλά παρατηρώντας ότι οι $e^x, e^{2x}$ είναι γνήσια αύξουσες (π.χ. διότι η βάση είναι

). Όμοια η x^3

, και λοιπά. Ούτως ή άλλως είναι ευκολότερο να εργαστούμε με την

αντί της

, οπότε γλιτώνουμε την μισή δουλειά.

Βαγγέλης Κωστούλας · #5

Πράγματι, ίσως είναι μια πιο γρήγορη πορεία. Προσπάθησα να κάνω μια προσομοίωση των εξετάσεων, μιας και πλησιάζει ο καιρός, και έτσι έδωσα την απάντηση που πρώτη μου ήρθε στο νου. Ίσως να ήμουν λιγάκι υπεραναλυτικός. Ευχαριστώ πάντως για την παρατήρηση.

Tolaso J Kos · #6

Δείτε και εδώ... πριν

χρόνια. Πώς περνάν τα χρόνια!!

Μία ακριβώς ρίζα

Μία ακριβώς ρίζα

Re: Μία ακριβώς ρίζα

Re: Μία ακριβώς ρίζα

Re: Μία ακριβώς ρίζα

Re: Μία ακριβώς ρίζα

Re: Μία ακριβώς ρίζα

Μέλη σε σύνδεση